Co to jest wartość bezwzględna liczby?

Wartość bezwzględna liczby, nazywana też jej modułem, to odległość tej liczby od zera na osi liczbowej. Zapisujemy ją dwiema pionowymi kreskami: |−4| = 4 i |4| = 4. Ponieważ odległość nie ma kierunku, wartość bezwzględna nigdy nie jest ujemna.

Ile wynosi wartość bezwzględna liczby ujemnej?

Jest to ta sama liczba bez znaku minus, czyli liczba do niej przeciwna: |−7| = 7. Formalnie dla a < 0 mamy |a| = −a, a minus przed a nie robi wyniku ujemnym — zmienia znak liczby, która już była ujemna.

Jak obliczyć odległość dwóch liczb na osi?

Odejmujemy je od siebie i bierzemy moduł: odległość liczb a i b to |a − b|. Kolejność nie ma znaczenia, bo |a − b| = |b − a|. Na przykład odległość liczb −3 i 5 wynosi |−3 − 5| = |−8| = 8.

Nie zawsze — poprawnie √(a²) = |a|. Dla a = 5 obie wersje dają 5, ale dla a = −5 pierwiastek daje 5, a nie −5, bo pierwiastek kwadratowy jest z definicji nieujemny. To najczęstsze źródło zgubionego znaku w rachunkach z pierwiastkami.

Jak rozwiązać równanie z wartością bezwzględną?

Równanie |x| = r dla r > 0 ma dwa rozwiązania: x = r oraz x = −r, bo dwie liczby leżą w odległości r od zera. Dla r = 0 rozwiązanie jest jedno (x = 0), a dla r < 0 nie ma żadnego, bo moduł nie bywa ujemny. Równanie |x − a| = r czytamy jako liczby odległe od a o r, czyli x = a − r oraz x = a + r.

Poziom średni

Wartość bezwzględna

Q: Jak obliczyć odległość dwóch liczb na osi?

Odejmujemy je od siebie i bierzemy moduł: odległość liczb a i b to |a − b|. Kolejność nie ma znaczenia, bo |a − b| = |b − a|. Na przykład odległość liczb −3 i 5 wynosi |−3 − 5| = |−8| = 8.

Q: Czy √(a²) to a?

Nie zawsze — poprawnie √(a²) = |a|. Dla a = 5 obie wersje dają 5, ale dla a = −5 pierwiastek daje 5, a nie −5, bo pierwiastek kwadratowy jest z definicji nieujemny. To najczęstsze źródło zgubionego znaku w rachunkach z pierwiastkami.

Q: Jak rozwiązać równanie z wartością bezwzględną?

Równanie |x| = r dla r > 0 ma dwa rozwiązania: x = r oraz x = −r, bo dwie liczby leżą w odległości r od zera. Dla r = 0 rozwiązanie jest jedno (x = 0), a dla r < 0 nie ma żadnego, bo moduł nie bywa ujemny. Równanie |x − a| = r czytamy jako liczby odległe od a o r, czyli x = a − r oraz x = a + r.

Wartość bezwzględna to odległość liczby od zera — zawsze nieujemna, bo odległość nie ma kierunku. Poznaj definicję z podziałem na przypadki, zapis odległości dwóch liczb wzorem |a − b|, własności modułu i równania z wartością bezwzględną.

Zanim zaczniesz

Ten temat opiera się na wcześniejszych zagadnieniach. Zanim zaczniesz, warto przerobić poniższe lekcje — dzięki nim wszystko pójdzie gładko:

Liczby ujemneLiczby ujemne to liczby mniejsze od zera — mróz na termometrze, debet na koncie, poziom pod ziemią. Poznaj oś liczbową w obie strony, liczby przeciwne, porównywanie liczb ujemnych oraz reguły znaków w dodawaniu, odejmowaniu, mnożeniu i dzieleniu.

Gdzie się tego używa

Konkretne sytuacje, w których liczysz dokładnie tak, jak uczy ta lekcja:

Zakupy i reklamacje
Paczka mąki ma mieć 1000 g, waga sklepowa pokazuje 977 g. Odchyłka to |977 − 1000| = 23 g — i to ona decyduje o reklamacji, bo dla dopuszczalnych 15 g nie ma znaczenia, czy paczka jest lżejsza, czy cięższa.
Prognoza pogody
Prognoza zapowiadała 18 °C, termometr pokazał 21 °C, następnego dnia zapowiadała 15 °C, a było 12 °C. Błąd obu prognoz jest ten sam: |18 − 21| = 3 i |15 − 12| = 3. Bez modułu pierwszy błąd wyszedłby −3 i po uśrednieniu zniósłby drugi do zera.
Przelicz w konwerterze: Temperatura
Kontrola jakości i metrologia
Wałek ma mieć średnicę 25,00 mm z tolerancją 0,05 mm. Suwmiarka pokazuje 24,97 mm, więc |24,97 − 25,00| = 0,03 mm — sztuka przechodzi. Przy odczycie 25,08 mm moduł daje 0,08 mm i sztuka idzie na brak.
Programowanie
Testu na równość liczb zmiennoprzecinkowych nie pisze się przez znak równości, bo 0,1 + 0,2 daje 0,30000000000000004. Zamiast tego sprawdza się |a − b| < 0,000001 — jedna liczba zamiast dwóch osobnych porównań.

Wszystkie wzory

Definicja
$|a| = \begin{cases} a & \text{dla } a \ge 0 \\ -a & \text{dla } a < 0 \end{cases}$
liczbie nieujemnej nic się nie dzieje, ujemnej zmieniamy znak
Nieujemność
$|a| \ge 0$
odległość nie bywa ujemna
Symetria
$|-a| = |a|$
liczby przeciwne leżą tak samo daleko od zera
Odległość dwóch liczb
$|a - b| = |b - a|$
kolejność odejmowania nie zmienia odległości
Mnożenie i dzielenie
$|a \cdot b| = |a| \cdot |b| \qquad \left|\frac{a}{b}\right| = \frac{|a|}{|b|}$
moduł rozdziela się względem mnożenia i dzielenia
Pierwiastek z kwadratu
$\sqrt{a^2} = |a|$
nie a, bo pierwiastek kwadratowy jest zawsze nieujemny
Nierówność trójkąta
$|a + b| \le |a| + |b|$
moduł sumy nigdy nie przekracza sumy modułów

Lekcja o liczbach ujemnych mówiła, że odległość dwóch liczb na osi jest zawsze dodatnia — ale liczyliśmy ją wtedy słowami: „od liczby leżącej bardziej na prawo odejmij tę bardziej na lewo". Matematyka ma na to jeden znak, który tę instrukcję zastępuje: wartość bezwzględną, nazywaną też modułem.

Definicja

Wartość bezwzględną liczby $a$ zapisujemy dwiema pionowymi kreskami i definiujemy przez podział na przypadki:

|a| = \begin{cases} a & \text{dla } a \ge 0 \\ -a & \text{dla } a < 0 \end{cases}

Czyli: liczbie nieujemnej nic się nie dzieje, a liczbie ujemnej zmieniamy znak. Minus przed $a$ w drugim wierszu nie robi wyniku ujemnym — zmienia znak liczby, która już była ujemna, więc $|-7| = -(-7) = 7$ .

Odległość od zera

Ten sam wzór ma prostszy opis: $|a|$ to odległość liczby $a$ od zera na osi liczbowej.

Od zera do −4 i od zera do 4 jest tyle samo kresek, więc |−4| = |4| = 4.

Stąd biorą się dwie własności, których nie trzeba pamiętać osobno — wystarczy spojrzeć na oś:

|a| \ge 0 \qquad |-a| = |a|

Odległość nigdy nie jest ujemna, a liczby przeciwne leżą po dwóch stronach zera w tej samej odległości od niego. Jedyną liczbą o module równym zeru jest samo zero.

Odległość dwóch liczb

Jeśli $|a|$ jest odległością od zera, to odległość dowolnych dwóch liczb dostajemy, odejmując je od siebie i biorąc moduł:

|a - b| = |b - a|

Kolejność odejmowania nie ma znaczenia właśnie dlatego, że moduł zdejmuje znak — a to on jako jedyny by się zmienił.

|−3 − 5| = |−8| = 8 — tyle samo, co |5 − (−3)| = |8| = 8.

Ile wynosi odległość liczb −12 i −4?

Własności modułu

Moduł rozdziela się względem mnożenia i dzielenia:

|a \cdot b| = |a| \cdot |b| \qquad \left|\frac{a}{b}\right| = \frac{|a|}{|b|} \quad (b \neq 0)

Względem dodawania nie — i to jest sedno nierówności trójkąta:

|a + b| \le |a| + |b|

Dla $a = 3$ i $b = -5$ lewa strona daje $|-2| = 2$ , a prawa $3 + 5 = 8$ . Równość zachodzi tylko wtedy, gdy obie liczby mają ten sam znak (albo któraś jest zerem): idąc raz w lewo, a raz w prawo, oddalamy się od zera mniej niż idąc dwa razy w tę samą stronę.

Najczęściej używana własność wiąże moduł z pierwiastkiem:

\sqrt{a^2} = |a|

Nie $a$ — bo pierwiastek kwadratowy jest z definicji nieujemny. Dla $a = -5$ mamy $\sqrt{(-5)^2} = \sqrt{25} = 5$ , czyli $|-5|$ , a nie $-5$ .

Równania z wartością bezwzględną

Równanie $|x| = r$ czytamy jako pytanie: które liczby leżą w odległości $r$ od zera? Odpowiedź zależy od $r$ :

$r > 0$ — dwa rozwiązania: $x = r$ oraz $x = -r$ ,
$r = 0$ — jedno rozwiązanie: $x = 0$ ,
$r < 0$ — brak rozwiązań, czyli zbiór rozwiązań to $\varnothing$ , bo moduł nie bywa ujemny.

Tak samo czyta się równanie $|x - a| = r$ : to liczby odległe od $a$ o $r$ , czyli $x = a - r$ oraz $x = a + r$ .

Rozwiąż równanie |x − 3| = 4.

Ćwiczenia

Rozwiąż zestaw zadań — trudność rośnie z każdym kolejnym. Na końcu zobaczysz wynik i listę pomyłek do powtórki.

Zadanie 1 z 8Punkty: 0

|−7| =

Częste błędy

Uznawanie $|a| = a$ za regułę ogólną — to prawda tylko dla $a \ge 0$ . Dla liczby ujemnej moduł zmienia znak.
Traktowanie $-a$ jako liczby ujemnej — jeśli $a = -7$ , to $-a = 7$ . Minus przed literą nie przesądza o znaku.
Skracanie $\sqrt{a^2}$ do $a$ — poprawnie jest $|a|$ ; dla $a = -5$ obie wersje różnią się znakiem.
Rozdzielanie modułu po dodawaniu — $|a + b|$ na ogół nie równa się $|a| + |b|$ ; zachodzi tu tylko nierówność.
Zapominanie o drugim rozwiązaniu — równanie $|x| = 6$ ma dwa rozwiązania, $6$ i $-6$ , a nie jedno.

Karta wzorów

Temat: Wartość bezwzględna

Definicja
$|a| = \begin{cases} a & \text{dla } a \ge 0 \\ -a & \text{dla } a < 0 \end{cases}$
liczbie nieujemnej nic się nie dzieje, ujemnej zmieniamy znak
Nieujemność
$|a| \ge 0$
odległość nie bywa ujemna
Symetria
$|-a| = |a|$
liczby przeciwne leżą tak samo daleko od zera
Odległość dwóch liczb
$|a - b| = |b - a|$
kolejność odejmowania nie zmienia odległości
Mnożenie i dzielenie
$|a \cdot b| = |a| \cdot |b| \qquad \left|\frac{a}{b}\right| = \frac{|a|}{|b|}$
moduł rozdziela się względem mnożenia i dzielenia
Pierwiastek z kwadratu
$\sqrt{a^2} = |a|$
nie a, bo pierwiastek kwadratowy jest zawsze nieujemny
Nierówność trójkąta
$|a + b| \le |a| + |b|$
moduł sumy nigdy nie przekracza sumy modułów

Liczby −4 i 4 leżą po dwóch stronach zera, obie w odległości 4 — dlatego |−4| = |4| = 4.

Odległość od −3 do 5 to 8 kresek — dokładnie tyle, ile daje |−3 − 5|.

Najczęstsze pytania

Powiązane artykuły

Kreska ułamkowa i znak procentu jako geometryczne formy oraz koło podzielone na równe wycinki niczym orbita, na tle kosmicznej mgławicy w fiolecie i magencie

Liczby

Procent to ułamek w przebraniu — trzy zapisy jednej liczby

1/2, 0,5 i 50% to nie trzy różne rzeczy, tylko trzy sposoby zapisania tej samej liczby. Oto skąd wzięła się kreska ułamkowa, przecinek i znak %, dlaczego 1/3 nie kończy się nigdy, czemu +20% i −20% nie wraca do punktu wyjścia i dlaczego ułamki są pierwszym poważnym progiem szkolnej matematyki.

11 min