Procenty

Procent to setna część całości — zamiast pisać ułamek ze stałym mianownikiem $100$, używamy znaku $\%$:

Na przykład:

Procent to więc po prostu inny zapis ułamka, w którym mianownik zawsze wynosi $100$.

Procent z liczby

Żeby obliczyć, ile wynosi $p$ procent liczby $c$, mnożymy $c$ przez ułamek $\frac{p}{100}$:

Na przykład $20\%$ ze $150$ to:

Całość ze znanej części

Czasem znamy tylko część i to, jaki procent całości ona stanowi, a szukamy całości. Wtedy dzielimy część przez ułamek odpowiadający procentowi:

Jeśli $30$ to $20\%$ pewnej liczby, całość wynosi:

Zmiana procentowa

Zmiana procentowa mówi, o ile procent wzrosła lub spadła wartość względem punktu startowego:

Wynik dodatni oznacza wzrost, ujemny — spadek. Cena rosnąca z $80$ zł do $100$ zł zmienia się o $\frac{100 - 80}{80} \cdot 100\% = 25\%$.

Uwaga na pułapkę: wzrost o $20\%$, a potem spadek o $20\%$, nie wraca do punktu startowego — bo za każdym razem procent liczymy od innej (aktualnej) podstawy. Wzrost o $20\%$ ze $100$ daje $120$; spadek o $20\%$ z $120$ daje $96$, nie $100$.

Mnożnik zmiany

Podwyżkę i obniżkę można policzyć w dwóch krokach („ile wynosi $15\%$, a potem dodaj albo odejmij") albo w jednym — mnożąc od razu przez mnożnik zmiany:

Jedynka to całość, którą zostawiamy, a $\frac{p}{100}$ to część, którą dokładamy albo zabieramy. Podwyżka o $15\%$ to więc mnożenie przez $1{,}15$, a obniżka o $15\%$ — przez $0{,}85$:

Mnożnik czyta się też wstecz: $0{,}7$ to „$70\%$ ceny", czyli rabat $30\%$, a $1{,}08$ to podwyżka o $8\%$. Cena $349$ zł przeceniona o $30\%$ to jedno mnożenie, $349 \cdot 0{,}7 = 244{,}30$ zł, a nie liczenie rabatu i odejmowanie go osobno.

Prawdziwy zysk pojawia się przy kilku zmianach po kolei. Procentów nie wolno wtedy dodawać — mnożniki wolno mnożyć:

To jest jednolinijkowe wyjaśnienie pułapki z poprzedniej sekcji: wzrost o $20\%$, a po nim spadek o $20\%$, daje

czyli $96\%$ wartości początkowej — spadek o $4\%$, a nie powrót do punktu wyjścia. Iloczyn mnożników jest sam mnożnikiem, więc od razu widać wynik łączny: rabat $30\%$, a potem jeszcze $20\%$ przy kasie, to $0{,}7 \cdot 0{,}8 = 0{,}56$, czyli łączny rabat $44\%$, a nie $50\%$.

Ten sam mnożnik podniesiony do potęgi opisuje zmianę powtarzaną wiele razy — na tym opiera się procent składany, który wraz z punktami procentowymi jest tematem osobnej lekcji.

Częste błędy

• Mylenie „procentu z liczby" z „ile procent stanowi jedna liczba z drugiej" — to dwa różne pytania: pierwsze mnoży, drugie dzieli.
• Liczenie zmiany procentowej od nowej wartości zamiast od starej — mianownikiem zawsze jest wartość startowa, nie końcowa.
• Zakładanie, że wzrost i spadek o ten sam procent się znoszą — nie znoszą się, bo podstawa procentu zmienia się między krokami.
• Dodawanie procentów zamiast mnożenia mnożników — rabat $30\%$ i kolejne $20\%$ to $0{,}7 \cdot 0{,}8 = 0{,}56$, czyli $44\%$, a nie $50\%$.
• Mylenie mnożnika z procentem — $0{,}85$ nie znaczy „obniżka o $85\%$", tylko „$85\%$ ceny", czyli obniżka o $15\%$.