Zbiory liczbowe N, Z, Q, R

Liczby, którymi się posługujemy, nie są jedną wielką rodziną. Do liczenia sztuk wystarczają liczby naturalne, mróz i długi wymagają liczb całkowitych, podział pizzy — liczb wymiernych, a przekątna kwadratu wychodzi poza nie wszystkie. Każda z tych rodzin ma nazwę, symbol i miejsce w łańcuchu, w którym każda kolejna zawiera poprzednią.

Cztery zbiory

Liczby naturalne $\mathbb{N}$ to liczby, którymi liczymy sztuki — bez znaku i bez części ułamkowej:

Liczby całkowite $\mathbb{Z}$ dokładają do nich liczby przeciwne, czyli całą lewą stronę osi:

Liczby wymierne $\mathbb{Q}$ to wszystko, co da się zapisać ułamkiem o całkowitym liczniku i całkowitym mianowniku różnym od zera:

Do liczb wymiernych należy więcej liczb, niż się wydaje: każda liczba całkowita ($5 = \tfrac{5}{1}$), każdy ułamek dziesiętny skończony ($0{,}25 = \tfrac{1}{4}$) i każde rozwinięcie okresowe ($0{,}(3) = \tfrac{1}{3}$).

Liczby rzeczywiste $\mathbb{R}$ to wszystkie liczby leżące na osi liczbowej — wymierne oraz te, których żaden ułamek nie zapisze, czyli niewymierne: $\sqrt{2}$, $\sqrt{3}$, $\pi$.

Rodziny nie leżą obok siebie — wchodzą jedna w drugą:

Liczba $3$ należy więc do wszystkich czterech zbiorów naraz. Gdy pytamy, do jakiego zbioru należy dana liczba, chodzi zwykle o najmniejszy z nich — bo to on mówi o niej najwięcej.

Symbole ∈, ∉, ⊂ i ∅

Cztery znaki wystarczą, żeby zapisać każde zdanie o przynależności:

• $x \in A$ — liczba $x$ należy do zbioru $A$: $-5 \in \mathbb{Z}$,
• $x \notin A$ — liczba $x$ nie należy do zbioru $A$: $-5 \notin \mathbb{N}$,
• $A \subset B$ — zbiór $A$ zawiera się w zbiorze $B$: $\mathbb{Z} \subset \mathbb{Q}$,
• $\varnothing$ — zbiór pusty, czyli zbiór bez żadnego elementu.

Zbiór pusty nie jest ozdobnikiem: równanie $x^2 = -1$ nie ma rozwiązań w zbiorze liczb rzeczywistych, więc jego zbiorem rozwiązań jest $\varnothing$. Uwaga na różnicę: $\{0\}$ ma jeden element, a $\varnothing$ nie ma żadnego.

Zapis dwójkowy czy szesnastkowy niczego w tym nie zmienia: $1011_{(2)}$ i $11$ to ta sama liczba całkowita w dwóch notacjach — kalkulator systemów liczbowych zamienia zapis, a nie wartość, i dlatego przyjmuje wyłącznie liczby całkowite.

Dlaczego √2 nie jest ułamkiem

Że $\sqrt{2} \approx 1{,}41$, widać z rachunku. Że żaden ułamek nie da dokładnie tej liczby, trzeba udowodnić — i dowód jest krótki. Prowadzimy go nie wprost: zakładamy coś przeciwnego niż teza i doprowadzamy do sprzeczności.

Załóżmy, że $\sqrt{2}$ jest wymierny, czyli

gdzie ułamek $\tfrac{p}{q}$ jest nieskracalny (każdy ułamek da się skrócić do takiej postaci). Podnosimy obie strony do kwadratu:

Skoro $p^2$ jest liczbą parzystą, to $p$ też musi być parzyste — kwadrat liczby nieparzystej jest nieparzysty, co pokazujemy niżej. Zapiszmy więc $p = 2k$:

Tym samym rozumowaniem $q$ również jest parzyste. Ale ułamek, w którym obie liczby są parzyste, da się skrócić przez $2$ — a założyliśmy, że jest nieskracalny. Sprzeczność. Znaczy to, że założenie było fałszywe:

Ten sam dowód działa dla $\sqrt{3}$, $\sqrt{5}$ i pierwiastka z każdej liczby, która nie jest kwadratem liczby całkowitej.

Dowody podzielności

Dowód powyżej opierał się na jednym chwycie, który wraca w całej matematyce: liczbę o znanej podzielności zapisujemy wzorem. Jeśli $k \in \mathbb{Z}$, to

czyli każda liczba całkowita jest parzysta albo nieparzysta — trzeciej możliwości nie ma. Podobnie liczba podzielna przez $3$ to $3k$, a liczba dająca resztę $1$ z dzielenia przez $3$ to $3k + 1$.

Mając taki zapis, dowodzi się rachunkiem, a nie przykładami:

Tak samo pokazuje się, że suma dwóch liczb nieparzystych jest parzysta: $(2k + 1) + (2m + 1) = 2(k + m + 1)$, a to jest liczba podzielna przez $2$.

Częste błędy

• Uznawanie każdego pierwiastka za liczbę niewymierną — $\sqrt{9} = 3$ jest liczbą naturalną. Niewymierny jest pierwiastek z liczby, która nie jest kwadratem liczby całkowitej.
• Wykluczanie liczb całkowitych ze zbioru liczb wymiernych — $5$ to $\tfrac{5}{1}$, więc $5 \in \mathbb{Q}$. Zbiory zawierają się w sobie, nie wykluczają.
• Mylenie $\varnothing$ z zerem — zbiór pusty nie ma elementów, a $\{0\}$ ma jeden.
• Traktowanie $-3$ jako liczby naturalnej — liczby naturalne nie mają znaku minus; $-3$ zaczyna się dopiero w $\mathbb{Z}$.
• Dowodzenie przykładami — sprawdzenie tezy na pięciu liczbach nie jest dowodem. Dowód mówi o wszystkich liczbach naraz i dlatego zapisuje je wzorem $2k$ lub $2k + 1$.