Przedziały liczbowe

Warunek $x > 3$ opisuje nieskończenie wiele liczb: $3{,}1$, $4$, $1000$ i wszystkie pomiędzy. Wypisać ich się nie da, ale można je ograniczyć z dwóch stron i podać tylko te ograniczenia. Taki zapis nazywa się przedziałem liczbowym i jest w matematyce tym, czym adres dla ulicy: krótszy niż lista wszystkich domów, a wskazuje dokładnie to samo.

Cztery przedziały ograniczone

Przedział ma dwa końce, a przy każdym z nich trzeba rozstrzygnąć jedno pytanie: czy ten koniec należy do zbioru. Odpowiedź niesie kształt nawiasu — ostry, gdy koniec należy, okrągły, gdy nie:

Na osi liczbowej rysujemy przedział jako pasek, a każdy jego koniec — jako kółko: zamalowane, gdy koniec należy do przedziału, puste, gdy nie należy.

Do przedziału $\langle -2; 5)$ należy $-2$, należy $4{,}999$ i należy każda liczba pomiędzy. Nie należy $5$ — i to jest cała różnica między dwoma nawiasami.

Przedziały nieograniczone

Gdy ograniczenie jest tylko z jednej strony, po drugiej stawiamy symbol nieskończoności:

Przy nieskończoności nawias jest zawsze okrągły, bo $\infty$ nie jest liczbą i nie może należeć do zbioru liczb. To nie jest konwencja zapisu — zapis $\langle 3; +\infty \rangle$ jest po prostu błędny.

Cały zbiór liczb rzeczywistych też jest przedziałem: $\mathbb{R} = (-\infty; +\infty)$.

Przedział a nierówność

Przedział i nierówność mówią to samo dwoma zapisami. Warto umieć przechodzić między nimi w obie strony:

Znak ostry ($<$, $>$) daje nawias okrągły, znak nieostry ($\le$, $\ge$) — ostry. Tyle wystarczy, żeby zamienić każdą z tych postaci na drugą.

Suma i część wspólna

Dwa przedziały można łączyć na dwa sposoby. Część wspólna $A \cap B$ to liczby należące do obu naraz, a suma $A \cup B$ — liczby należące do co najmniej jednego:

Najpewniejszy sposób to rysunek: rysujemy oba przedziały jeden pod drugim na tej samej osi i odczytujemy wynik z paska wspólnego (część wspólna) albo z całego pokrytego obszaru (suma).

Lewy koniec części wspólnej bierzemy z przedziału zaczynającego się później, a prawy — z kończącego się wcześniej; nawias przy każdym z nich przenosi się z tego przedziału, z którego koniec pochodzi. Gdy przedziały nie mają wspólnego fragmentu, ich częścią wspólną jest zbiór pusty $\varnothing$.

Moduł jako przedział

Wartość bezwzględna mierzy odległość, a przedział opisuje zbiór — i dlatego jedno przechodzi w drugie. Warunek $|x - a| < r$ czytamy jako liczby odległe od $a$ o mniej niż $r$, czyli:

Znak ostry daje przedział otwarty, a nieostry — domknięty: $|x - a| \le r$ to $\langle a - r; a + r \rangle$. Ten jeden wzór opisuje każdą tolerancję: „$20$ °C z dokładnością do pół stopnia" to $|t - 20| \le 0{,}5$, czyli przedział $\langle 19{,}5; 20{,}5 \rangle$.

Częste błędy

• Mylenie nawiasów — $\langle 2; 5)$ zawiera $2$ i nie zawiera $5$. Nawias ostry to koniec należący, okrągły — nienależący.
• Domykanie nieskończoności — zapis $\langle 3; +\infty \rangle$ jest błędny; przy $\infty$ nawias jest zawsze okrągły.
• Zapisywanie sumy rozłącznych przedziałów jednym przedziałem — $(-\infty; 0) \cup \langle 2; +\infty)$ nie jest przedziałem i tak musi zostać.
• Branie części wspólnej z niewłaściwych końców — lewy koniec pochodzi z przedziału zaczynającego się później, a nie z tego, który leży bardziej na lewo.
• Zapominanie o zbiorze pustym — przedziały bez wspólnego fragmentu mają część wspólną $\varnothing$, a nie „brak odpowiedzi".