Ułamek zwykły
$\frac{a}{b}$
licznik przez mianownik, b ≠ 0
Ułamki równoważne
$\frac{a}{b} = \frac{a \cdot k}{b \cdot k}$
rozszerzenie: mnożymy licznik i mianownik przez to samo k
Dodawanie ułamków
$\frac{a}{b} + \frac{c}{d} = \frac{a \cdot d + c \cdot b}{b \cdot d}$
sprowadzenie do wspólnego mianownika
Mnożenie ułamków
$\frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{a \cdot c}{b \cdot d}$
mnożymy liczniki i mnożymy mianowniki
Skracanie ułamka
$\frac{a}{b} = \frac{a \div \mathrm{NWD}(a,b)}{b \div \mathrm{NWD}(a,b)}$
NWD = największy wspólny dzielnik — dzielimy przez niego licznik i mianownik

Ułamki dziesiętne

Zapis pozycyjny
$3{,}45 = 3 + \frac{4}{10} + \frac{5}{100}$
cyfry po przecinku to dziesiąte, setne, tysięczne części
Ułamek zwykły jako dziesiętny
$\frac{3}{4} = \frac{75}{100} = 0{,}75$
gdy mianownik da się rozszerzyć do potęgi 10
Dodawanie dziesiętnych
$3{,}25 + 1{,}40 = 4{,}65$
ustaw przecinek pod przecinkiem, dodawaj jak liczby całkowite
Mnożenie dziesiętnych
$2{,}5 \cdot 1{,}2 = 3{,}00$
mnóż tak jak liczby całkowite, przecinek wstaw na końcu
Zaokrąglanie do setnych
$3{,}465 \approx 3{,}47$
patrzymy na pierwszą odrzucaną cyfrę — tu 5, więc zaokrąglamy w górę

Procenty

Zapis procentowy
$p\% = \frac{p}{100}$
procent to setna część całości
Procent z liczby
$p\% \text{ z } c = \frac{p}{100} \cdot c$
ile wynosi p procent całości c
Całość ze znanej części
$c = \text{część} \div \frac{p}{100}$
gdy znasz część i jej procent, odtwarzasz całość
Zmiana procentowa
$\Delta\% = \frac{\text{nowa} - \text{stara}}{\text{stara}} \cdot 100\%$
dodatnia to wzrost, ujemna to spadek

Potęgi

Definicja potęgi
$a^n = \underbrace{a \cdot a \cdot \ldots \cdot a}_{n \text{ czynników}}$
a to podstawa, n to wykładnik
Mnożenie potęg o tej samej podstawie
$a^m \cdot a^n = a^{m+n}$
wykładniki dodajemy
Dzielenie potęg o tej samej podstawie
$\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$
wykładniki odejmujemy
Potęga potęgi
$(a^m)^n = a^{m \cdot n}$
wykładniki mnożymy
Potęga iloczynu
$(a \cdot b)^n = a^n \cdot b^n$
każdy czynnik podnosimy osobno
Wykładnik zerowy i ujemny
$a^0 = 1, \quad a^{-n} = \frac{1}{a^n} \quad (a \neq 0)$
ujemny wykładnik oznacza odwrotność

Pierwiastki

Pierwiastek kwadratowy
$\sqrt{a} = b \iff b^2 = a \quad (a, b \ge 0)$
działanie odwrotne do podnoszenia do kwadratu
Pierwiastek sześcienny
$\sqrt[3]{a} = b \iff b^3 = a$
określony także dla liczb ujemnych
Iloczyn pierwiastków
$\sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{a \cdot b}$
pierwiastki mnożymy pod jednym znakiem
Iloraz pierwiastków
$\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \sqrt{\frac{a}{b}} \quad (b > 0)$
to samo prawo dla dzielenia
Wyłączanie czynnika przed pierwiastek
$\sqrt{a^2 \cdot b} = a\sqrt{b} \quad (a \ge 0)$
kwadrat wychodzi spod pierwiastka jako podstawa
Usuwanie niewymierności
$\frac{1}{\sqrt{a}} = \frac{\sqrt{a}}{a} \quad (a > 0)$
mnożymy licznik i mianownik przez ten sam pierwiastek

NWD i NWW

Podzielność
$a \mid b \iff b = a \cdot k, \; k \in \mathbb{Z}$
a dzieli b, gdy b jest wielokrotnością a
Największy wspólny dzielnik
$\text{NWD}(a, b) = \max\{d : d \mid a \text{ i } d \mid b\}$
największa liczba dzieląca obie liczby
Najmniejsza wspólna wielokrotność
$\text{NWW}(a, b) = \min\{w > 0 : a \mid w \text{ i } b \mid w\}$
najmniejsza liczba dodatnia podzielna przez obie
Wzór wiążący NWD i NWW
$\text{NWD}(a, b) \cdot \text{NWW}(a, b) = a \cdot b$
znając jedno, wyliczasz drugie
Algorytm Euklidesa
$\text{NWD}(a, b) = \text{NWD}(b, a \bmod b)$
powtarzaj, aż reszta wyniesie zero

Liczby pierwsze

Definicja liczby pierwszej
$p \text{ jest pierwsza} \iff p > 1 \text{ i } p \text{ ma dokładnie 2 dzielniki}$
dzielnikami są tylko 1 i sama liczba
Podstawowe twierdzenie arytmetyki
$n = p_1^{a_1} \cdot p_2^{a_2} \cdot \ldots \cdot p_k^{a_k}$
rozkład na czynniki pierwsze jest jedyny
Test pierwszości
$n \text{ złożona} \implies \exists\, p \le \sqrt{n} : p \mid n$
wystarczy sprawdzić dzielniki do pierwiastka z n
NWD i NWW z rozkładu
$\text{NWD} = \prod p_i^{\min(a_i, b_i)}, \quad \text{NWW} = \prod p_i^{\max(a_i, b_i)}$
najmniejsze wykładniki dla NWD, największe dla NWW

Powiązane artykuły

Kreska ułamkowa i znak procentu jako geometryczne formy oraz koło podzielone na równe wycinki niczym orbita, na tle kosmicznej mgławicy w fiolecie i magencie

Liczby

Procent to ułamek w przebraniu — trzy zapisy jednej liczby

1/2, 0,5 i 50% to nie trzy różne rzeczy, tylko trzy sposoby zapisania tej samej liczby. Oto skąd wzięła się kreska ułamkowa, przecinek i znak %, dlaczego 1/3 nie kończy się nigdy, czemu +20% i −20% nie wraca do punktu wyjścia i dlaczego ułamki są pierwszym poważnym progiem szkolnej matematyki.

11 min