Logarytm jako działanie odwrotne

Działanie $2^3 = 8$ da się czytać na trzy sposoby, a każdy z nich zostawia inną niewiadomą. Gdy nie znamy wyniku, liczymy potęgę. Gdy nie znamy podstawy, wyciągamy pierwiastek: $\sqrt[3]{8} = 2$. Zostaje trzecia możliwość — nie znamy wykładnika:

Odpowiedzią jest liczba $3$, a działanie, które ją wskazuje, nazywa się logarytmem. To brakujące ogniwo obok potęgowania i pierwiastkowania: potęga pyta o wynik, pierwiastek o podstawę, logarytm — o wykładnik.

Definicja

Czytamy: logarytm przy podstawie $a$ z liczby $b$ to wykładnik, do którego trzeba podnieść $a$, żeby otrzymać $b$. Liczbę $b$ nazywamy liczbą logarytmowaną.

Najprościej sprawdzać to, przepisując logarytm na potęgę:

Trzy założenia w nawiasie nie są ozdobnikiem — każde z nich wynika z tego, jak zachowuje się potęga:

• $a > 0$ oraz $a \neq 1$ — jedynka podniesiona do dowolnej potęgi daje $1$, więc równanie $1^c = 8$ nie miałoby rozwiązania, a $1^c = 1$ miałoby ich nieskończenie wiele;
• $b > 0$ — potęga liczby dodatniej jest zawsze dodatnia, więc żaden wykładnik nie da $2^c = -8$. Logarytm z liczby ujemnej i z zera nie istnieje.

Dwie wartości wynikają wprost z definicji i warto je znać na pamięć:

bo $a^0 = 1$ oraz $a^1 = a$.

Logarytm dziesiętny i naturalny

Dwie podstawy pojawiają się tak często, że mają skrócony zapis:

Logarytm dziesiętny (podstawa $10$) stoi za każdą skalą, w której kolejny stopień oznacza dziesięciokrotność: decybelami, pH, skalą Richtera. Logarytm naturalny ma podstawę $e \approx 2{,}718$ — liczbę, która pojawia się wszędzie tam, gdzie coś rośnie lub maleje w sposób ciągły.

Własności

Wszystkie własności logarytmu to przepisane prawa działań na potęgach. Weźmy $x = a^p$ i $y = a^q$, czyli $\log_a x = p$ i $\log_a y = q$. Wtedy

a to znaczy dokładnie tyle, że logarytm iloczynu jest sumą logarytmów:

Tak samo dzielenie potęg daje odejmowanie, a potęgowanie potęgi — mnożenie:

To jest cała historia logarytmu: zamienia mnożenie na dodawanie, a potęgowanie na mnożenie. Zanim istniały kalkulatory, właśnie dzięki temu mnożyło się liczby wielocyfrowe, odczytując logarytmy z tablic i dodając je do siebie.

Widać to również na rysunku. Liczby $1, 2, 4, 8, 16$ rozbiegają się na osi coraz szybciej:

Ich logarytmy przy podstawie $2$ leżą już w równych odstępach:

Ostatnia para wzorów mówi wprost, że logarytmowanie i potęgowanie znoszą się nawzajem:

Po co to komu

Logarytm jest odpowiedzią wszędzie tam, gdzie niewiadoma siedzi w wykładniku. Lokata oprocentowana na $5\%$ mnoży kapitał przez $1{,}05$ rocznie, więc pytanie „po ilu latach kapitał się podwoi" to równanie

Ta sama konstrukcja opisuje rozpad promieniotwórczy, spłatę kredytu i czas działania algorytmu. Logarytm stoi też za skalami, w których każdy kolejny stopień oznacza wielokrotność, a nie kolejny krok: 30 decybeli różnicy to tysiąckrotność mocy dźwięku, a dwie jednostki pH to stukrotność stężenia. Ile dokładnie wychodzi w bel i neperach, przelicza kalkulator decybeli.

Częste błędy

• Logarytm sumy — $\log_a (x + y)$ nie równa się $\log_a x + \log_a y$. Wzory dotyczą iloczynu i ilorazu, nie dodawania.
• Rozdzielanie logarytmu na iloraz logarytmów — $\log_a \tfrac{x}{y}$ to $\log_a x - \log_a y$, a nie $\tfrac{\log_a x}{\log_a y}$.
• Logarytm z liczby ujemnej lub z zera — nie istnieje; dziedziną logarytmu są liczby dodatnie.
• Mylenie podstawy z liczbą logarytmowaną — $\log_2 8 = 3$, ale $\log_8 2 = \tfrac{1}{3}$. Podstawa stoi na dole.
• Uznawanie ujemnego wyniku za błąd — $\log_{10} 0{,}01 = -2$ jest poprawne: ujemny może być wynik, choć liczba logarytmowana ujemna być nie może.