Potęgi

Potęga to skrócony zapis mnożenia tego samego czynnika przez siebie:

Liczba $a$ to podstawa potęgi, a $n$ to wykładnik — mówi, ile razy podstawa występuje jako czynnik:

Drugą potęgę nazywamy kwadratem ($5^2$ czytamy „pięć do kwadratu"), a trzecią — sześcianem ($5^3$ to „pięć do sześcianu").

Prawa działań na potęgach

Wszystkie prawa wynikają wprost z definicji — wystarczy rozpisać potęgę jako iloczyn i policzyć czynniki.

Mnożąc potęgi o tej samej podstawie, dodajemy wykładniki:

bo $2^3 \cdot 2^2 = (2 \cdot 2 \cdot 2) \cdot (2 \cdot 2) = 2^5$.

Dzieląc — odejmujemy:

A podnosząc potęgę do potęgi — mnożymy:

Potęgowanie rozdziela się względem mnożenia i dzielenia, ale nie względem dodawania:

Oba wzory to jedno prawo: dzielenie jest mnożeniem przez odwrotność, więc iloraz podnosimy do potęgi, podnosząc osobno licznik i osobno mianownik. Widać to po rozpisaniu:

Natomiast $(a + b)^n \neq a^n + b^n$ — sprawdź na $(1 + 2)^2 = 9$, podczas gdy $1^2 + 2^2 = 5$.

Wykładnik zerowy i ujemny

Co znaczy $a^0$? Definicja „pomnóż podstawę przez siebie zero razy" nic nie mówi, więc odpowiedzi szukamy w prawie dzielenia:

Wartość $a^0 = 1$ nie jest więc umową bez powodu — to jedyna wartość, przy której prawo dzielenia potęg pozostaje prawdziwe. Tym samym torem idzie wykładnik ujemny:

Ujemny wykładnik oznacza odwrotność, a nie wynik ujemny: $2^{-3} = \frac{1}{8}$ jest liczbą dodatnią.

Dla ułamka oba prawa spotykają się w jednym wygodnym wniosku: $\left(\frac{a}{b}\right)^{-n} = \frac{a^{-n}}{b^{-n}} = \frac{b^n}{a^n}$, czyli ułamek odwracamy i potęgujemy. Stąd $\left(\frac{2}{3}\right)^{-2} = \left(\frac{3}{2}\right)^2 = \frac{9}{4}$.

Monotoniczność potęgowania

Potęgi porównuje się bez liczenia ich wartości — pod warunkiem, że różni je tylko jedna rzecz.

Gdy taki sam jest wykładnik, decyduje podstawa. Dla podstaw nieujemnych większa podstawa daje większą potęgę:

Stąd od razu $3^4 < 4^4$ i $\left(\frac{1}{3}\right)^5 < \left(\frac{1}{2}\right)^5$, bez liczenia czegokolwiek.

Gdy taka sama jest podstawa, decyduje wykładnik — ale kierunek zależy od tego, czy podstawa jest większa, czy mniejsza od jedynki:

Powód jest jednozdaniowy: każde kolejne potęgowanie mnoży przez podstawę, a mnożenie przez liczbę większą od $1$ powiększa, przez liczbę z przedziału od $0$ do $1$ — pomniejsza. Dlatego $2^3 < 2^5$ ($8 < 32$), ale $0{,}5^3 > 0{,}5^5$ ($0{,}125 > 0{,}03125$). Podstawa $1$ jest granicą, przy której nic się nie zmienia: $1^n = 1$ dla każdego $n$.

Gdy różnią się i podstawa, i wykładnik, żadna z tych reguł nie wystarczy — trzeba doprowadzić potęgi do wspólnej postaci albo policzyć wartości. Para $3^5$ i $5^3$ pokazuje, że intuicja tu zawodzi: większa podstawa przegrywa, bo $3^5 = 243$, a $5^3 = 125$. W wykładniku tkwi większa siła niż w podstawie.

Monotoniczność jest też powodem, dla którego potęgowanie da się odwrócić: skoro przy ustalonej podstawie większej od $1$ potęga rośnie wraz z wykładnikiem, to każdej wartości odpowiada dokładnie jeden wykładnik — i tego wykładnika szuka logarytm.

Notacja naukowa

Potęgi dziesiątki pozwalają krótko zapisać bardzo duże i bardzo małe liczby. W notacji naukowej liczbę zapisujemy jako $a \cdot 10^n$, gdzie $1 \le a < 10$:

Wykładnik mówi, o ile miejsc przesuwa się przecinek: dodatni — w prawo, ujemny — w lewo.

Wykładnik nie musi być liczbą całkowitą: zapis $a^{m/n}$ ma sens i znaczy dokładnie tyle co $\sqrt[n]{a^m}$ — tym zajmuje się osobny temat, potęga o wykładniku wymiernym.

Częste błędy

• Mnożenie podstawy przez wykładnik — $2^5$ to nie $10$, tylko $32$; wykładnik zlicza czynniki, a nie mnoży.
• Dodawanie wykładników przy dodawaniu potęg — prawa działań dotyczą mnożenia i dzielenia; $2^3 + 2^4$ trzeba policzyć jako $8 + 16 = 24$.
• Gubienie nawiasu przy ujemnej podstawie — $(-2)^4 = 16$, ale $-2^4 = -16$.
• Czytanie $2^{-3}$ jako liczby ujemnej — ujemny wykładnik daje odwrotność, czyli $\frac{1}{8}$.
• Podnoszenie do potęgi tylko licznika — $\left(\frac{2}{3}\right)^3$ to $\frac{8}{27}$, a nie $\frac{8}{3}$; mianownik potęgujemy tak samo jak licznik.
• Zakładanie, że wyższy wykładnik zawsze daje większą liczbę — przy podstawie z przedziału od $0$ do $1$ jest odwrotnie: $0{,}5^5 < 0{,}5^3$.
• Porównywanie potęg „po podstawie", gdy różnią się też wykładniki — $5^3 = 125$ jest mniejsze od $3^5 = 243$.