Pierwiastki

Pierwiastek to działanie odwrotne do potęgowania. Pierwiastek kwadratowy z liczby $a \ge 0$ to taka liczba nieujemna $b$, że $b^2 = a$:

Na przykład $\sqrt{49} = 7$, bo $7^2 = 49$.

Warunek $a \ge 0$ nie jest przypadkowy: kwadrat każdej liczby rzeczywistej jest nieujemny, więc pierwiastek kwadratowy z liczby ujemnej nie istnieje w zbiorze liczb rzeczywistych.

Inaczej jest z pierwiastkiem sześciennym:

Tu podstawa ujemna jest dozwolona, bo sześcian liczby ujemnej jest ujemny: $\sqrt[3]{-8} = -2$.

Działania na pierwiastkach

Pierwiastek rozdziela się względem mnożenia i dzielenia:

Ale nie względem dodawania: $\sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$, a $\sqrt{9} + \sqrt{16} = 3 + 4 = 7$.

Wyłączanie czynnika przed znak pierwiastka

Większość pierwiastków nie jest liczbą wymierną — $\sqrt{72}$ nie da się zapisać jako ułamek. Można je jednak uprościć: wystarczy wypatrzyć pod pierwiastkiem czynnik będący kwadratem i wyprowadzić go na zewnątrz:

Włączanie czynnika pod znak pierwiastka

To samo prawo, przeczytane od prawej do lewej, pozwala schować czynnik pod pierwiastek. Wchodzi tam podniesiony do kwadratu:

Na przykład $3\sqrt{5} = \sqrt{3^2 \cdot 5} = \sqrt{45}$. Warunek $a \ge 0$ jest konieczny: liczba spod pierwiastka nie może być ujemna, więc minus zostaje na zewnątrz. Zapis $-2\sqrt{3}$ to $-\sqrt{12}$, a nie $\sqrt{12}$.

Wyłączanie i włączanie to dwa kierunki jednego działania. Wyłączanie upraszcza ($\sqrt{72} = 6\sqrt{2}$), włączanie sprowadza do wspólnej postaci — a to jest dokładnie to, czego trzeba, żeby dwa pierwiastki porównać albo dodać.

Szacowanie pierwiastka

Większość pierwiastków nie ma dokładnego zapisu dziesiętnego, ale każdy da się w kilka sekund zamknąć między dwiema liczbami całkowitymi. Wystarczy znaleźć dwa kolejne kwadraty, między którymi leży liczba pod pierwiastkiem:

Dla $\sqrt{30}$ tymi kwadratami są $25 = 5^2$ i $36 = 6^2$, więc $5 < \sqrt{30} < 6$. Największa liczba całkowita nie większa od $\sqrt{30}$ to zatem $5$.

Dokładność da się poprawić bez kalkulatora: $30$ leży niedaleko środka odcinka od $25$ do $36$, więc $\sqrt{30} \approx 5{,}5$. Sprawdzenie mnożeniem: $5{,}5^2 = 30{,}25$ — trochę za dużo, więc prawdziwa wartość jest odrobinę mniejsza ($5{,}477\ldots$).

Szacowanie jest przede wszystkim kontrolą wyniku. Jeśli rachunek albo kalkulator dają $\sqrt{30} = 15$, wystarczy zauważyć, że $15^2 = 225$, a nie $30$.

Porównywanie pierwiastków

Pierwiastkowanie zachowuje kolejność liczb: im większa liczba pod pierwiastkiem, tym większy pierwiastek.

Dlatego $\sqrt{17} > \sqrt{15}$ i żadnego rachunku to nie wymaga. Kłopot zaczyna się, gdy pierwiastki mają jeszcze czynniki przed znakiem — wtedy najpierw włączamy je pod pierwiastek, żeby porównywać jedną liczbę z jedną liczbą:

Różnica wynosi tu $\sqrt{45} - \sqrt{44} \approx 0{,}075$ — na oko obie liczby są nie do odróżnienia, a reguła rozstrzyga pewnie. Porównywanie po samym czynniku przed pierwiastkiem albo po samej liczbie pod nim zawodzi: $2\sqrt{11}$ ma mniejszy czynnik i większą liczbę pod pierwiastkiem, a mimo to jest mniejsze.

Usuwanie niewymierności z mianownika

Ułamek z pierwiastkiem w mianowniku zapisujemy zwykle inaczej — mnożąc licznik i mianownik przez ten sam pierwiastek, czyli przez jedynkę:

Stąd znane $\frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$ — ta sama liczba, wygodniejszy zapis.

Pierwiastek jako potęga

Pierwiastek to po prostu potęga o wykładniku ułamkowym:

To spina oba tematy w jedno: wszystkie prawa działań na potęgach obowiązują wtedy również dla pierwiastków, bez osobnych reguł do zapamiętania.

Częste błędy

• Rozdzielanie pierwiastka po dodawaniu — $\sqrt{a + b} \neq \sqrt{a} + \sqrt{b}$.
• Zapisywanie $\sqrt{16}$ jako $\pm 4$ — pierwiastek kwadratowy jest z definicji nieujemny; znak $\pm$ pojawia się dopiero przy rozwiązywaniu równania $x^2 = 16$.
• Zatrzymywanie się na przybliżeniu — jeśli zadanie prosi o wartość dokładną, odpowiedzią jest $6\sqrt{2}$, a nie $8{,}49$.
• Szukanie pierwiastka kwadratowego z liczby ujemnej — nie istnieje w liczbach rzeczywistych, w odróżnieniu od pierwiastka sześciennego.
• Włączanie czynnika bez podniesienia go do kwadratu — $3\sqrt{5}$ to $\sqrt{45}$, a nie $\sqrt{15}$.
• Wciąganie minusa pod pierwiastek — $-2\sqrt{3}$ to $-\sqrt{12}$; pod pierwiastkiem kwadratowym nie może stać liczba ujemna.
• Porównywanie pierwiastków po samym czynniku przed znakiem — $3\sqrt{5} > 2\sqrt{11}$, choć $5 < 11$; rozstrzyga dopiero postać po włączeniu, $\sqrt{45}$ i $\sqrt{44}$.
• Szacowanie „w połowie między kwadratami" — $\sqrt{x}$ rośnie coraz wolniej, więc dla $x$ leżącego w połowie odcinka od $n^2$ do $(n+1)^2$ pierwiastek wypada nieco powyżej środka między $n$ a $n+1$.