Matematyka
bez tajemnic.

Dodawanie łączy dwie lub więcej liczb w jedną — sumę. Poznaj nazwy składników, prawa dodawania (przemienność, łączność, element neutralny) i naucz się dodawać w słupku z przenoszeniem.

Odejmowanie to działanie odwrotne do dodawania — od odjemnej odejmujemy odjemnik i otrzymujemy różnicę. Poznaj nazwy, własności, związek z dodawaniem i naucz się odejmować w słupku z pożyczaniem.

Mnożenie to skrócone dodawanie tego samego składnika. Poznaj nazwy czynników i iloczynu, prawa mnożenia (przemienność, łączność, rozdzielność), tabliczkę mnożenia oraz mnożenie w słupku.

Dzielenie to działanie odwrotne do mnożenia — dzielimy dzielną przez dzielnik i otrzymujemy iloraz. Poznaj nazwy, związek z mnożeniem, dzielenie z resztą oraz dlaczego nie wolno dzielić przez zero.

Gdy w jednym wyrażeniu spotyka się kilka działań, liczymy je w ustalonej kolejności: najpierw nawiasy, potem potęgi, następnie mnożenie i dzielenie, a na końcu dodawanie i odejmowanie. Poznaj reguły i przećwicz je na przykładach.

Liczby ujemne to liczby mniejsze od zera — mróz na termometrze, debet na koncie, poziom pod ziemią. Poznaj oś liczbową w obie strony, liczby przeciwne, porównywanie liczb ujemnych oraz reguły znaków w dodawaniu, odejmowaniu, mnożeniu i dzieleniu.

Zaokrąglanie zastępuje liczbę najbliższą liczbą okrągłą, a szacowanie pozwala poznać rząd wyniku, zanim policzymy go dokładnie. Poznaj regułę cyfry rozstrzygającej, znak ≈, zaokrąglanie do dziesiątek, setek i tysięcy oraz szacowanie sumy i iloczynu.

Gdy liczby są za duże, żeby policzyć je w pamięci, zapisujemy je w słupku — cyfra pod cyfrą, kolumnami. Poznaj cztery algorytmy pisemne: dodawanie z przeniesieniem, odejmowanie z pożyczką, mnożenie przez liczbę wielocyfrową i dzielenie pisemne krok po kroku.

Siedem znaków — I, V, X, L, C, D, M — i dwie reguły: dodawania i odejmowania. Naucz się czytać i zapisywać liczby rzymskie w zapisie skróconym, poznaj zakres do 3999 i dowiedz się, dlaczego ten system przegrał z zapisem pozycyjnym.

Jeden wzór wiąże trzy wielkości: prędkość, drogę i czas. Poznaj jego trzy postacie, naucz się dobierać jednostki, licz różnice czasu na zegarze, który nie chodzi po dziesiątkach, i odstępy między datami — z rokiem przestępnym włącznie.

Ułamek zwykły zapisuje część całości jako licznik i mianownik. Poznaj ułamki równoważne, cztery działania na ułamkach, liczby mieszane, porównywanie i skracanie do postaci nieskracalnej.

Ułamek dziesiętny zapisuje część całości za pomocą przecinka, nie kreski ułamkowej. Poznaj zapis pozycyjny, zamianę w obie strony między ułamkiem zwykłym a dziesiętnym, cztery działania, zaokrąglanie i rozwinięcia nieskończone okresowe.

Procent to setna część całości. Poznaj zapis procentowy, liczenie procentu z liczby, odnajdywanie całości ze znanej części, obliczanie zmiany procentowej i zapis podwyżki lub obniżki jednym mnożnikiem.

Potęga to skrócony zapis mnożenia tego samego czynnika. Poznaj podstawę i wykładnik, prawa działań na potęgach, potęgę iloczynu i ilorazu, wykładnik zerowy i ujemny, monotoniczność potęgowania oraz notację naukową.

Pierwiastek to działanie odwrotne do potęgowania. Poznaj pierwiastek kwadratowy i sześcienny, działania na pierwiastkach, wyłączanie i włączanie czynnika, szacowanie i porównywanie pierwiastków oraz usuwanie niewymierności z mianownika.

Największy wspólny dzielnik i najmniejsza wspólna wielokrotność dwóch liczb. Poznaj cechy podzielności, metodę wypisywania dzielników, algorytm Euklidesa i wzór wiążący NWD z NWW.

Liczba pierwsza ma dokładnie dwa dzielniki: jeden i samą siebie. Poznaj definicję, sito Eratostenesa, rozkład na czynniki pierwsze i podstawowe twierdzenie arytmetyki.

Liczby naturalne, całkowite, wymierne i rzeczywiste — cztery rodziny, jedna wchodząca w drugą. Poznaj symbole ℕ, ℤ, ℚ, ℝ, znaki należenia ∈ i ∉, zbiór pusty ∅, dowód niewymierności √2 i sposób zapisywania liczb parzystych i nieparzystych w dowodach podzielności.

Wartość bezwzględna to odległość liczby od zera — zawsze nieujemna, bo odległość nie ma kierunku. Poznaj definicję z podziałem na przypadki, zapis odległości dwóch liczb wzorem |a − b|, własności modułu i równania z wartością bezwzględną.

Przedział to skrót na nieskończenie wiele liczb — wszystkie, które leżą między dwoma końcami. Poznaj przedziały otwarte i domknięte, przedziały nieograniczone z symbolem nieskończoności, sumę i część wspólną przedziałów oraz zapis warunku |x − a| < r jednym przedziałem.

Proporcja to równość dwóch stosunków — jedno równanie, które przelicza przepis z czterech osób na sześć, a centymetry na mapie na kilometry w terenie. Poznaj mnożenie na krzyż, proporcjonalność prostą, podział w zadanym stosunku i skalę w obie strony.

Wykładnik nie musi być liczbą całkowitą — zapis a^(m/n) oznacza pierwiastek n-tego stopnia z a do potęgi m. Poznaj wzór wiążący potęgowanie z pierwiastkowaniem, dziedzinę takiej potęgi, wykładnik ujemny wymierny i monotoniczność potęgowania.

Logarytm odpowiada na pytanie, do której potęgi trzeba podnieść podstawę, żeby otrzymać daną liczbę. Poznaj definicję log_a b, założenia o podstawie i liczbie logarytmowanej, logarytm dziesiętny i naturalny oraz cztery własności, które zamieniają mnożenie na dodawanie.

Procent składany to procent liczony od kwoty, która już raz urosła — dlatego kapitał rośnie potęgą, a nie po równo. Poznaj wzór na kapitał końcowy, kapitalizację częstszą niż roczna, procent składany przy spadkach oraz różnicę między procentem a punktem procentowym.

Wyrażenie algebraiczne to zapis, w którym obok liczb stoją litery. Poznaj zmienną, wyraz i współczynnik, naucz się redukować wyrazy podobne, wymnażać nawiasy — także dwumian przez dwumian — wyłączać wspólny czynnik przed nawias i obliczać wartość wyrażenia.

Równanie liniowe to równość z niewiadomą w pierwszej potędze. Poznaj operacje, które zachowują równoważność równań, rozwiąż je krok po kroku, sprawdź wynik, przekształć wzór tak, by wyznaczyć z niego zadaną wielkość, i policz równanie z niewiadomą w mianowniku.

Nierówność liniowa ma nie jedno rozwiązanie, lecz cały ich zbiór. Poznaj operacje, które zachowują zwrot nierówności, zapamiętaj jedyną, która go odwraca, i naucz się zaznaczać zbiór rozwiązań na osi liczbowej.

Układ równań to dwa warunki nałożone naraz na dwie niewiadome. Poznaj metodę podstawiania i metodę przeciwnych współczynników, zobacz rozwiązanie jako punkt przecięcia dwóch prostych i naucz się rozpoznawać układy sprzeczne oraz nieoznaczone.

Równanie kwadratowe to równanie z niewiadomą w drugiej potędze. Poznaj postać ogólną, wyróżnik delta, wzory na pierwiastki, szybkie sposoby na równania niezupełne, wzory Viète i odczyt rozwiązań z paraboli.

Siedem wzorów, które zamieniają mnożenie nawiasów na jedną linijkę — i te same siedem czytanych od prawej, czyli rozkład na czynniki. Kwadrat sumy i różnicy, różnica kwadratów, sześciany oraz suma i różnica sześcianów, z dowodem na rysunku i z rachunkiem w pamięci.

Wielomian to suma jednomianów — i wszystko, co się z nim robi, jest przedłużeniem rachunku na liczbach. Stopień i współczynniki, dodawanie, odejmowanie i mnożenie, dzielenie przez dwumian schematem Hornera, twierdzenie Bézouta, pierwiastki całkowite, rozkład na czynniki i równania dwukwadratowe.

Ułamek, w którym zamiast liczb stoją wielomiany — i te same cztery działania co na ułamkach zwykłych, tyle że poprzedzone rozkładem na czynniki. Dziedzina i liczby wykluczone, skracanie, mnożenie i dzielenie, dodawanie i odejmowanie oraz równania wymierne w postaci iloczynowej.

Rozwiązać nierówność to znaleźć nie jedną liczbę, tylko cały zbiór — i to zawsze w dwóch krokach: miejsca zerowe, a potem znak między nimi. Parabola i znak trójmianu, trzy przypadki delty, siatka znaków, nierówności wielomianowe i wymierne z pułapką zera w mianowniku.

Moduł mierzy odległość — i to jedno zdanie rozwiązuje całą tę lekcję. Równanie |x − a| = r pyta o punkty odległe od a o r, nierówność ostra daje przedział wokół a, a nierówność w drugą stronę — sumę dwóch przedziałów. Do tego odczyt środka i promienia oraz przypadki bez rozwiązań.

Parametr to nie druga niewiadoma, tylko nastawa — jedna literka, która zamienia jedno zadanie w całą rodzinę zadań. Równanie liniowe i jego przypadek zdegenerowany, delta jako warunek na liczbę pierwiastków, wzory Viète’a, nierówność spełniona dla każdego x oraz układ prostej z parabolą.

Pole prostokąta to iloczyn jego boków: P = a · b. Zobacz, skąd bierze się ten wzór, czym różni się pole od obwodu, jak liczyć pole kwadratu, jak wyznaczyć bok z pola i dlaczego wynik zapisujemy w centymetrach kwadratowych.

Pole trójkąta to połowa iloczynu podstawy i wysokości: P = ½ · a · h. Zobacz, skąd bierze się ta połowa, którą wysokość brać do którego boku, jak liczyć obwód i dlaczego trójkąt prostokątny jest najłatwiejszym przypadkiem.

Pole koła to P = πr², a obwód to Obw = 2πr. Zobacz, czym jest liczba π, jak promień wiąże się ze średnicą, dlaczego wynik prawie zawsze trzeba zaokrąglić i czym różni się koło od okręgu.

Kąt mierzymy w stopniach: ostry poniżej 90°, prosty równo 90°, rozwarty powyżej. Poznaj rodzaje kątów, kąty dopełniające i przyległe, kąty naprzemianległe i odpowiadające przy prostych równoległych oraz dwie reguły sumy — 180° w trójkącie i (n − 2) · 180° w wielokącie.

W trójkącie prostokątnym a² + b² = c². Zobacz, dlaczego to działa, jak wyznaczyć przeciwprostokątną i przyprostokątną, czym są trójki pitagorejskie i jak twierdzenie odwrotne pozwala sprawdzić, czy kąt naprawdę jest prosty.

Objętość mówi, ile mieści się w bryle. Zobacz wzory na objętość prostopadłościanu, walca, ostrosłupa, stożka i kuli, dlaczego w ostrosłupie i stożku pojawia się jedna trzecia i skąd bierze się jednostka sześcienna.

Pole powierzchni to pole siatki bryły — tyle materiału trzeba na jej oklejenie. Zobacz wzory dla prostopadłościanu, walca, ostrosłupa, stożka i kuli oraz to, dlaczego w stożku i ostrosłupie liczy się tworząca, a nie wysokość.

Litr, mililitr, centymetr i metr sześcienny — jedna wielkość w kilku zapisach. Zobacz, dlaczego jednostki objętości przeliczamy przez tysiąc, a nie przez dziesięć, i skąd bierze się równość 1 dm³ = 1 l.

Dwie prostopadłe osie zamieniają płaszczyznę w mapę, na której każdy punkt ma adres złożony z dwóch liczb. Kolejność tych liczb jest częścią adresu, znaki wskazują ćwiartkę, a odcinek równoległy do osi mierzy się odejmowaniem. Do tego środek odcinka, czyli średnia współrzędnych końców.

Trzy czworokąty, których pola nie są iloczynem dwóch boków — i jeden pomysł, który je wszystkie liczy: przecięcie figury tak, żeby wyszedł prostokąt albo dwa trójkąty. Do tego kąty, które zawsze sumują się do 360°, i przekątne, po których poznaje się romb.

Trzy cechy przystawania mówią, ile danych wystarczy, żeby dwa trójkąty musiały być identyczne. Dwa trójkąty szczególne — połowa kwadratu i połowa trójkąta równobocznego — mają stałe stosunki boków, więc jedna długość wystarcza do wyznaczenia pozostałych bez liczenia pierwiastków od nowa.

Dwie figury podobne mają ten sam kształt i różny rozmiar, a wszystko, co je łączy, mieści się w jednej liczbie — w skali. Twierdzenie Talesa zamienia równoległość w proporcję, a trzy potęgi skali wyjaśniają, dlaczego dwa razy większy model waży osiem razy tyle.

Kąt wpisany jest zawsze połową środkowego opartego na tym samym łuku — i z tego jednego zdania wynika kąt prosty nad średnicą, konstrukcja stycznej i połowa zadań maturalnych o okręgu. Do tego cięciwa, odcinek stycznej, wielokąty foremne oraz długość łuku i pole wycinka.

Symetria osiowa, symetria środkowa, przesunięcie i obrót przesuwają figurę, nie zmieniając jej rozmiaru — a każde z nich sprowadza się do jednego działania na współrzędnych. Do tego dwie konstrukcje cyrklem i linijką: symetralna odcinka i dwusieczna kąta.

Objętość i pole powierzchni bryły już umiemy policzyć. Ta lekcja mierzy to, co jest w środku: przekątną prostopadłościanu, kąt między przekątną a podstawą, apotemę i krawędź boczną ostrosłupa oraz przekroje sześcianu. Każde z tych zadań to jeden trójkąt prostokątny znaleziony w przestrzeni.

Punkt to para liczb, prosta to równanie, okrąg to inne równanie — a wtedy pytania geometryczne stają się rachunkiem. Odległość punktów z twierdzenia Pitagorasa, współczynnik kierunkowy z dwóch punktów, warunki równoległości i prostopadłości oraz środek i promień odczytane z równania okręgu.

Wektor to odcinek, który wie, dokąd prowadzi: ma długość, kierunek i zwrot, a w układzie współrzędnych zapisuje się parą liczb. Dodawanie wektorów to dodawanie tych par, mnożenie przez liczbę — rozciąganie strzałki, a długość liczy twierdzenie Pitagorasa.

Sinus, cosinus i tangens to trzy stosunki boków trójkąta prostokątnego. Zobacz, dlaczego zależą wyłącznie od kąta, skąd biorą się dokładne wartości dla 30°, 45° i 60° oraz jak wyznaczyć bok, którego nie da się zmierzyć.

Koło jednostkowe przenosi sinus i cosinus z trójkąta na cały okrąg. Zobacz, jak współrzędne punktu stają się wartościami funkcji, jakie znaki mają w czterech ćwiartkach i co oznacza kąt ujemny albo większy od pełnego obrotu.

sin²α + cos²α = 1 to twierdzenie Pitagorasa zapisane na kole jednostkowym. Zobacz, skąd się bierze, jak wyznaczyć cosinus, znając sinus, i dlaczego bez znajomości ćwiartki odpowiedź jest niepełna.

Twierdzenie sinusów i twierdzenie cosinusów przenoszą trygonometrię na dowolny trójkąt — także taki bez kąta prostego. Zobacz, które z nich wybrać do danych z zadania, dlaczego twierdzenie cosinusów uogólnia Pitagorasa, jak policzyć pole z dwóch boków i kąta między nimi i kiedy rozwiązania są dwa.

Sinusoida to koło jednostkowe rozwinięte wzdłuż osi. Zobacz, skąd bierze się okres 2π, dlaczego cosinus jest przesuniętym sinusem i co dzieje się z wykresem tangensa tam, gdzie funkcja nie istnieje.

Radian to kąt, który wycina z okręgu łuk równy promieniowi. Zobacz, skąd bierze się 2π w pełnym obrocie, jak zamieniać stopnie na radiany w obie strony i dlaczego wzory na długość łuku i pole wycinka stają się w tej mierze jednolinijkowe.

Wzory redukcyjne sprowadzają sinus, cosinus i tangens dowolnego kąta do kąta ostrego. Zamiast uczyć się kilkunastu wzorów na pamięć, zobacz jedną regułę: przy 180° i 360° funkcja zostaje, przy 90° i 270° zmienia się na kofunkcję, a znak bierzemy z ćwiartki.

Sinus sumy nie jest sumą sinusów. Zobacz, skąd biorą się wzory na sin(α ± β) i cos(α ± β), jak z nich wypada kąt podwojony, jak policzyć wartość dokładną sin 75° i jak używać ich do dowodzenia tożsamości trygonometrycznych.

Równanie sin x = 1/2 ma nieskończenie wiele rozwiązań, bo sinus się powtarza. Zobacz, jak znaleźć rozwiązanie podstawowe, jak zapisać wszystkie pozostałe wzorem z parametrem k i jak wybrać te, które mieszczą się w zadanym przedziale.

Arcus sinus, arcus cosinus i arcus tangens odpowiadają na pytanie odwrotne: jaki kąt ma daną wartość funkcji. Zobacz, dlaczego trzeba było zawęzić dziedzinę, jakie są zbiory wartości tych trzech funkcji i kiedy arcsin(sin x) nie równa się x.

Funkcja to jednoznaczne przyporządkowanie: każdemu argumentowi dokładnie jedna wartość. Poznaj zapis f(x), dziedzinę i zbiór wartości, cztery sposoby zadania funkcji oraz test pionowej prostej na wykresie.

Funkcja liniowa y = ax + b to prosta na wykresie. Poznaj sens współczynnika kierunkowego i wyrazu wolnego, miejsce zerowe, wzór prostej z dwóch punktów, postać ogólną oraz warunki równoległości i prostopadłości.

Funkcja kwadratowa f(x) = ax² + bx + c rysuje parabolę. Poznaj wierzchołek i oś symetrii, trzy postacie wzoru — ogólną, kanoniczną i iloczynową — oraz to, jak znak współczynnika a rozstrzyga o minimum i maksimum.

Jeden wykres, cztery ruchy: w górę, w bok, odbicie w osi i rozciągnięcie. Zobacz, jak zmiana wzoru przekłada się na ruch krzywej, dlaczego f(x − 2) przesuwa wykres w prawo, a nie w lewo, i jak z czystego sinusa robi się y = a·sin(bx + c) o dowolnej amplitudzie i okresie.

Wykres pokazuje całą funkcję naraz: dziedzinę i zbiór wartości, miejsca zerowe, znak, przedziały monotoniczności i ekstremum. Naucz się odczytywać je z rysunku, zanim cokolwiek policzysz.

Im szybciej jedziesz, tym krócej jedziesz — a iloczyn prędkości i czasu zostaje ten sam. Zobacz, czym różni się proporcjonalność odwrotna od prostej, jak wygląda hiperbola y = a/x, skąd biorą się jej dwie asymptoty i jak z ilorazu dwóch wyrażeń liniowych odczytać, gdzie stoją.

Ziarno na szachownicy, kredyt, rozpad promieniotwórczy i skala decybelowa — wszystkie opisuje ta sama para funkcji. Zobacz, jak wygląda wykres y = bˣ i jego lustrzane odbicie y = log_b x, dlaczego rozwiązanie równania wykładniczego sprowadza się do porównania wykładników i skąd bierze się dziedzina logarytmu.

Ciąg to funkcja, która każdej liczbie naturalnej przypisuje liczbę — i właśnie dlatego jego wykres składa się z osobnych punktów, a nie z krzywej. Zobacz, jak działa wzór ogólny, czym różni się od niego wzór rekurencyjny i jak jednym odejmowaniem sprawdzić, czy ciąg rośnie.

Dwa ciągi, które opisują niemal wszystko, co rośnie regularnie: jeden dodaje stale tyle samo, drugi stale tyle samo razy mnoży. Poznaj wzory na n-ty wyraz i na sumę początkowych wyrazów obu, własność średniej i powód, dla którego lokata bankowa jest ciągiem geometrycznym.

Nieskończenie wiele składników, a suma skończona — o ile iloraz jest co do wartości bezwzględnej mniejszy od jedynki. Zobacz, co dokładnie znaczy, że ciąg dąży do granicy, jak liczy się granice ilorazu wielomianów, skąd bierze się liczba e i dlaczego 0,(3) to naprawdę jedna trzecia.

Dwie funkcje ustawione jedna za drugą i jedna funkcja puszczona wstecz. Zobacz, dlaczego f(g(x)) to nie to samo co g(f(x)), jak z monotoniczności składowych wynika monotoniczność złożenia, kiedy funkcję da się odwrócić i dlaczego wykres funkcji odwrotnej jest odbiciem względem prostej y = x.

Iloraz dwóch wielomianów, kilka punktów wyrzuconych z dziedziny i trzy rodzaje prostych, do których krzywa dąży. Zobacz, kiedy w miejscu zerowym mianownika powstaje asymptota, a kiedy tylko dziura, jak porównanie stopni daje asymptotę poziomą i skąd bierze się asymptota ukośna.

Granica mówi, do czego zmierzają wartości funkcji, gdy argument zbliża się do danej liczby — nawet wtedy, gdy w samym tym punkcie funkcja nic nie przyjmuje. To pierwsze pojęcie analizy i fundament pochodnej.

Pochodna mierzy tempo zmiany funkcji w punkcie — jest współczynnikiem kierunkowym stycznej do wykresu. Poznaj definicję przez iloraz różnicowy i sześć reguł, którymi liczy się ją bez granic.

Znak pochodnej mówi, czy funkcja rośnie, czy maleje, a jej miejsca zerowe wskazują kandydatów na ekstrema. Naucz się pisać równanie stycznej, czytać tabelę znaków i znajdować wartość największą.

Całkowanie jest odwrotnością różniczkowania: szukamy funkcji, której pochodną jest dana funkcja. Całka nieoznaczona daje wzór z dokładnością do stałej, oznaczona — liczbę, a ta liczba to pole pod krzywą.

Trzy sposoby na jedno pytanie: która liczba najlepiej opisuje cały zbiór danych. Średnia dzieli sumę po równo, mediana staje dokładnie pośrodku, a dominanta wskazuje wartość najczęstszą — i to, którą wybierzemy, potrafi zmienić wniosek.

Dwa zbiory mogą mieć identyczną średnią i wyglądać zupełnie inaczej. Rozstęp, wariancja i odchylenie standardowe mierzą to, czego średnia nie widzi: jak bardzo dane są rozrzucone wokół niej.

Sztuka liczenia bez wypisywania. Reguła mnożenia, silnia, permutacje, wariacje i kombinacje odpowiadają na jedno pytanie — na ile sposobów da się to zrobić — a cała trudność sprowadza się do dwóch decyzji: czy kolejność ma znaczenie i czy elementy mogą się powtarzać.

Gdy wszystkie wyniki doświadczenia są jednakowo możliwe, prawdopodobieństwo zdarzenia jest zwykłym ilorazem: ile wyników mu sprzyja, przez ile jest wszystkich. Cała reszta to umiejętność policzenia obu liczb — i wiedza, kiedy łatwiej policzyć zdarzenie przeciwne.