Matematykę łatwo wziąć za zbiór prawd wyrytych w strukturze wszechświata — niezależnych od człowieka i niezmiennych. Co do samych wyników to prawda: dwa jabłka dołożone do trzech zawsze dają pięć, niezależnie od epoki, języka i tego, czy komukolwiek się to podoba. Ale sposób, w jaki te działania zapisujemy — symbole, reguły pierwszeństwa, kierunek od lewej do prawej — nie jest prawem natury. To ludzka umowa. Gramatyka pewnego języka, która wyewoluowała przez stulecia po to, żeby uniknąć nieporozumień i zmieścić więcej treści na mniejszej powierzchni.
Warto trzymać te dwie warstwy osobno. Jest w arytmetyce część umowna (znak „+", „⋅", zasada „kropka przed kreską", odczyt od lewej) i część ścisła (wynik połączenia dwóch zbiorów, niemożliwość dzielenia przez zero). Ten tekst to warstwa narracyjna nad naszym działem o arytmetyce: skąd wzięły się nasze symbole, dlaczego niektóre działania łamią intuicję i czemu proste równanie z internetu potrafi poróżnić nawet zawodowych matematyków.
Symbole, których nikt nie wynalazł od razu
Zanim pojawił się dzisiejszy zapis, matematyka była retoryczna — działania, liczby i zależności opisywano pełnymi zdaniami w języku naturalnym. Było to potwornie żmudne. Przejście od słów do symboli trwało kilkaset lat, a napędzały je bardzo przyziemne siły: handel morski, bankowość i renesansowy przemysł drukarski.
Najwcześniejsze skróty dla dodawania i odejmowania to średniowieczne włoskie più (więcej) i łacińskie minus (mniej), z czasem ściśnięte do liter p i m z poziomą kreską skrótu. Dzisiejszy znak + wywodzi się z ligatury łacińskiego et („i"), a pochodzenie − do dziś jest sporne — jedni wywodzą je z owej kreski nad „m", inni z kupieckich oznaczeń ubytku w beczkach. Co ciekawe, pierwszy druk z „+" i „−" (dzieło Johannesa Widmanna z 1489 roku) używał ich nie jako operatorów, lecz jako oznaczeń nadwyżki i niedoboru towaru w księgach. Rangę pełnoprawnych symboli działań nadał im dopiero XVI wiek i podręczniki takie jak The Whetstone of Witte Roberta Recorde'a (1557).
Znak mnożenia w postaci ukośnego krzyża × wprowadził angielski matematyk William Oughtred w 1631 roku. Gottfried Wilhelm Leibniz szybko go skrytykował: w liście do Johanna Bernoullego z 1698 roku pisał, że „×" zbyt łatwo pomylić z literą x oznaczającą niewiadomą, i proponował zamiast tego kropkę (⋅). W Europie kontynentalnej — w tym w polskiej szkole — to właśnie kropka stała się standardem. Najkrótszy zapis mnożenia to zresztą brak jakiegokolwiek znaku: 2a czy 2(1+2) to mnożenie „przez sąsiedztwo", opisane już w XVI wieku. Zapamiętajmy tę sztuczkę — za chwilę to ona rozpęta wojnę.
| Znak | Twórca / pierwsze użycie | Data | Skąd się wziął |
|---|---|---|---|
| + − | druk Johannesa Widmanna | 1489 | początkowo znaki nadwyżki i niedoboru w księgach kupieckich |
| × | William Oughtred | 1631 | ukośny „krzyż św. Andrzeja" |
| ⋅ | spopularyzował Leibniz | 1698 | kropka zamiast „×", by nie mylić z niewiadomą x |
| ÷ | Johann Rahn (John Pell) | 1659 | obelus: graficzny obraz ułamka — kreska między dwiema kropkami |
| / | Augustus De Morgan | 1845 | ukośnik ułatwiający skład tekstu w jednej linii |
| : | William Oughtred | XVII w. | pierwotnie zapis stosunku (proporcji) |
Dlaczego odejmowanie i dzielenie łamią symetrię
Cztery podstawowe działania nie są sobie równe. Dodawanie i mnożenie są „grzeczne" — symetryczne; odejmowanie i dzielenie tej symetrii nie mają, i to nie przez przypadek.
Dodawanie jest przemienne (a + b = b + a) i łączne ((a + b) + c = a + (b + c)); tak samo mnożenie. Odejmowanie i dzielenie łamią obie zasady: 7 − 3 = 4, ale 3 − 7 = −4; (12 − 5) − 3 = 4, ale 12 − (5 − 3) = 10. Dlatego przy odejmowaniu i dzieleniu nawiasy przestają być ozdobą — stają się jedynym sposobem, żeby jednoznacznie powiedzieć, co z czym liczymy.
Głębsza przyczyna jest elegancka: odejmowanie i dzielenie nie są osobnymi działaniami. To tylko przebrania. Odjąć b to dodać liczbę przeciwną: a − b = a + (−b). Podzielić przez b (dla b ≠ 0) to pomnożyć przez odwrotność: a ÷ b = a · b⁻¹. Gdy sprowadzić je z powrotem do dodawania i mnożenia, symetria wraca w całości. Asymetria nie jest więc własnością świata — jest kosztem skrótu zapisu.
| Działanie | Przemienne | Łączne | Element neutralny | Rozdzielne względem + |
|---|---|---|---|---|
Dodawanie + | tak | tak | 0 (a + 0 = a) | — |
Odejmowanie − | nie | nie | tylko z prawej (a − 0 = a) | — |
Mnożenie ⋅ | tak | tak | 1 (a · 1 = a) | tak: a(b + c) = ab + ac |
Dzielenie ÷ | nie | nie | tylko z prawej (a ÷ 1 = a) | tylko z prawej: (a + b) ÷ c = a ÷ c + b ÷ c |
Kropka przed kreską — czyli kodeks drogowy zapisu
Pytanie „dlaczego mnożenie wykonujemy przed dodawaniem?" dotyka samego sedna. Odpowiedź brzmi: bo tak się umówiliśmy. Gdyby ludzkość przyjęła odwrotną regułę, świat fizyczny nie drgnąłby ani o milimetr — musielibyśmy tylko przepisać całą matematykę inaczej.
Powód tej konkretnej umowy jest praktyczny: zwięzłość. Wielomiany typu ax² + bx + c są najczęstszą rzeczą, jaką się zapisuje. Gdyby mnożenie nie miało pierwszeństwa, trzeba by je pisać jako ((a·(x²)) + (b·x)) + c — las nawiasów w każdym wierszu. Priorytet mnożenia sprawia, że nawiasy stają się wyjątkiem, a nie regułą. Podział na priorytety ukształtował się nieformalnie w XVII wieku wraz z zapisem algebraicznym, a akronimy typu PEMDAS czy BODMAS to dopiero pomoce mnemotechniczne z epoki masowych podręczników na przełomie XIX i XX wieku. Niemiecka szkoła ujmuje to bez akronimu, jednym hasłem: Punktrechnung vor Strichrechnung — działania „kropkowe" (× ÷) przed „kreskowymi" (+ −).
I tu kryje się najczęstszy błąd: PEMDAS bywa czytany jako sztywna drabina, w której „A" (dodawanie) idzie przed „S" (odejmowaniem). Nieprawda — mnożenie i dzielenie mają równy priorytet, tak samo dodawanie i odejmowanie, a między równymi liczymy po prostu od lewej do prawej. Dlatego 10 − 4 + 2 = 8, a nie 4. Rozwijamy to na osobnej stronie o kolejności działań.
6 ÷ 2(1+2), czyli wojna o zapis
Co jakiś czas internet dzieli się na dwa wrogie obozy wokół wyrażenia 6 ÷ 2(1+2). Jedni bronią wyniku 9, drudzy 1, i — co najciekawsze — obie strony mają rację, bo problem nie leży w ludziach, tylko w samym zapisie.
Obóz „9" trzyma się reguły podręcznikowej: najpierw nawias (1 + 2 = 3), potem, ponieważ dzielenie i mnożenie są równorzędne, liczymy od lewej: 6 ÷ 2 = 3, dalej 3 · 3 = 9. Obóz „1" powołuje się na mnożenie przez sąsiedztwo: zapis 2(1+2) bez znaku traktuje jak jeden zrośnięty składnik i liczy go przed jawnym dzieleniem — 2 · 3 = 6, więc 6 ÷ 6 = 1. Ta druga konwencja naprawdę bywa domyślna w literaturze naukowej i starszych podręcznikach akademickich.
Morał nie jest taki, że jedna szkoła jest głupia. Morał jest taki, że poziomy zapis z symbolem ÷ obok mnożenia niejawnego jest po prostu niejednoznaczny — nie jest, jak mówią matematycy, dobrze zdefiniowany. Nawet kalkulatory naukowe (bywa, że dwa modele tej samej firmy) potrafią zwrócić różne wyniki, zależnie od tego, jak ich oprogramowanie traktuje sąsiedztwo. Dlatego zawodowcy nie piszą tak w ogóle — zastępują ÷ jednoznaczną kreską ułamkową, po której z góry widać, co jest w liczniku, a co w mianowniku. Spór o 6 ÷ 2(1+2) to nie zagadka matematyczna. To dowód, że dobra notacja jest częścią matematyki.
Zakaz, który ratuje całą resztę
Jest w arytmetyce jedna granica absolutna: nie wolno dzielić przez zero. Nie chodzi o brak mocy obliczeniowej — chodzi o to, że dopuszczenie tego działania zburzyłoby logiczną spójność całej reszty.
Dzielenie to pytanie odwrotne do mnożenia: a ÷ b = x znaczy „które x spełnia x · b = a?". Podstawmy b = 0. Dla niezerowego a szukamy x takiego, że x · 0 = a. Ale x · 0 zawsze wynosi 0, więc gdy a ≠ 0, takiego x po prostu nie ma — działanie jest niewykonalne. A 0 ÷ 0? Tu odwrotnie: równanie x · 0 = 0 spełnia każde x, więc wynik nie jest jednoznaczny — mówimy o symbolu nieoznaczonym.
Że to nie akademicki kaprys, pokazuje klasyczny „dowód", że 2 = 1. Zaczynamy od a = b:
a² = ab → a² − b² = ab − b² → (a − b)(a + b) = b(a − b)
Kuszące jest teraz skrócić obie strony przez (a − b), otrzymując a + b = b, a stąd 2 = 1. Sęk w tym, że przy założeniu a = b nawias (a − b) jest równy zeru — i to ukryte dzielenie przez zero przemyca absurd. Zakaz nie jest więc arbitralny; to bezpiecznik, który nie pozwala arytmetyce udowodnić fałszu. Więcej o samym działaniu i o dzieleniu z resztą znajdziesz na stronie o dzieleniu.
Dwa przykłady krok po kroku
Reguły najlepiej widać w akcji. Najpierw wyrażenie z nawiasami i potęgą:
18 − (3² − 5) · 2 + (12 ÷ 3)
Najpierw nawiasy, a w pierwszym z nich potęga przed odejmowaniem: 3² = 9, więc (9 − 5) = 4; drugi nawias to 12 ÷ 3 = 4. Zostaje 18 − 4 · 2 + 4. Mnożenie ma pierwszeństwo: 4 · 2 = 8, czyli 18 − 8 + 4. Na koniec działania równorzędne od lewej: 18 − 8 = 10, 10 + 4 = 14. Wynik: 14.
Drugi przykład to pułapka „równego priorytetu":
24 ÷ 4 · 3 ÷ 2
Nie ma tu żadnej hierarchii — mnożenie i dzielenie liczymy ściśle od lewej. 24 ÷ 4 = 6, potem 6 · 3 = 18, na końcu 18 ÷ 2 = 9. Wynik: 9. Gdyby ktoś „najpierw pomnożył", bo mnożenie brzmi ważniej, dostałby zły wynik. Kolejność między równymi to nie ranking — to po prostu czytanie zdania od lewej do prawej.
Co jest umową, a co prawdą
Arytmetyka ma dwie warstwy i warto ich nie mylić. Znaki, priorytety i kierunek czytania to umowa — mogliśmy się dogadać inaczej, a matematyka i tak działałaby tak samo, tyle że wyglądała inaczej. Ale to, że pięć jabłek to pięć jabłek, że odejmowanie nie jest przemienne i że przez zero dzielić się nie da — to prawda, której żadna umowa nie ruszy. Kiedy następnym razem zobaczysz internetową kłótnię o 6 ÷ 2(1+2), będziesz już wiedzieć, że spierają się nie o matematykę, lecz o interpunkcję. A prawdziwa matematyka czeka spokojnie w naszym dziale o arytmetyce.
Dalsza lektura
- Wikipedia, Kolejność wykonywania działań — rozwój notacji algebraicznej od Viète'a po dziś.
- Plus Magazine, The PEMDAS Paradox (plus.maths.org) — lingwistyczne i logiczne tło internetowych sporów o niejednoznaczne równania.
- Wolfram MathWorld, Division by Zero — formalne ujęcie dzielenia przez zero w teorii ciał liczbowych.
- The Math Doctors, Order of Operations: Historical Caveats — jak pojęcie „porządku działań" wyglądało w XIX-wiecznych podręcznikach.
- MacTutor, Earliest Uses of Symbols of Operation — kronika pierwszych wystąpień znaków działań.