Dieta
Dzienny bilans kalorii to jedna długa suma: 320 + 450 + 610 + 180 = 1 560 kcal — dopiero wynik mówi, czy mieścisz się w planie.
Dodawanie
Domowy budżet
Od wypłaty 4 200 zł odejmujesz stałe rachunki — 1 350 zł czynszu, 280 zł prądu, 90 zł internetu — i dopiero 2 480 zł jest tym, czym naprawdę dysponujesz przez miesiąc.
Odejmowanie
Gotowanie
Przepis jest na 2 osoby, a gości sześcioro: każdy składnik mnożysz przez 3, więc 250 g makaronu robi się 750 g, a 1,5 łyżki oliwy — 4,5 łyżki.
Mnożenie
Rachunek na kilka osób
Rachunek 246 zł podzielony na 4 osoby to 61,50 zł na głowę — a to, że 246 : 4 nie wychodzi całkowicie, jest dokładnie tym miejscem, w którym część dziesiętna zaczyna mieć znaczenie.
Dzielenie
Koszyk w sklepie
Trzy jogurty po 4,50 zł i dwa sery po 7,20 zł to 3 · 4,50 + 2 · 7,20 = 27,90 zł. Policzone po kolei od lewej dają 111,60 zł — kolejność działań jest tu różnicą między rachunkiem a bzdurą.
Kolejność działań
Prognoza pogody
W nocy termometr pokazuje −6 °C, w południe 4 °C. Różnica to 10 stopni, bo od −6 do 0 jest 6 kresek i od 0 do 4 jeszcze 4 — to jedno odejmowanie 4 − (−6), a nie dwa osobne rachunki.
Liczby ujemne Przelicz w konwerterze: Temperatura
Zakupy
Przy kasie samoobsługowej doliczasz w pamięci: 12,80 + 7,20 + 23,40 to mniej więcej 13 + 7 + 23 = 43 zł. Gdy terminal pokaże 143 zł, od razu wiesz, że coś zeskanowało się dwa razy.
Zaokrąglanie i szacowanie
Remont i zakupy materiałów
Płytki 34 zł za metr na 26 m² podłogi to 34 · 26 = 884 zł — rachunek, który w składzie budowlanym robi się na kartce przy ladzie, żeby sprawdzić, czy kwota z systemu się zgadza.
Działania pisemne
Zegar i zabytki
Tarcza zegara na ratuszu ma godzinę 4 zapisaną jako IIII albo IV, a 12 jako XII — a data MDCCLXXXVIII wykuta nad wejściem to rok 1788, czyli budynek ma ponad 230 lat.
Liczby rzymskie
Podróż samochodem
Do rodziny jest 280 km, jedziesz średnio 70 km/h, więc 280 : 70 = 4 godziny drogi. Wyjeżdżając o 13:30, jesteś na miejscu o 17:30 — i tyle warto powiedzieć przez telefon.
Prędkość, droga, czas Przelicz w konwerterze: Prędkość

Wzory działu

Dział: Arytmetyka

Dodawanie

Suma
$a + b = c$
składnik + składnik = suma
Przemienność
$a + b = b + a$
kolejność składników nie zmienia wyniku
Łączność
$(a + b) + c = a + (b + c)$
grupowanie składników nie zmienia wyniku
Element neutralny
$a + 0 = a$
zero nie zmienia liczby

Odejmowanie

Różnica
$a - b = c$
odjemna − odjemnik = różnica
Sprawdzenie
$a - b = c \iff b + c = a$
odejmowanie sprawdzamy dodawaniem
Odejmowanie zera
$a - 0 = a$
zero nie zmienia liczby
Różnica równych
$a - a = 0$
liczba odjęta od samej siebie daje zero

Mnożenie

Iloczyn
$a \cdot b = c$
czynnik · czynnik = iloczyn
Przemienność
$a \cdot b = b \cdot a$
kolejność czynników nie zmienia wyniku
Łączność
$(a \cdot b) \cdot c = a \cdot (b \cdot c)$
grupowanie czynników nie zmienia wyniku
Rozdzielność
$a \cdot (b + c) = a \cdot b + a \cdot c$
mnożenie rozdziela się względem dodawania
Element neutralny
$a \cdot 1 = a$
mnożenie przez jeden nie zmienia liczby
Mnożenie przez zero
$a \cdot 0 = 0$
iloczyn z zerem zawsze daje zero

Dzielenie

Iloraz
$a : b = c$
dzielna : dzielnik = iloraz (b ≠ 0)
Sprawdzenie
$a : b = c \iff c \cdot b = a$
dzielenie sprawdzamy mnożeniem
Dzielenie z resztą
$a = b \cdot q + r$
reszta spełnia 0 ≤ r < b
Dzielenie przez jeden
$a : 1 = a$
dzielenie przez jeden nie zmienia liczby
Dzielenie przez siebie
$a : a = 1$
dla a ≠ 0

Kolejność działań

Mnożenie przed dodawaniem
$2 + 3 \cdot 4 = 14$
najpierw 3 · 4 = 12, potem 2 + 12
Nawias najpierw
$(2 + 3) \cdot 4 = 20$
nawias zmienia kolejność: najpierw 2 + 3
Potęga przed mnożeniem
$2^3 \cdot 2 = 16$
najpierw 2³ = 8, potem 8 · 2
Od lewej do prawej
$20 - 4 - 3 = 13$
działania tego samego rzędu liczymy od lewej

Liczby ujemne

Liczba przeciwna
$-(-a) = a$
liczba przeciwna do liczby przeciwnej to liczba wyjściowa
Suma liczb przeciwnych
$a + (-a) = 0$
liczby przeciwne znoszą się do zera
Odejmowanie jako dodawanie
$a - b = a + (-b)$
odjąć liczbę to dodać liczbę do niej przeciwną
Odejmowanie liczby ujemnej
$a - (-b) = a + b$
dwa minusy obok siebie dają plus
Znaki różne
$(-a) \cdot b = -(a \cdot b)$
iloczyn liczb o różnych znakach jest ujemny
Znaki jednakowe
$(-a) \cdot (-b) = a \cdot b$
iloczyn dwóch liczb ujemnych jest dodatni

Zaokrąglanie i szacowanie

Zaokrąglenie do dziesiątek
$63 \approx 60$
cyfra jedności to 3, więc w dół
Zaokrąglenie do setek
$2847 \approx 2800$
cyfra dziesiątek to 4, więc w dół
Zaokrąglenie do tysięcy
$2847 \approx 3000$
cyfra setek to 8, więc w górę
Szacowanie sumy
$487 + 216 \approx 490 + 220 = 710$
zaokrąglamy składniki, potem dodajemy
Szacowanie iloczynu
$38 \cdot 21 \approx 40 \cdot 20 = 800$
zaokrąglamy czynniki, potem mnożymy

Działania pisemne

Dodawanie z przeniesieniem
$\begin{array}{r} \overset{1}{4}\overset{1}{7}8 \\ +\;356 \\ \hline 834 \end{array}$
małe jedynki nad kolumną to przeniesienia
Odejmowanie z pożyczką
$\begin{array}{r} 8124 \\ \underline{-\;2758} \\ 5366 \end{array}$
pożyczamy dziesiątkę z kolumny po lewej
Mnożenie z iloczynami częściowymi
$\begin{array}{r} 347 \\ \times\;26 \\ \hline 2082 \\ \underline{694\phantom{0}} \\ 9022 \end{array}$
drugi iloczyn przesuwamy o jedno miejsce w lewo
Dzielenie pisemne
$\begin{array}{r} 492 : 4 = 123 \\ \underline{4}\phantom{92{}: 4 = 123} \\ 09\phantom{2{}: 4 = 123} \\ \phantom{0}\underline{8}\phantom{2{}: 4 = 123} \\ \phantom{0}12\phantom{{}: 4 = 123} \\ \phantom{0}\underline{12}\phantom{{}: 4 = 123} \\ \phantom{01}0\phantom{{}: 4 = 123} \end{array}$
dzielimy, mnożymy, odejmujemy, znosimy następną cyfrę

Liczby rzymskie

Siedem znaków
$\text{I} = 1 \;\; \text{V} = 5 \;\; \text{X} = 10 \;\; \text{L} = 50 \;\; \text{C} = 100 \;\; \text{D} = 500 \;\; \text{M} = 1000$
cały alfabet systemu rzymskiego
Reguła dodawania
$\text{XXVII} = 10 + 10 + 5 + 1 + 1 = 27$
znaki malejące sumujemy
Zapis odejmowany
$\text{XIV} = 10 + (5 - 1) = 14$
mniejszy znak przed większym odejmujemy
Rok na kamieniu węgielnym
$\text{MCMXCIV} = 1000 + 900 + 90 + 4 = 1994$
CM = 900, XC = 90, IV = 4

Prędkość, droga, czas

Prędkość
$v = \frac{s}{t}$
droga podzielona przez czas
Droga
$s = v \cdot t$
prędkość razy czas
Czas
$t = \frac{s}{v}$
droga podzielona przez prędkość
Jednostki czasu
$1\,\text{h} = 60\,\text{min} = 3600\,\text{s}$
zegar liczy po 60, nie po 100
Zamiana jednostek prędkości
$1\,\frac{\text{m}}{\text{s}} = 3{,}6\,\frac{\text{km}}{\text{h}}$
z m/s na km/h mnożymy przez 3,6

Powiązane artykuły

Symbole plus, minus, razy i dzielenia oraz cyfry unoszące się w geometrycznej siatce, połączone szmaragdowymi liniami porządku działań, na tle kosmicznej mgławicy w fiolecie i magencie

Arytmetyka

Gramatyka arytmetyki — dlaczego kolejność działań to umowa

Symboli +, −, × i ÷ nikt nie wynalazł z dnia na dzień, a spór o 6 ÷ 2(1+2) dzieli internet do dziś. Oto dlaczego zapis działań jest ludzką umową, wyniki — absolutną prawdą, a dzielenia przez zero po prostu nie da się zdefiniować.

10 min