Pierwiastki

Pierwiastek to działanie odwrotne do potęgowania. Pierwiastek kwadratowy z liczby $a \ge 0$ to taka liczba nieujemna $b$, że $b^2 = a$:

$$\sqrt{a} = b \iff b^2 = a \quad (a, b \ge 0)$$

Na przykład $\sqrt{49} = 7$, bo $7^2 = 49$.

Warunek $a \ge 0$ nie jest przypadkowy: kwadrat każdej liczby rzeczywistej jest nieujemny, więc pierwiastek kwadratowy z liczby ujemnej nie istnieje w zbiorze liczb rzeczywistych.

Inaczej jest z pierwiastkiem sześciennym:

$$\sqrt[3]{a} = b \iff b^3 = a$$

Tu podstawa ujemna jest dozwolona, bo sześcian liczby ujemnej jest ujemny: $\sqrt[3]{-8} = -2$.

Działania na pierwiastkach

Pierwiastek rozdziela się względem mnożenia i dzielenia:

$$\sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{a \cdot b} \qquad \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \sqrt{\frac{a}{b}}$$

Ale nie względem dodawania: $\sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$, a $\sqrt{9} + \sqrt{16} = 3 + 4 = 7$.

Wyłączanie czynnika przed znak pierwiastka

Większość pierwiastków nie jest liczbą wymierną — $\sqrt{72}$ nie da się zapisać jako ułamek. Można je jednak uprościć: wystarczy wypatrzyć pod pierwiastkiem czynnik będący kwadratem i wyprowadzić go na zewnątrz:

$$\sqrt{a^2 \cdot b} = a\sqrt{b} \quad (a \ge 0)$$

Usuwanie niewymierności z mianownika

Ułamek z pierwiastkiem w mianowniku zapisujemy zwykle inaczej — mnożąc licznik i mianownik przez ten sam pierwiastek, czyli przez jedynkę:

$$\frac{1}{\sqrt{a}} = \frac{1}{\sqrt{a}} \cdot \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a}} = \frac{\sqrt{a}}{a} \quad (a > 0)$$

Stąd znane $\frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$ — ta sama liczba, wygodniejszy zapis.

Pierwiastek jako potęga

Pierwiastek to po prostu potęga o wykładniku ułamkowym:

$$\sqrt{a} = a^{\frac{1}{2}} \qquad \sqrt[n]{a} = a^{\frac{1}{n}}$$

To spina oba tematy w jedno: wszystkie prawa działań na potęgach obowiązują wtedy również dla pierwiastków, bez osobnych reguł do zapamiętania.

Ćwiczenia

Rozwiąż zestaw zadań — trudność rośnie z każdym kolejnym. Na końcu zobaczysz wynik i listę pomyłek do powtórki.

Zadanie 1 z 8Punkty: 0

√121 =WynikSprawdź

Częste błędy

• Rozdzielanie pierwiastka po dodawaniu — $\sqrt{a + b} \neq \sqrt{a} + \sqrt{b}$.
• Zapisywanie $\sqrt{16}$ jako $\pm 4$ — pierwiastek kwadratowy jest z definicji nieujemny; znak $\pm$ pojawia się dopiero przy rozwiązywaniu równania $x^2 = 16$.
• Zatrzymywanie się na przybliżeniu — jeśli zadanie prosi o wartość dokładną, odpowiedzią jest $6\sqrt{2}$, a nie $8{,}49$.
• Szukanie pierwiastka kwadratowego z liczby ujemnej — nie istnieje w liczbach rzeczywistych, w odróżnieniu od pierwiastka sześciennego.