Ułamki dziesiętne

Ułamek dziesiętny zapisuje część całości przecinkiem, a nie kreską ułamkową — to inny zapis tej samej idei co ułamek zwykły. W liczbie $3{,}45$ cyfry po przecinku mają swoją wagę pozycyjną, tak jak cyfry przed przecinkiem:

Pierwsza cyfra po przecinku to część dziesiąta ($\frac{1}{10}$), druga to część setna ($\frac{1}{100}$), trzecia — tysięczna ($\frac{1}{1000}$), i tak dalej.

Zamiana ułamka zwykłego na dziesiętny

Gdy mianownik ułamka da się rozszerzyć do potęgi $10$ ($10$, $100$, $1000$, …), wystarczy go rozszerzyć i odczytać wynik:

Ogólnie: dzielisz licznik przez mianownik. To działa zawsze — czasem jednak rozwinięcie jest nieskończone, jak $\frac{1}{3} = 0{,}3333\ldots$

Rozstrzyga o tym sam mianownik. Rozszerzyć do potęgi dziesiątki da się tylko taki, który w postaci nieskracalnej rozkłada się wyłącznie na dwójki i piątki — bo $10 = 2 \cdot 5$ i żadnego innego czynnika pierwszego potęga dziesiątki nie ma. Dlatego $\frac{7}{20}$ ma rozwinięcie skończone ($20 = 2^2 \cdot 5$), a $\frac{1}{3}$ i $\frac{5}{6}$ nie mają: w ich mianownikach siedzi trójka. Rozwinięciom nieskończonym poświęcona jest ostatnia sekcja tej lekcji — nie urywają się, ale też nie są przypadkowe.

Zamiana ułamka dziesiętnego na zwykły

W drugą stronę jest jeszcze prościej, bo zapis dziesiętny sam podaje mianownik: to potęga dziesiątki o tylu zerach, ile jest miejsc po przecinku. Cyfry po przecinku wpisujemy do licznika i skracamy:

Liczbę z częścią całkowitą traktujemy tak samo — do licznika idą wszystkie cyfry, bez przecinka:

Skracanie na końcu nie jest ozdobnikiem: to ono odpowiada na pytanie, jakim ułamkiem naprawdę jest ta liczba. Zapis $\frac{225}{100}$ jest poprawny, ale dopiero $\frac{9}{4}$ pokazuje, że $2{,}25$ to dwa i ćwierć.

Dodawanie i odejmowanie liczb dziesiętnych

Liczby dziesiętne dodajemy jak liczby całkowite — trzeba tylko ustawić przecinek pod przecinkiem (dokładnie jak jedności pod jednościami), w razie potrzeby dopisując zera:

Zapisane w słupku: $3{,}25$ i $1{,}40$ — kolumny się zgadzają, bo obie liczby mają dwa miejsca po przecinku.

Mnożenie liczb dziesiętnych

Mnożenie idzie tak, jakby przecinków w ogóle nie było — mnożysz liczby całkowite, a przecinek wstawiasz dopiero na końcu:

Liczba miejsc po przecinku w wyniku to suma miejsc po przecinku w obu czynnikach: $2{,}5$ ma jedno miejsce, $1{,}2$ ma jedno miejsce, więc wynik ma dwa — $3{,}00$, czyli $3$.

Dzielenie liczb dziesiętnych

Przy dzieleniu przecinek przeszkadza tylko w dzielniku — dlatego zaczynamy od pozbycia się go stamtąd. Przesuwamy przecinek w obu liczbach o tyle samo miejsc w prawo, aż dzielnik stanie się liczbą całkowitą:

Wynik się przez to nie zmienia, bo obie liczby mnożymy przez tę samą potęgę dziesiątki, a iloraz zależy tylko od stosunku dzielnej do dzielnika: $\frac{14{,}4}{1{,}2} = \frac{14{,}4 \cdot 10}{1{,}2 \cdot 10}$. To ten sam zabieg co rozszerzanie ułamka zwykłego, tylko zapisany przecinkiem.

Gdy przecinek zostaje w dzielnej, dzielimy normalnie i przepisujemy go do wyniku nad tym samym miejscem:

Dzielenie przez liczbę mniejszą od $1$ zwiększa wynik — $6 \div 0{,}5 = 60 \div 5 = 12$, bo pytamy, ile połówek mieści się w szóstce. To ta sama obserwacja co przy dzieleniu przez ułamek zwykły.

Zaokrąglanie

Zaokrąglając do zadanej liczby miejsc po przecinku, patrzymy na pierwszą odrzucaną cyfrę: $5$ lub więcej — ostatnia zostawiona cyfra rośnie o $1$; mniej niż $5$ — zostaje bez zmian.

Zaokrąglając do setnych, odrzucamy trzecią cyfrę po przecinku ($5$), więc druga cyfra ($6$) rośnie do $7$.

Rozwinięcia nieskończone okresowe

Dzielenie $1 \div 3$ nigdy się nie kończy: reszta $1$ wraca po każdym kroku, więc po przecinku bez końca powtarza się trójka. Takie rozwinięcie nazywamy nieskończonym okresowym, a powtarzającą się grupę cyfr — okresem i bierzemy ją w nawias:

Okresowość nie jest zbiegiem okoliczności. Dzieląc przez $b$, w każdym kroku dostajemy resztę mniejszą od $b$, więc możliwych reszt jest co najwyżej $b - 1$; po tylu krokach jakaś reszta musi się powtórzyć, a od tego miejsca powtarza się cały rachunek. Każdy ułamek zwykły ma więc rozwinięcie skończone albo okresowe — i na odwrót, każde takie rozwinięcie da się zapisać ułamkiem zwykłym.

Zamiana wstecz idzie regułą, którą widać na $\frac{1}{3} = 0{,}(3)$ i $\frac{3}{11} = 0{,}(27)$: okres do licznika, tyle dziewiątek do mianownika, ile okres ma cyfr.

Gdy przed okresem stoją jeszcze inne cyfry, rozwinięcie nazywamy mieszanym okresowym. Za dziewiątkami dopisujemy wtedy tyle zer, ile jest cyfr przed okresem, a od licznika odejmujemy część nieokresową:

Jedno rozwinięcie okresowe jest szczególne: $0{,}(9)$ równa się $1$, bo reguła daje $\frac{9}{9}$. To nie jest przybliżenie ani błąd zapisu — po prostu ta sama liczba ma tu dwa zapisy dziesiętne, tak jak $\frac{1}{2}$ i $\frac{2}{4}$ to dwa zapisy tego samego ułamka.

Rozwinięcia, które są nieskończone i nieokresowe, ułamkiem zwykłym zapisać się nie dają — to liczby niewymierne, jak $\sqrt{2}$ czy $\pi$; zajmuje się nimi temat o zbiorach liczbowych.

Częste błędy

• Dodawanie bez wyrównania przecinków — $3{,}5 + 1{,}25$ liczone jak $35 + 125$ da zły wynik; przecinek musi stać pod przecinkiem.
• Zapominanie o miejscach po przecinku przy mnożeniu — $2{,}5 \cdot 1{,}2$ to nie $3{,}0$ policzone przez przypadek, tylko $300 \div 100 = 3{,}00$ z dwóch miejsc po przecinku.
• Złe zaokrąglanie granicznej piątki — patrzymy tylko na pierwszą odrzucaną cyfrę, nie na całą resztę liczby.
• Przesuwanie przecinka tylko w dzielniku — w $14{,}4 \div 1{,}2$ przecinek przesuwamy w obu liczbach o tyle samo miejsc; przesunięcie w jednej zmienia wynik dziesięciokrotnie.
• Zapisywanie $0{,}(3)$ jako $\frac{3}{10}$ — mianownikiem rozwinięcia okresowego jest dziewiątka, nie dziesiątka: $0{,}(3) = \frac{3}{9} = \frac{1}{3}$, a $\frac{3}{10}$ to $0{,}3$ i nic więcej.
• Mylenie $0{,}3$ z $0{,}(3)$ — pierwsza liczba kończy się na trzeciej dziesiątej, druga ma nieskończenie wiele trójek i jest od niej większa.