Potęga a^n to skrócony zapis mnożenia liczby a przez samą siebie n razy. Liczba a to podstawa, a n to wykładnik. Na przykład 2^5 = 2 · 2 · 2 · 2 · 2 = 32.

Dlaczego każda liczba do potęgi zerowej daje 1?

Bo dzielenie potęg odejmuje wykładniki: a^n / a^n = a^(n−n) = a^0, a jednocześnie każda liczba podzielona przez siebie daje 1. Żeby prawo działań pozostało prawdziwe, a^0 musi wynosić 1 (dla a ≠ 0).

Co oznacza ujemny wykładnik?

Ujemny wykładnik oznacza odwrotność: a^(−n) = 1 / a^n. Na przykład 2^(−3) = 1/2^3 = 1/8. Nie oznacza wyniku ujemnego — 2^(−3) jest liczbą dodatnią.

Czym różni się (−2)^4 od −2^4?

Nawias decyduje, co jest podstawą. W (−2)^4 podstawą jest −2, więc wynik to 16. W −2^4 potęgowana jest tylko dwójka, a minus zostaje z przodu, więc wynik to −16.

Czy potęgi o różnych podstawach można dodawać przez dodanie wykładników?

Nie. Prawa działań na potęgach dotyczą MNOŻENIA i DZIELENIA potęg o tej samej podstawie. Sumy 2^3 + 2^4 nie da się zapisać jako 2^7 — trzeba policzyć 8 + 16 = 24.

Do czego służy notacja naukowa?

Notacja naukowa zapisuje liczbę jako a · 10^n, gdzie 1 ≤ a < 10. Pozwala krótko zapisać bardzo duże i bardzo małe wielkości: 300 000 000 to 3 · 10^8, a 0,00042 to 4,2 · 10^(−4).

Poziom średni

Potęgi

Potęga to skrócony zapis mnożenia tego samego czynnika. Poznaj podstawę i wykładnik, prawa działań na potęgach, potęgę o wykładniku zerowym i ujemnym oraz notację naukową.

Zanim zaczniesz

Ten temat opiera się na wcześniejszych zagadnieniach. Zanim zaczniesz, warto przerobić poniższe lekcje — dzięki nim wszystko pójdzie gładko:

MnożenieMnożenie to skrócone dodawanie tego samego składnika. Poznaj nazwy czynników i iloczynu, prawa mnożenia (przemienność, łączność, rozdzielność), tabliczkę mnożenia oraz mnożenie w słupku.

Wszystkie wzory

Definicja potęgi
$a^n = \underbrace{a \cdot a \cdot \ldots \cdot a}_{n \text{ czynników}}$
a to podstawa, n to wykładnik
Mnożenie potęg o tej samej podstawie
$a^m \cdot a^n = a^{m+n}$
wykładniki dodajemy
Dzielenie potęg o tej samej podstawie
$\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$
wykładniki odejmujemy
Potęga potęgi
$(a^m)^n = a^{m \cdot n}$
wykładniki mnożymy
Potęga iloczynu
$(a \cdot b)^n = a^n \cdot b^n$
każdy czynnik podnosimy osobno
Wykładnik zerowy i ujemny
$a^0 = 1, \quad a^{-n} = \frac{1}{a^n} \quad (a \neq 0)$
ujemny wykładnik oznacza odwrotność

Potęga to skrócony zapis mnożenia tego samego czynnika przez siebie:

a^n = \underbrace{a \cdot a \cdot \ldots \cdot a}_{n \text{ czynników}}

Liczba $a$ to podstawa potęgi, a $n$ to wykładnik — mówi, ile razy podstawa występuje jako czynnik:

2^5 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 32

Drugą potęgę nazywamy kwadratem ( $5^2$ czytamy „pięć do kwadratu"), a trzecią — sześcianem ( $5^3$ to „pięć do sześcianu").

Prawa działań na potęgach

Wszystkie prawa wynikają wprost z definicji — wystarczy rozpisać potęgę jako iloczyn i policzyć czynniki.

Mnożąc potęgi o tej samej podstawie, dodajemy wykładniki:

a^m \cdot a^n = a^{m+n}

bo $2^3 \cdot 2^2 = (2 \cdot 2 \cdot 2) \cdot (2 \cdot 2) = 2^5$ .

Dzieląc — odejmujemy:

\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}

A podnosząc potęgę do potęgi — mnożymy:

(a^m)^n = a^{m \cdot n}

Zapisz jako jedną potęgę: 3⁴ · 3³ ÷ 3²

Potęgowanie rozdziela się względem mnożenia i dzielenia, ale nie względem dodawania:

(a \cdot b)^n = a^n \cdot b^n

Natomiast $(a + b)^n \neq a^n + b^n$ — sprawdź na $(1 + 2)^2 = 9$ , podczas gdy $1^2 + 2^2 = 5$ .

Wykładnik zerowy i ujemny

Co znaczy $a^0$ ? Definicja „pomnóż podstawę przez siebie zero razy" nic nie mówi, więc odpowiedzi szukamy w prawie dzielenia:

a^0 = a^{n-n} = \frac{a^n}{a^n} = 1 \quad (a \neq 0)

Wartość $a^0 = 1$ nie jest więc umową bez powodu — to jedyna wartość, przy której prawo dzielenia potęg pozostaje prawdziwe. Tym samym torem idzie wykładnik ujemny:

a^{-n} = \frac{1}{a^n} \quad (a \neq 0)

Ujemny wykładnik oznacza odwrotność, a nie wynik ujemny: $2^{-3} = \frac{1}{8}$ jest liczbą dodatnią.

Ile wynosi 5⁻² ?

Notacja naukowa

Potęgi dziesiątki pozwalają krótko zapisać bardzo duże i bardzo małe liczby. W notacji naukowej liczbę zapisujemy jako $a \cdot 10^n$ , gdzie $1 \le a < 10$ :

300\,000\,000 = 3 \cdot 10^8 \qquad 0{,}00042 = 4{,}2 \cdot 10^{-4}

Wykładnik mówi, o ile miejsc przesuwa się przecinek: dodatni — w prawo, ujemny — w lewo.

Ćwiczenia

Rozwiąż zestaw zadań — trudność rośnie z każdym kolejnym. Na końcu zobaczysz wynik i listę pomyłek do powtórki.

Zadanie 1 z 8Punkty: 0

2² =

Częste błędy

Mnożenie podstawy przez wykładnik — $2^5$ to nie $10$ , tylko $32$ ; wykładnik zlicza czynniki, a nie mnoży.
Dodawanie wykładników przy dodawaniu potęg — prawa działań dotyczą mnożenia i dzielenia; $2^3 + 2^4$ trzeba policzyć jako $8 + 16 = 24$ .
Gubienie nawiasu przy ujemnej podstawie — $(-2)^4 = 16$ , ale $-2^4 = -16$ .
Czytanie $2^{-3}$ jako liczby ujemnej — ujemny wykładnik daje odwrotność, czyli $\frac{1}{8}$ .

Karta wzorów

Temat: Potęgi

Definicja potęgi
$a^n = \underbrace{a \cdot a \cdot \ldots \cdot a}_{n \text{ czynników}}$
a to podstawa, n to wykładnik
Mnożenie potęg o tej samej podstawie
$a^m \cdot a^n = a^{m+n}$
wykładniki dodajemy
Dzielenie potęg o tej samej podstawie
$\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$
wykładniki odejmujemy
Potęga potęgi
$(a^m)^n = a^{m \cdot n}$
wykładniki mnożymy
Potęga iloczynu
$(a \cdot b)^n = a^n \cdot b^n$
każdy czynnik podnosimy osobno
Wykładnik zerowy i ujemny
$a^0 = 1, \quad a^{-n} = \frac{1}{a^n} \quad (a \neq 0)$
ujemny wykładnik oznacza odwrotność

Najczęstsze pytania

Powiązane artykuły

Kreska ułamkowa i znak procentu jako geometryczne formy oraz koło podzielone na równe wycinki niczym orbita, na tle kosmicznej mgławicy w fiolecie i magencie

Liczby

Procent to ułamek w przebraniu — trzy zapisy jednej liczby

1/2, 0,5 i 50% to nie trzy różne rzeczy, tylko trzy sposoby zapisania tej samej liczby. Oto skąd wzięła się kreska ułamkowa, przecinek i znak %, dlaczego 1/3 nie kończy się nigdy, czemu +20% i −20% nie wraca do punktu wyjścia i dlaczego ułamki są pierwszym poważnym progiem szkolnej matematyki.

11 min