Dzielenie

Dzielenie to działanie odwrotne do mnożenia: sprawdzamy, ile razy jedna liczba mieści się w drugiej, albo na ile równych części możemy coś podzielić. Zapis $a : b = c$ czytamy „a podzielić przez b równa się c". Liczba $a$ to dzielna, $b$ to dzielnik (musi być różny od zera), a $c$ to iloraz.

Ten sam znak dzielenia zapisujemy dwojako: $a : b$ oraz $a \div b$ znaczą dokładnie to samo.

Nazwy w dzieleniu

• dzielna — liczba, którą dzielimy ($a$),
• dzielnik — liczba, przez którą dzielimy ($b$),
• iloraz — wynik dzielenia ($c$).

Dzielenie a mnożenie

Dzielenie i mnożenie to działania odwrotne, więc każde dzielenie możemy sprawdzić mnożeniem:

$a : b = c \iff c \cdot b = a$

Skoro $56 : 8 = 7$, to $7 \cdot 8 = 56$. Znajomość tabliczki mnożenia jest więc kluczem do sprawnego dzielenia.

Dzielenie z resztą

Nie każda liczba dzieli się równo. Wtedy zapisujemy dzielenie z resztą:

$a = b \cdot q + r, \qquad 0 \le r < b$

gdzie $q$ to iloraz (część całkowita), a $r$ to reszta — zawsze mniejsza od dzielnika. Na przykład $17 : 5$ daje iloraz $3$ i resztę $2$, bo $17 = 5 \cdot 3 + 2$.

Własności i dzielenie przez zero

• dzielenie przez jeden nie zmienia liczby: $a : 1 = a$,
• liczba podzielona przez samą siebie daje jeden: $a : a = 1$ (dla $a \neq 0$),
• przez zero dzielić nie wolno — gdyby $a : 0 = c$, musiałoby być $c \cdot 0 = a$, a iloczyn z zerem zawsze daje $0$, więc dla $a \neq 0$ nie istnieje żadne $c$. Dzielenie przez zero pozostaje niezdefiniowane.

Dzielenie nie jest przemienne ani łączne: $a : b$ na ogół nie równa się $b : a$.

Częste błędy

• Dzielenie przez zero — działanie niedozwolone; wynik nie istnieje.
• Zamiana dzielnej z dzielnikiem — $12 : 3 = 4$, ale $3 : 12$ to zupełnie co innego (mniej niż jeden).
• Pomijanie reszty — jeśli liczby nie dzielą się równo, wynik ma iloraz i resztę; sprawdź go wzorem $a = b \cdot q + r$.