Jak nazywają się liczby w mnożeniu?

Liczby, które mnożymy, to czynniki, a wynik mnożenia to iloczyn. W zapisie a · b = c litery a i b są czynnikami, a c jest iloczynem.

Czym właściwie jest mnożenie?

Mnożenie to skrócony zapis dodawania tego samego składnika wiele razy. Na przykład 4 · 3 oznacza 3 + 3 + 3 + 3 = 12, czyli cztery razy po trzy.

Czy kolejność czynników ma znaczenie?

Nie. Mnożenie jest przemienne: a · b = b · a. Na przykład 6 · 7 = 42 i 7 · 6 = 42. To ułatwia zapamiętanie tabliczki mnożenia — wystarczy nauczyć się połowy.

Ile wynosi liczba pomnożona przez zero?

Zawsze zero: a · 0 = 0 dla każdej liczby a. Pomnożenie przez jeden natomiast nie zmienia liczby, bo a · 1 = a.

Poziom podstawowy

Mnożenie

Mnożenie to skrócone dodawanie tego samego składnika. Poznaj nazwy czynników i iloczynu, prawa mnożenia (przemienność, łączność, rozdzielność), tabliczkę mnożenia oraz mnożenie w słupku.

Zanim zaczniesz

Ten temat opiera się na wcześniejszych zagadnieniach. Zanim zaczniesz, warto przerobić poniższe lekcje — dzięki nim wszystko pójdzie gładko:

DodawanieDodawanie łączy dwie lub więcej liczb w jedną — sumę. Poznaj nazwy składników, prawa dodawania (przemienność, łączność, element neutralny) i naucz się dodawać w słupku z przenoszeniem.

Gdzie się tego używa

Konkretne sytuacje, w których liczysz dokładnie tak, jak uczy ta lekcja:

Gotowanie
Przepis jest na 2 osoby, a gości sześcioro: każdy składnik mnożysz przez 3, więc 250 g makaronu robi się 750 g, a 1,5 łyżki oliwy — 4,5 łyżki.
Remont
Płytkarz wycenia materiał mnożeniem: 12 paczek po 1,44 m² to 17,28 m² — akurat tyle, żeby przykryć podłogę 4,2 × 4 m i zostawić zapas na docinki.
Przelicz w konwerterze: Powierzchnia
Wynagrodzenie
Przy stawce 32 zł za godzinę i 168 godzinach w miesiącu jedno mnożenie daje 5 376 zł — i tylko ono pozwala sprawdzić kwotę na umowie.

Wszystkie wzory

Iloczyn
$a \cdot b = c$
czynnik · czynnik = iloczyn
Przemienność
$a \cdot b = b \cdot a$
kolejność czynników nie zmienia wyniku
Łączność
$(a \cdot b) \cdot c = a \cdot (b \cdot c)$
grupowanie czynników nie zmienia wyniku
Rozdzielność
$a \cdot (b + c) = a \cdot b + a \cdot c$
mnożenie rozdziela się względem dodawania
Element neutralny
$a \cdot 1 = a$
mnożenie przez jeden nie zmienia liczby
Mnożenie przez zero
$a \cdot 0 = 0$
iloczyn z zerem zawsze daje zero

Mnożenie to skrócone dodawanie tego samego składnika. Zapis $a \cdot b = c$ czytamy „a razy b równa się c" i oznacza, że liczbę $b$ dodajemy do siebie $a$ razy. Liczby $a$ i $b$ to czynniki, a $c$ to iloczyn.

Na przykład $4 \cdot 3 = 3 + 3 + 3 + 3 = 12$ — cztery razy po trzy.

Nazwy w mnożeniu

czynnik — każda z liczb, które mnożymy ( $a$ oraz $b$ ),
iloczyn — wynik mnożenia ( $c$ ).

Prawa mnożenia

Przemienność

Kolejność czynników nie zmienia wyniku:

a \cdot b = b \cdot a

Dzięki temu $6 \cdot 7$ i $7 \cdot 6$ dają tyle samo — $42$ . To połowa pracy przy nauce tabliczki mnożenia.

Łączność

Gdy mnożymy trzy lub więcej czynników, sposób ich grupowania nie zmienia wyniku:

(a \cdot b) \cdot c = a \cdot (b \cdot c)

Rozdzielność względem dodawania

Mnożenie „rozkłada się" na sumę:

a \cdot (b + c) = a \cdot b + a \cdot c

To podstawa liczenia w pamięci: $7 \cdot 12 = 7 \cdot (10 + 2) = 70 + 14 = 84$ .

Policz sprytnie 8 · 13, korzystając z rozdzielności.

Element neutralny i zero

mnożenie przez jeden nie zmienia liczby: $a \cdot 1 = a$ ,
iloczyn z zerem zawsze wynosi zero: $a \cdot 0 = 0$ .

Mnożenie w słupku

Liczby wielocyfrowe mnożymy w słupku: każdą cyfrę jednego czynnika mnożymy przez drugi czynnik, a wyniki (przesunięte o odpowiednią liczbę miejsc) dodajemy. Weźmy $23 \cdot 4$ : $4 \cdot 3 = 12$ — zapisujemy $2$ , przenosimy $1$ ; $4 \cdot 2 = 8$ , plus przeniesione $1$ daje $9$ . Wynik to $92$ .

Ćwiczenia

Rozwiąż zestaw zadań — trudność rośnie z każdym kolejnym. Na końcu zobaczysz wynik i listę pomyłek do powtórki.

Zadanie 1 z 8Punkty: 0

5 × 8 =

Częste błędy

Zapominanie o przeniesieniu przy mnożeniu w słupku — tak samo jak w dodawaniu, dziesiątki wędrują do następnej kolumny.
„Mnożenie przez zero daje tę liczbę" — nie: $a \cdot 0 = 0$ , a $a \cdot 1 = a$ .
Mylenie iloczynu z sumą — $3 \cdot 4 = 12$ , a nie $7$ .

Karta wzorów

Temat: Mnożenie

Iloczyn
$a \cdot b = c$
czynnik · czynnik = iloczyn
Przemienność
$a \cdot b = b \cdot a$
kolejność czynników nie zmienia wyniku
Łączność
$(a \cdot b) \cdot c = a \cdot (b \cdot c)$
grupowanie czynników nie zmienia wyniku
Rozdzielność
$a \cdot (b + c) = a \cdot b + a \cdot c$
mnożenie rozdziela się względem dodawania
Element neutralny
$a \cdot 1 = a$
mnożenie przez jeden nie zmienia liczby
Mnożenie przez zero
$a \cdot 0 = 0$
iloczyn z zerem zawsze daje zero

Najczęstsze pytania

Powiązane artykuły

Symbole plus, minus, razy i dzielenia oraz cyfry unoszące się w geometrycznej siatce, połączone szmaragdowymi liniami porządku działań, na tle kosmicznej mgławicy w fiolecie i magencie

Arytmetyka

Gramatyka arytmetyki — dlaczego kolejność działań to umowa

Symboli +, −, × i ÷ nikt nie wynalazł z dnia na dzień, a spór o 6 ÷ 2(1+2) dzieli internet do dziś. Oto dlaczego zapis działań jest ludzką umową, wyniki — absolutną prawdą, a dzielenia przez zero po prostu nie da się zdefiniować.

10 min