Dział matematyki

Arytmetyka

Cztery działania i kolejność ich wykonywania — fundament całej matematyki.

Tematy w tym dziale

Dodawanie łączy dwie lub więcej liczb w jedną — sumę. Poznaj nazwy składników, prawa dodawania (przemienność, łączność, element neutralny) i naucz się dodawać w słupku z przenoszeniem.

Otwórz lekcję

Odejmowanie to działanie odwrotne do dodawania — od odjemnej odejmujemy odjemnik i otrzymujemy różnicę. Poznaj nazwy, własności, związek z dodawaniem i naucz się odejmować w słupku z pożyczaniem.

Otwórz lekcję

Mnożenie to skrócone dodawanie tego samego składnika. Poznaj nazwy czynników i iloczynu, prawa mnożenia (przemienność, łączność, rozdzielność), tabliczkę mnożenia oraz mnożenie w słupku.

Otwórz lekcję

Dzielenie to działanie odwrotne do mnożenia — dzielimy dzielną przez dzielnik i otrzymujemy iloraz. Poznaj nazwy, związek z mnożeniem, dzielenie z resztą oraz dlaczego nie wolno dzielić przez zero.

Otwórz lekcję

Kolejność działań

Gdy w jednym wyrażeniu spotyka się kilka działań, liczymy je w ustalonej kolejności: najpierw nawiasy, potem potęgi, następnie mnożenie i dzielenie, a na końcu dodawanie i odejmowanie. Poznaj reguły i przećwicz je na przykładach.

Otwórz lekcję

Wzory działu

Dział: Arytmetyka

Dodawanie

Suma
$a + b = c$
składnik + składnik = suma
Przemienność
$a + b = b + a$
kolejność składników nie zmienia wyniku
Łączność
$(a + b) + c = a + (b + c)$
grupowanie składników nie zmienia wyniku
Element neutralny
$a + 0 = a$
zero nie zmienia liczby

Odejmowanie

Różnica
$a - b = c$
odjemna − odjemnik = różnica
Sprawdzenie
$a - b = c \iff b + c = a$
odejmowanie sprawdzamy dodawaniem
Odejmowanie zera
$a - 0 = a$
zero nie zmienia liczby
Różnica równych
$a - a = 0$
liczba odjęta od samej siebie daje zero

Mnożenie

Iloczyn
$a \cdot b = c$
czynnik · czynnik = iloczyn
Przemienność
$a \cdot b = b \cdot a$
kolejność czynników nie zmienia wyniku
Łączność
$(a \cdot b) \cdot c = a \cdot (b \cdot c)$
grupowanie czynników nie zmienia wyniku
Rozdzielność
$a \cdot (b + c) = a \cdot b + a \cdot c$
mnożenie rozdziela się względem dodawania
Element neutralny
$a \cdot 1 = a$
mnożenie przez jeden nie zmienia liczby
Mnożenie przez zero
$a \cdot 0 = 0$
iloczyn z zerem zawsze daje zero

Dzielenie

Iloraz
$a : b = c$
dzielna : dzielnik = iloraz (b ≠ 0)
Sprawdzenie
$a : b = c \iff c \cdot b = a$
dzielenie sprawdzamy mnożeniem
Dzielenie z resztą
$a = b \cdot q + r$
reszta spełnia 0 ≤ r < b
Dzielenie przez jeden
$a : 1 = a$
dzielenie przez jeden nie zmienia liczby
Dzielenie przez siebie
$a : a = 1$
dla a ≠ 0

Kolejność działań

Mnożenie przed dodawaniem
$2 + 3 \cdot 4 = 14$
najpierw 3 · 4 = 12, potem 2 + 12
Nawias najpierw
$(2 + 3) \cdot 4 = 20$
nawias zmienia kolejność: najpierw 2 + 3
Potęga przed mnożeniem
$2^3 \cdot 2 = 16$
najpierw 2³ = 8, potem 8 · 2
Od lewej do prawej
$20 - 4 - 3 = 13$
działania tego samego rzędu liczymy od lewej

Powiązane artykuły

Symbole plus, minus, razy i dzielenia oraz cyfry unoszące się w geometrycznej siatce, połączone szmaragdowymi liniami porządku działań, na tle kosmicznej mgławicy w fiolecie i magencie

Gramatyka arytmetyki — dlaczego kolejność działań to umowa

Symboli +, −, × i ÷ nikt nie wynalazł z dnia na dzień, a spór o 6 ÷ 2(1+2) dzieli internet do dziś. Oto dlaczego zapis działań jest ludzką umową, wyniki — absolutną prawdą, a dzielenia przez zero po prostu nie da się zdefiniować.