Proporcje i skala

Stosunek dwóch wielkości mówi, ile razy jedna mieści się w drugiej. Zapisujemy go dwukropkiem albo ułamkiem: $3 : 4$ to to samo co $\tfrac{3}{4}$. Sam stosunek jeszcze nic nie liczy — dopiero zestawienie dwóch stosunków w równość daje narzędzie, które przelicza przepis z czterech osób na sześć i centymetry na mapie na kilometry w terenie.

Proporcja i mnożenie na krzyż

Proporcja to równość dwóch stosunków:

Jej najważniejsza własność bierze się z pomnożenia obu stron przez $b \cdot d$:

Iloczyny wyrazów leżących na przekątnych są równe — stąd nazwa mnożenie na krzyż. Ten jeden krok zamienia proporcję w zwykłe równanie, a z niego wyznaczamy niewiadomą, gdziekolwiek stoi:

Proporcjonalność prosta

Dwie wielkości są wprost proporcjonalne, gdy ich iloraz jest stały:

Liczbę $k$ nazywamy współczynnikiem proporcjonalności. Ile razy rośnie jedna wielkość, tyle razy rośnie druga: dwa razy więcej benzyny kosztuje dwa razy więcej, trzy razy dłuższa deska waży trzy razy tyle.

W każdej kolumnie iloraz kosztu przez liczbę litrów daje to samo: $k = 6{,}4$ zł za litr. To właśnie sprawdzian proporcjonalności — nie to, że obie wielkości rosną, tylko że rosną w tym samym tempie.

Nie każda zależność taka jest. Przy stałej trasie większa prędkość daje krótszy czas przejazdu, więc te dwie wielkości nie są wprost proporcjonalne — ich iloczyn, a nie iloraz, pozostaje stały.

Podział proporcjonalny

Podzielić $350$ zł w stosunku $3 : 4$ nie znaczy podzielić przez $3$ ani przez $4$. Liczby stosunku mówią, z ilu części składa się każda porcja, więc najpierw je dodajemy:

Potem mnożymy przez liczby stosunku: $3 \cdot 50 = 150$ zł i $4 \cdot 50 = 200$ zł. Sprawdzenie jest natychmiastowe — $150 + 200 = 350$, a $150 : 200 = 3 : 4$.

Skala

Skala to stosunek długości na rysunku do odpowiadającej jej długości w rzeczywistości. Zapis $1 : n$ oznacza pomniejszenie $n$ razy:

Zapis $n : 1$ oznacza powiększenie — tak rysuje się drobne części maszyn, których w naturalnej wielkości nie dałoby się opisać.

Skala nie zmienia kształtu, tylko wszystkie wymiary naraz i w tym samym stosunku. Dlatego rzut w skali $1 : 200$ wygląda dokładnie jak pokój oglądany z góry, a nie jak pokój ściśnięty z jednej strony.

W obliczeniach na mapie kłopot sprawia zwykle nie sama skala, lecz jednostki: skala jest liczbą bez miana, więc $1 : 50\,000$ znaczy „jeden centymetr na mapie to $50\,000$ centymetrów w terenie". Zamiana na wygodniejsze jednostki idzie dopiero po pomnożeniu — pomaga w tym przelicznik jednostek długości.

Częste błędy

• Mnożenie wzdłuż zamiast na krzyż — w proporcji $\tfrac{a}{b} = \tfrac{c}{d}$ równe są iloczyny $a \cdot d$ i $b \cdot c$, a nie $a \cdot b$ i $c \cdot d$.
• Dzielenie przez jedną z liczb stosunku — podział w stosunku $3 : 4$ oznacza $7$ części, więc całość dzielimy przez $7$.
• Odwracanie skali — przy skali $1 : 50\,000$ długość rzeczywistą dostajemy przez mnożenie wymiaru z mapy, a nie przez dzielenie.
• Gubienie jednostek przy skali — mnożenie centymetrów przez mianownik skali daje centymetry; zamiana na kilometry to osobny krok.
• Uznawanie każdej rosnącej zależności za proporcjonalną — proporcjonalność wymaga stałego ilorazu, a nie samego wzrostu.