Czym różni się procent składany od prostego?

Przy procencie prostym odsetki liczy się zawsze od kwoty początkowej, więc co okres dopisywana jest ta sama kwota. Przy procencie składanym odsetki dopisuje się do kapitału i w kolejnym okresie procent liczy się już od powiększonej sumy. Dla 1000 zł na 10% przez 3 lata procent prosty daje 1300 zł, a składany 1331 zł.

Jaki jest wzór na procent składany?

Kapitał po n okresach wynosi K = K₀ · (1 + p/100)ⁿ, gdzie K₀ to kapitał początkowy, a p to oprocentowanie jednego okresu w procentach. Nawias jest mnożnikiem jednego okresu, a wykładnik mówi, ile razy ten mnożnik zadziałał.

Co to jest kapitalizacja odsetek?

To moment dopisania odsetek do kapitału. Przy kapitalizacji miesięcznej roczną stopę dzielimy przez 12, a liczbę okresów mnożymy przez 12: K = K₀ · (1 + p/1200)^(12n). Im częstsza kapitalizacja, tym większy kapitał końcowy, choć różnice są niewielkie — dla 1000 zł na 5% przez 2 lata to 2,44 zł.

Czym różni się punkt procentowy od procentu?

Punkt procentowy to zwykła różnica dwóch wielkości podanych w procentach. Wzrost oprocentowania z 4% na 5% to wzrost o 1 punkt procentowy i jednocześnie o 25%, bo 1 stanowi 25% z 4. Zmianę wielkości, która sama jest procentem, podaje się w punktach procentowych właśnie po to, żeby te dwie liczby się nie myliły.

Dlaczego bank podaje inną kwotę niż mój rachunek?

Najczęściej z powodu zaokrągleń i podatku. Bank zaokrągla odsetki do grosza po każdej kapitalizacji, a nie dopiero na końcu, i potrąca podatek od zysków kapitałowych. Wzór na procent składany daje kwotę przed obiema tymi korektami, więc rozbieżność rzędu kilku groszy jest normalna.

Poziom średni

Procent składany i punkty procentowe

Procent składany to procent liczony od kwoty, która już raz urosła — dlatego kapitał rośnie potęgą, a nie po równo. Poznaj wzór na kapitał końcowy, kapitalizację częstszą niż roczna, procent składany przy spadkach oraz różnicę między procentem a punktem procentowym.

Zanim zaczniesz

Ten temat opiera się na wcześniejszych zagadnieniach. Zanim zaczniesz, warto przerobić poniższe lekcje — dzięki nim wszystko pójdzie gładko:

Gdzie się tego używa

Konkretne sytuacje, w których liczysz dokładnie tak, jak uczy ta lekcja:

Lokata bankowa
Lokata 1000 zł na 5% w skali roku z kapitalizacją miesięczną daje po dwóch latach 1000 · (1 + 0,05/12)²⁴ ≈ 1104,94 zł, podczas gdy przy kapitalizacji rocznej byłoby 1102,50 zł. Te 2,44 zł różnicy to cała treść słowa kapitalizacja w regulaminie.
Karta kredytowa
Zadłużenie 2000 zł oprocentowane na 1,5% miesięcznie urasta po roku do 2000 · 1,015¹² ≈ 2391,24 zł, czyli o 19,6%, a nie o 12 · 1,5% = 18%. Procent składany działa tak samo na dług jak na oszczędności — tylko przeciw nam.
Analiza ekonomiczna
Przy inflacji 8% rocznie ceny po trzech latach mnożą się przez 1,08³ ≈ 1,2597. To znaczy, że 1000 zł schowane w szufladzie ma wtedy siłę nabywczą 1000 : 1,2597 ≈ 794 zł — realny spadek o 20,6%, a nie o 24%.
Bankowość i media
Podniesienie stopy referencyjnej z 5,75% na 6,25% to wzrost o 0,5 punktu procentowego, ale zarazem o 8,7%, bo 0,5 : 5,75 ≈ 0,087. Nagłówek podający jedną z tych liczb zamiast drugiej mówi o tej samej decyzji zupełnie co innego.

Wszystkie wzory

Kapitał po n okresach
$K_n = K_0 \left(1 + \frac{p}{100}\right)^{n}$
mnożnik jednego okresu podniesiony do potęgi n
Kapitalizacja m razy w roku
$K_n = K_0 \left(1 + \frac{p}{100 \cdot m}\right)^{m \cdot n}$
stopa dzieli się przez m, liczba okresów mnoży przez m
Spadek składany
$K_n = K_0 \left(1 - \frac{p}{100}\right)^{n}$
ten sam wzór ze znakiem minus — amortyzacja, utrata wartości
Odsetki
$O = K_n - K_0$
to, co dopisał bank, czyli różnica kapitałów
Punkty procentowe
$\text{p.p.} = p_2 - p_1$
zwykła różnica dwóch wielkości podanych w procentach

Lekcja o procentach liczyła procent z jednej liczby. Tutaj procent działa wielokrotnie — i to zmienia rachunek zupełnie, bo za drugim razem liczy się go już od kwoty, która urosła.

Procent prosty a składany

Weźmy $1000$ zł na $10\%$ rocznie przez trzy lata.

Przy procencie prostym odsetki liczy się co roku od kwoty początkowej, więc każdego roku dopisywane jest $100$ zł: razem $1300$ zł.

Przy procencie składanym odsetki dopisuje się do kapitału, a w następnym roku procent liczy się już od nowej sumy:

Co roku dopisywana kwota jest większa od poprzedniej, bo procent liczy się od aktualnego stanu konta.

Po trzech latach mamy $1331$ zł zamiast $1300$ zł. Różnica $31$ zł to odsetki od odsetek — i to one sprawiają, że przy dłuższych okresach obie metody rozjeżdżają się dramatycznie.

Wzór

Każdy okres mnoży kapitał przez ten sam mnożnik zmiany $\left(1 + \tfrac{p}{100}\right)$ . Powtórzony $n$ razy daje potęgę:

K_n = K_0 \left(1 + \frac{p}{100}\right)^{n}

gdzie $K_0$ to kapitał początkowy, $p$ — oprocentowanie jednego okresu w procentach, a $n$ — liczba okresów. Same odsetki to różnica kapitałów:

O = K_n - K_0

Dla naszego przykładu $K_3 = 1000 \cdot 1{,}1^3 = 1000 \cdot 1{,}331 = 1331$ zł, a odsetki wynoszą $331$ zł.

Kapitalizacja częstsza niż roczna

Banki dopisują odsetki nie raz do roku, lecz co miesiąc albo co kwartał. Moment dopisania nazywa się kapitalizacją. Roczną stopę dzielimy wtedy przez liczbę kapitalizacji $m$ , a liczbę okresów przez tę samą liczbę mnożymy:

K_n = K_0 \left(1 + \frac{p}{100 \cdot m}\right)^{m \cdot n}

Im częstsza kapitalizacja, tym większy kapitał końcowy — bo odsetki wcześniej zaczynają pracować.

Lokata 1000 zł na 5% rocznie przez 2 lata: ile daje kapitalizacja roczna, a ile miesięczna?

Spadek składany

Ten sam wzór ze znakiem minus opisuje wielokrotny spadek:

K_n = K_0 \left(1 - \frac{p}{100}\right)^{n}

Samochód kupiony za $80\,000$ zł, tracący $15\%$ wartości rocznie, po czterech latach jest wart

80\,000 \cdot 0{,}85^4 = 80\,000 \cdot 0{,}522 \approx 41\,760 \ \text{zł}

a nie $80\,000 - 4 \cdot 12\,000 = 32\,000$ zł. Spadek o $15\%$ cztery razy z rzędu to nie spadek o $60\%$ , tylko o niecałe $48\%$ — bo za każdym razem odejmujemy od mniejszej kwoty.

Punkty procentowe

Gdy zmienia się wielkość, która sama jest procentem, mamy do wyboru dwa różne komunikaty. Oprocentowanie rośnie z $4\%$ na $5\%$ :

różnica wynosi $1$ punkt procentowy (skrót: p.p.) — to zwykłe odejmowanie $5\% - 4\%$ ,
ale wzrost wynosi $25\%$ , bo $1$ stanowi ćwiartkę z $4$ .

Ta sama zmiana opisana dwiema liczbami: 1 punkt procentowy różnicy to wzrost o 25%.

Obie liczby są prawdziwe i opisują to samo zdarzenie — dlatego zawsze trzeba wiedzieć, o którą chodzi. Punkt procentowy jest różnicą, procent — stosunkiem.

Bezrobocie spadło z 8% na 6%. O ile spadło?

Ćwiczenia

Rozwiąż zestaw zadań — trudność rośnie z każdym kolejnym. Na końcu zobaczysz wynik i listę pomyłek do powtórki.

Zadanie 1 z 8Punkty: 0

Kapitał końcowy (zł) — kapitał, stopa roczna, liczba lat: 10000, 10%, 2

Częste błędy

Mnożenie stopy przez liczbę lat — $10\%$ przez $3$ lata to mnożnik $1{,}1^3 = 1{,}331$ , a nie $1{,}3$ . Procenty się nie dodają.
Traktowanie spadku o $15\%$ cztery razy jako spadku o $60\%$ — każdy kolejny spadek liczy się od mniejszej kwoty, więc łącznie wychodzi mniej.
Mylenie punktu procentowego z procentem — wzrost z $4\%$ na $5\%$ to $1$ p.p., ale $25\%$ .
Zapominanie o podziale stopy przy kapitalizacji — przy kapitalizacji miesięcznej stopa roczna dzieli się przez $12$ ; sama zmiana wykładnika daje wynik kilkukrotnie zawyżony.
Oczekiwanie zgodności co do grosza — bank zaokrągla odsetki po każdej kapitalizacji i potrąca podatek, więc wynik ze wzoru bywa o kilka groszy inny.

Karta wzorów

Temat: Procent składany

Kapitał po n okresach
$K_n = K_0 \left(1 + \frac{p}{100}\right)^{n}$
mnożnik jednego okresu podniesiony do potęgi n
Kapitalizacja m razy w roku
$K_n = K_0 \left(1 + \frac{p}{100 \cdot m}\right)^{m \cdot n}$
stopa dzieli się przez m, liczba okresów mnoży przez m
Spadek składany
$K_n = K_0 \left(1 - \frac{p}{100}\right)^{n}$
ten sam wzór ze znakiem minus — amortyzacja, utrata wartości
Odsetki
$O = K_n - K_0$
to, co dopisał bank, czyli różnica kapitałów
Punkty procentowe
$\text{p.p.} = p_2 - p_1$
zwykła różnica dwóch wielkości podanych w procentach

Lokata 1000 zł na 10%: co roku dopisywana kwota jest większa, bo procent liczy się od nowego stanu konta.

Wzrost stopy z 4% na 5% to jeden punkt procentowy — ale zarazem wzrost o 25%, bo 1 to ćwiartka z 4.

Najczęstsze pytania

Powiązane artykuły

Kreska ułamkowa i znak procentu jako geometryczne formy oraz koło podzielone na równe wycinki niczym orbita, na tle kosmicznej mgławicy w fiolecie i magencie

Liczby

Procent to ułamek w przebraniu — trzy zapisy jednej liczby

1/2, 0,5 i 50% to nie trzy różne rzeczy, tylko trzy sposoby zapisania tej samej liczby. Oto skąd wzięła się kreska ułamkowa, przecinek i znak %, dlaczego 1/3 nie kończy się nigdy, czemu +20% i −20% nie wraca do punktu wyjścia i dlaczego ułamki są pierwszym poważnym progiem szkolnej matematyki.

11 min