Kuchnia
Przepis chce 3/4 szklanki mleka, a robisz połowę porcji: 3/4 · 1/2 = 3/8 szklanki — to konkretna kreska na miarce, między 1/4 a 1/2, a nie „na oko".
Ułamki zwykłe
Sklep
Waga przy ladzie pokazuje 0,384 kg sera po 41,90 zł/kg: 0,384 · 41,90 = 16,0896, a paragon drukuje 16,09 zł — zaokrąglamy dopiero wynik, nigdy składniki.
Ułamki dziesiętne
Wyprzedaż
Kurtka za 349 zł przeceniona o 30% kosztuje 349 · 0,7 = 244,30 zł, a obiecane „kolejne 20% przy kasie" to nie 50% rabatu, tylko 244,30 · 0,8 = 195,44 zł — łącznie 44%.
Procenty Zobacz lekcję: Ułamki dziesiętne
Dysk i pendrive
Pendrive „64 GB" pokazuje w eksploratorze plików 59,6 GB: producent liczy 64 · 10⁹ bajtów, a system dzieli je przez 2³⁰ = 1 073 741 824. Brakujących 4,4 GB nikt nie ukradł — to różnica dwóch potęg.
Potęgi Przelicz w konwerterze: Dane (IEC)
Ogród
Na kwadratowy taras kupiłeś 20 m² kostki, więc bok wychodzi √20 = 2√5 ≈ 4,47 m. Zaokrąglenie „dla wygody" do 4,5 m to już 20,25 m² — ćwierć metra kostki, której nie masz.
Pierwiastki
Przyjęcie
Parówki sprzedają po 10 w paczce, bułki po 8. Żeby nic nie zostało w lodówce, robisz NWW(10, 8) = 40 hot dogów: 4 paczki parówek i 5 paczek bułek.
NWD i NWW
Bankowość internetowa
Kłódka przy adresie banku opiera się na tym, że mnożyć jest łatwo, a rozkładać nie: 91 = 7 · 13 widzisz od ręki, ale 617-cyfrowego klucza RSA — iloczynu dwóch liczb pierwszych po ponad 300 cyfr — nie rozłoży dziś żadna maszyna.
Liczby pierwsze
Zakupy i planowanie
Na wycieczkę jedzie 47 osób, a do auta wchodzi 6 — dzielenie daje 7,83, ale odpowiedzią musi być liczba naturalna, więc aut potrzeba 8. To nie jest zaokrąglanie: wynik ma leżeć w ℕ, bo ósme auto jedzie całe albo wcale.
Zbiory liczbowe
Zakupy i reklamacje
Paczka mąki ma mieć 1000 g, waga sklepowa pokazuje 977 g. Odchyłka to |977 − 1000| = 23 g — i to ona decyduje o reklamacji, bo dla dopuszczalnych 15 g nie ma znaczenia, czy paczka jest lżejsza, czy cięższa.
Wartość bezwzględna
Ubrania i rozmiarówka
Tabela rozmiarów przypisuje rozmiar M obwodowi klatki ⟨96; 104) cm. Obwód 104 cm to już rozmiar L — i o tym mówi nawias okrągły przy prawym końcu, a nie drobny druk pod tabelą.
Przedziały liczbowe
Gotowanie
Przepis na ciasto dla 4 osób wymaga 300 g mąki, a przychodzi 6 gości. Proporcja 300 : 4 = x : 6 daje x = 450 g. Tak samo skalujemy każdy pozostały składnik — mnożnik 1,5 jest jeden dla całego przepisu.
Proporcje i skala
Kserokopiarka i format papieru
Arkusze A mają stosunek boków √2 = 2^(1/2), dlatego powiększenie A4 do A3 ustawia się na 141% (bo 2^(1/2) ≈ 1,414), a pomniejszenie A3 do A4 na 71%. Dwa powiększenia o 141% dają dokładnie 200%, czyli 2^(1/2) · 2^(1/2) = 2.
Potęga wymierna
Hałas i słuch
Rozmowa to około 60 dB, ruchliwa ulica 90 dB. Różnica 30 dB nie oznacza półtora raza głośniej, tylko 10³ = 1000 razy większą moc dźwięku — bo decybel jest jednostką logarytmiczną, a nie zwykłą skalą.
Logarytmy Przelicz w konwerterze: Decybele
Lokata bankowa
Lokata 1000 zł na 5% w skali roku z kapitalizacją miesięczną daje po dwóch latach 1000 · (1 + 0,05/12)²⁴ ≈ 1104,94 zł, podczas gdy przy kapitalizacji rocznej byłoby 1102,50 zł. Te 2,44 zł różnicy to cała treść słowa kapitalizacja w regulaminie.
Procent składany

Wzory działu

Dział: Liczby

Ułamki zwykłe

Ułamek zwykły
$\frac{a}{b}$
licznik przez mianownik, b ≠ 0
Ułamki równoważne
$\frac{a}{b} = \frac{a \cdot k}{b \cdot k}$
rozszerzenie: mnożymy licznik i mianownik przez to samo k
Dodawanie ułamków
$\frac{a}{b} + \frac{c}{d} = \frac{a \cdot d + c \cdot b}{b \cdot d}$
sprowadzenie do wspólnego mianownika
Odejmowanie ułamków
$\frac{a}{b} - \frac{c}{d} = \frac{a \cdot d - c \cdot b}{b \cdot d}$
ten sam wspólny mianownik co przy dodawaniu
Mnożenie ułamków
$\frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{a \cdot c}{b \cdot d}$
mnożymy liczniki i mnożymy mianowniki
Dzielenie ułamków
$\frac{a}{b} \div \frac{c}{d} = \frac{a}{b} \cdot \frac{d}{c} \quad (c \neq 0)$
mnożymy przez odwrotność dzielnika
Liczba mieszana na ułamek niewłaściwy
$c\frac{a}{b} = \frac{c \cdot b + a}{b}$
całość mnożymy przez mianownik i dodajemy licznik
Porównywanie ułamków
$\frac{a}{b} > \frac{c}{d} \iff a \cdot d > c \cdot b \quad (b, d > 0)$
mnożenie na krzyż — porównujemy dwa iloczyny zamiast dwóch ułamków
Skracanie ułamka
$\frac{a}{b} = \frac{a \div \mathrm{NWD}(a,b)}{b \div \mathrm{NWD}(a,b)}$
NWD = największy wspólny dzielnik — dzielimy przez niego licznik i mianownik

Ułamki dziesiętne

Zapis pozycyjny
$3{,}45 = 3 + \frac{4}{10} + \frac{5}{100}$
cyfry po przecinku to dziesiąte, setne, tysięczne części
Ułamek zwykły jako dziesiętny
$\frac{3}{4} = \frac{75}{100} = 0{,}75$
gdy mianownik da się rozszerzyć do potęgi 10
Dziesiętny jako ułamek zwykły
$0{,}35 = \frac{35}{100} = \frac{7}{20}$
cyfry po przecinku nad potęgą dziesiątki, potem skracamy
Dodawanie dziesiętnych
$3{,}25 + 1{,}40 = 4{,}65$
ustaw przecinek pod przecinkiem, dodawaj jak liczby całkowite
Mnożenie dziesiętnych
$2{,}5 \cdot 1{,}2 = 3{,}00$
mnóż tak jak liczby całkowite, przecinek wstaw na końcu
Dzielenie dziesiętnych
$14{,}4 \div 1{,}2 = 144 \div 12 = 12$
przesuwamy przecinek w obu liczbach o tyle samo miejsc, aż dzielnik będzie całkowity
Zaokrąglanie do setnych
$3{,}465 \approx 3{,}47$
patrzymy na pierwszą odrzucaną cyfrę — tu 5, więc zaokrąglamy w górę
Rozwinięcie czysto okresowe
$0{,}(3) = \frac{3}{9} = \frac{1}{3}$
okres nad tyloma dziewiątkami, ile ma cyfr
Rozwinięcie mieszane okresowe
$0{,}1(6) = \frac{16 - 1}{90} = \frac{1}{6}$
dziewiątki za cyfry okresu, zera za cyfry przed okresem

Procenty

Zapis procentowy
$p\% = \frac{p}{100}$
procent to setna część całości
Procent z liczby
$p\% \text{ z } c = \frac{p}{100} \cdot c$
ile wynosi p procent całości c
Całość ze znanej części
$c = \text{część} \div \frac{p}{100}$
gdy znasz część i jej procent, odtwarzasz całość
Zmiana procentowa
$\Delta\% = \frac{\text{nowa} - \text{stara}}{\text{stara}} \cdot 100\%$
dodatnia to wzrost, ujemna to spadek
Mnożnik zmiany
$\text{nowa} = \text{stara} \cdot \left(1 \pm \frac{p}{100}\right)$
podwyżka o p% to mnożenie przez 1 + p/100, obniżka — przez 1 − p/100
Dwie zmiany po kolei
$\text{nowa} = \text{stara} \cdot \left(1 + \frac{p_1}{100}\right)\left(1 + \frac{p_2}{100}\right)$
mnożniki mnożymy przez siebie, procentów nie dodajemy

Potęgi

Definicja potęgi
$a^n = \underbrace{a \cdot a \cdot \ldots \cdot a}_{n \text{ czynników}}$
a to podstawa, n to wykładnik
Mnożenie potęg o tej samej podstawie
$a^m \cdot a^n = a^{m+n}$
wykładniki dodajemy
Dzielenie potęg o tej samej podstawie
$\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$
wykładniki odejmujemy
Potęga potęgi
$(a^m)^n = a^{m \cdot n}$
wykładniki mnożymy
Potęga iloczynu
$(a \cdot b)^n = a^n \cdot b^n$
każdy czynnik podnosimy osobno
Potęga ilorazu
$\left(\frac{a}{b}\right)^n = \frac{a^n}{b^n} \quad (b \neq 0)$
licznik i mianownik podnosimy osobno
Wykładnik zerowy i ujemny
$a^0 = 1, \quad a^{-n} = \frac{1}{a^n} \quad (a \neq 0)$
ujemny wykładnik oznacza odwrotność
Monotoniczność względem podstawy
$0 \le a < b \implies a^n < b^n \quad (n \ge 1)$
przy tym samym wykładniku większa podstawa daje większą potęgę
Monotoniczność względem wykładnika
$m < n \implies \begin{cases} a^m < a^n & \text{dla } a > 1 \\ a^m > a^n & \text{dla } 0 < a < 1 \end{cases}$
przy podstawie większej od 1 potęga rośnie, przy podstawie między 0 a 1 — maleje

Pierwiastki

Pierwiastek kwadratowy
$\sqrt{a} = b \iff b^2 = a \quad (a, b \ge 0)$
działanie odwrotne do podnoszenia do kwadratu
Pierwiastek sześcienny
$\sqrt[3]{a} = b \iff b^3 = a$
określony także dla liczb ujemnych
Iloczyn pierwiastków
$\sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{a \cdot b}$
pierwiastki mnożymy pod jednym znakiem
Iloraz pierwiastków
$\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \sqrt{\frac{a}{b}} \quad (b > 0)$
to samo prawo dla dzielenia
Wyłączanie czynnika przed pierwiastek
$\sqrt{a^2 \cdot b} = a\sqrt{b} \quad (a \ge 0)$
kwadrat wychodzi spod pierwiastka jako podstawa
Włączanie czynnika pod pierwiastek
$a\sqrt{b} = \sqrt{a^2 \cdot b} \quad (a \ge 0)$
czynnik sprzed pierwiastka wchodzi pod niego podniesiony do kwadratu
Szacowanie pierwiastka
$n^2 \le x < (n+1)^2 \implies n \le \sqrt{x} < n + 1$
szukamy dwóch kolejnych kwadratów, między którymi leży liczba
Porównywanie pierwiastków
$0 \le a < b \iff \sqrt{a} < \sqrt{b}$
większa liczba pod pierwiastkiem daje większy pierwiastek
Usuwanie niewymierności
$\frac{1}{\sqrt{a}} = \frac{\sqrt{a}}{a} \quad (a > 0)$
mnożymy licznik i mianownik przez ten sam pierwiastek

NWD i NWW

Podzielność
$a \mid b \iff b = a \cdot k, \; k \in \mathbb{Z}$
a dzieli b, gdy b jest wielokrotnością a
Największy wspólny dzielnik
$\text{NWD}(a, b) = \max\{d : d \mid a \text{ i } d \mid b\}$
największa liczba dzieląca obie liczby
Najmniejsza wspólna wielokrotność
$\text{NWW}(a, b) = \min\{w > 0 : a \mid w \text{ i } b \mid w\}$
najmniejsza liczba dodatnia podzielna przez obie
Wzór wiążący NWD i NWW
$\text{NWD}(a, b) \cdot \text{NWW}(a, b) = a \cdot b$
znając jedno, wyliczasz drugie
Algorytm Euklidesa
$\text{NWD}(a, b) = \text{NWD}(b, a \bmod b)$
powtarzaj, aż reszta wyniesie zero

Liczby pierwsze

Definicja liczby pierwszej
$p \text{ jest pierwsza} \iff p > 1 \text{ i } p \text{ ma dokładnie 2 dzielniki}$
dzielnikami są tylko 1 i sama liczba
Podstawowe twierdzenie arytmetyki
$n = p_1^{a_1} \cdot p_2^{a_2} \cdot \ldots \cdot p_k^{a_k}$
rozkład na czynniki pierwsze jest jedyny
Test pierwszości
$n \text{ złożona} \implies \exists\, p \le \sqrt{n} : p \mid n$
wystarczy sprawdzić dzielniki do pierwiastka z n
NWD i NWW z rozkładu
$\text{NWD} = \prod p_i^{\min(a_i, b_i)}, \quad \text{NWW} = \prod p_i^{\max(a_i, b_i)}$
najmniejsze wykładniki dla NWD, największe dla NWW

Zbiory liczbowe

Liczby naturalne
$\mathbb{N} = \{0, 1, 2, 3, \ldots\}$
liczby, którymi liczymy sztuki — bez znaku i bez części ułamkowej
Liczby całkowite
$\mathbb{Z} = \{\ldots, -2, -1, 0, 1, 2, \ldots\}$
liczby naturalne wraz z liczbami do nich przeciwnymi
Liczby wymierne
$\mathbb{Q} = \left\{ \frac{p}{q} : p \in \mathbb{Z},\ q \in \mathbb{Z},\ q \neq 0 \right\}$
wszystko, co da się zapisać ułamkiem o całkowitym liczniku i mianowniku
Łańcuch zawierania
$\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R}$
każdy kolejny zbiór zawiera poprzedni w całości
Niewymierność
$\sqrt{2} \notin \mathbb{Q}$
pierwiastka z 2 nie da się zapisać żadnym ułamkiem
Parzysta i nieparzysta
$a = 2k \quad\text{lub}\quad a = 2k + 1, \quad k \in \mathbb{Z}$
zapis, na którym opierają się dowody podzielności

Wartość bezwzględna

Definicja
$|a| = \begin{cases} a & \text{dla } a \ge 0 \\ -a & \text{dla } a < 0 \end{cases}$
liczbie nieujemnej nic się nie dzieje, ujemnej zmieniamy znak
Nieujemność
$|a| \ge 0$
odległość nie bywa ujemna
Symetria
$|-a| = |a|$
liczby przeciwne leżą tak samo daleko od zera
Odległość dwóch liczb
$|a - b| = |b - a|$
kolejność odejmowania nie zmienia odległości
Mnożenie i dzielenie
$|a \cdot b| = |a| \cdot |b| \qquad \left|\frac{a}{b}\right| = \frac{|a|}{|b|}$
moduł rozdziela się względem mnożenia i dzielenia
Pierwiastek z kwadratu
$\sqrt{a^2} = |a|$
nie a, bo pierwiastek kwadratowy jest zawsze nieujemny
Nierówność trójkąta
$|a + b| \le |a| + |b|$
moduł sumy nigdy nie przekracza sumy modułów

Przedziały liczbowe

Przedział domknięty
$\langle a; b \rangle = \{ x \in \mathbb{R} : a \le x \le b \}$
oba końce należą do przedziału
Przedział otwarty
$(a; b) = \{ x \in \mathbb{R} : a < x < b \}$
żaden z końców nie należy do przedziału
Przedział jednostronnie domknięty
$\langle a; b) = \{ x \in \mathbb{R} : a \le x < b \}$
lewy koniec należy, prawy nie
Przedział nieograniczony
$(-\infty; b) = \{ x \in \mathbb{R} : x < b \}$
przy nieskończoności zawsze nawias okrągły
Część wspólna
$A \cap B = \{ x : x \in A \ \text{i} \ x \in B \}$
liczby należące do obu przedziałów naraz
Suma
$A \cup B = \{ x : x \in A \ \text{lub} \ x \in B \}$
liczby należące do co najmniej jednego z przedziałów
Moduł jako przedział
$|x - a| < r \iff x \in (a - r; a + r)$
liczby odległe od a o mniej niż r

Proporcje i skala

Własność proporcji
$\frac{a}{b} = \frac{c}{d} \iff a \cdot d = b \cdot c$
iloczyny na krzyż są równe — stąd nazwa mnożenie na krzyż
Niewiadoma w proporcji
$x = \frac{b \cdot c}{d}$
z proporcji x : b = c : d, po pomnożeniu na krzyż
Proporcjonalność prosta
$y = k \cdot x, \quad k = \frac{y}{x}$
iloraz obu wielkości jest stały
Podział proporcjonalny
$a : b \ \Rightarrow \ \text{jedna część} = \frac{S}{a + b}$
całość dzielimy na a + b równych części
Skala pomniejszająca
$\text{skala } 1 : n \ \Rightarrow \ \text{rzeczywista} = n \cdot \text{na rysunku}$
na mapie 1 : 50 000 jeden centymetr to 500 metrów

Potęga wymierna

Wykładnik odwrotności
$a^{\frac{1}{n}} = \sqrt[n]{a} \quad (a > 0)$
pierwiastek n-tego stopnia zapisany jako potęga
Wykładnik wymierny
$a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m} = \left(\sqrt[n]{a}\right)^m \quad (a > 0)$
mianownik to stopień pierwiastka, licznik to potęga
Wykładnik ujemny wymierny
$a^{-\frac{m}{n}} = \frac{1}{a^{\frac{m}{n}}} = \frac{1}{\sqrt[n]{a^m}}$
minus w wykładniku odwraca, mianownik pierwiastkuje
Prawa działań
$a^{r} \cdot a^{s} = a^{r+s} \qquad \left(a^{r}\right)^{s} = a^{r \cdot s}$
obowiązują dla wykładników wymiernych bez zmian
Monotoniczność dla podstawy większej od 1
$a > 1 \ \text{i} \ r < s \ \Rightarrow \ a^{r} < a^{s}$
większy wykładnik daje większą potęgę
Monotoniczność dla podstawy z przedziału (0; 1)
$0 < a < 1 \ \text{i} \ r < s \ \Rightarrow \ a^{r} > a^{s}$
kierunek się odwraca

Logarytmy

Definicja logarytmu
$\log_a b = c \iff a^c = b \quad (a > 0,\ a \neq 1,\ b > 0)$
logarytm to wykładnik, do którego podnosimy podstawę
Dwa logarytmy z definicji
$\log_a 1 = 0 \qquad \log_a a = 1$
bo a⁰ = 1 oraz a¹ = a
Logarytm iloczynu
$\log_a (x \cdot y) = \log_a x + \log_a y$
mnożenie zamienia się w dodawanie
Logarytm ilorazu
$\log_a \frac{x}{y} = \log_a x - \log_a y$
dzielenie zamienia się w odejmowanie
Logarytm potęgi
$\log_a x^k = k \cdot \log_a x$
wykładnik wychodzi przed logarytm
Działania odwrotne
$a^{\log_a x} = x \qquad \log_a a^k = k$
potęgowanie i logarytmowanie znoszą się nawzajem
Logarytm dziesiętny i naturalny
$\log x = \log_{10} x \qquad \ln x = \log_{e} x$
dwie podstawy używane tak często, że mają własne oznaczenia

Procent składany

Kapitał po n okresach
$K_n = K_0 \left(1 + \frac{p}{100}\right)^{n}$
mnożnik jednego okresu podniesiony do potęgi n
Kapitalizacja m razy w roku
$K_n = K_0 \left(1 + \frac{p}{100 \cdot m}\right)^{m \cdot n}$
stopa dzieli się przez m, liczba okresów mnoży przez m
Spadek składany
$K_n = K_0 \left(1 - \frac{p}{100}\right)^{n}$
ten sam wzór ze znakiem minus — amortyzacja, utrata wartości
Odsetki
$O = K_n - K_0$
to, co dopisał bank, czyli różnica kapitałów
Punkty procentowe
$\text{p.p.} = p_2 - p_1$
zwykła różnica dwóch wielkości podanych w procentach

Powiązane artykuły

Kreska ułamkowa i znak procentu jako geometryczne formy oraz koło podzielone na równe wycinki niczym orbita, na tle kosmicznej mgławicy w fiolecie i magencie

Liczby

Procent to ułamek w przebraniu — trzy zapisy jednej liczby

1/2, 0,5 i 50% to nie trzy różne rzeczy, tylko trzy sposoby zapisania tej samej liczby. Oto skąd wzięła się kreska ułamkowa, przecinek i znak %, dlaczego 1/3 nie kończy się nigdy, czemu +20% i −20% nie wraca do punktu wyjścia i dlaczego ułamki są pierwszym poważnym progiem szkolnej matematyki.

11 min