Jaka jest kolejność wykonywania działań?

Po kolei: 1) nawiasy, 2) potęgi i pierwiastki, 3) mnożenie i dzielenie, 4) dodawanie i odejmowanie. Działania z tego samego poziomu (np. mnożenie i dzielenie) wykonujemy od lewej do prawej.

Ile wynosi 2 + 3 · 4?

Czternaście. Mnożenie ma pierwszeństwo przed dodawaniem, więc najpierw liczymy 3 · 4 = 12, a dopiero potem 2 + 12 = 14. Wynik 20 (czyli 5 · 4) jest błędny, bo pomija kolejność działań.

Nawiasy zmieniają naturalną kolejność — to, co w nich, liczymy najpierw. Dlatego (2 + 3) · 4 = 20, choć bez nawiasu 2 + 3 · 4 = 14. Przy zagnieżdżonych nawiasach zaczynamy od najbardziej wewnętrznego.

Czy mnożenie zawsze wykonujemy przed dzieleniem?

Nie. Mnożenie i dzielenie są na tym samym poziomie, więc wykonujemy je w kolejności od lewej do prawej. Na przykład w 12 : 3 · 2 najpierw liczymy 12 : 3 = 4, a potem 4 · 2 = 8 — a nie 3 · 2 najpierw.

Poziom podstawowy

Kolejność działań

Gdy w jednym wyrażeniu spotyka się kilka działań, liczymy je w ustalonej kolejności: najpierw nawiasy, potem potęgi, następnie mnożenie i dzielenie, a na końcu dodawanie i odejmowanie. Poznaj reguły i przećwicz je na przykładach.

Zanim zaczniesz

Ten temat opiera się na wcześniejszych zagadnieniach. Zanim zaczniesz, warto przerobić poniższe lekcje — dzięki nim wszystko pójdzie gładko:

DodawanieDodawanie łączy dwie lub więcej liczb w jedną — sumę. Poznaj nazwy składników, prawa dodawania (przemienność, łączność, element neutralny) i naucz się dodawać w słupku z przenoszeniem.
OdejmowanieOdejmowanie to działanie odwrotne do dodawania — od odjemnej odejmujemy odjemnik i otrzymujemy różnicę. Poznaj nazwy, własności, związek z dodawaniem i naucz się odejmować w słupku z pożyczaniem.
MnożenieMnożenie to skrócone dodawanie tego samego składnika. Poznaj nazwy czynników i iloczynu, prawa mnożenia (przemienność, łączność, rozdzielność), tabliczkę mnożenia oraz mnożenie w słupku.
DzielenieDzielenie to działanie odwrotne do mnożenia — dzielimy dzielną przez dzielnik i otrzymujemy iloraz. Poznaj nazwy, związek z mnożeniem, dzielenie z resztą oraz dlaczego nie wolno dzielić przez zero.
PotęgiPotęga to skrócony zapis mnożenia tego samego czynnika. Poznaj podstawę i wykładnik, prawa działań na potęgach, potęgę iloczynu i ilorazu, wykładnik zerowy i ujemny, monotoniczność potęgowania oraz notację naukową.
PierwiastkiPierwiastek to działanie odwrotne do potęgowania. Poznaj pierwiastek kwadratowy i sześcienny, działania na pierwiastkach, wyłączanie i włączanie czynnika, szacowanie i porównywanie pierwiastków oraz usuwanie niewymierności z mianownika.

Gdzie się tego używa

Konkretne sytuacje, w których liczysz dokładnie tak, jak uczy ta lekcja:

Koszyk w sklepie
Trzy jogurty po 4,50 zł i dwa sery po 7,20 zł to 3 · 4,50 + 2 · 7,20 = 27,90 zł. Policzone po kolei od lewej dają 111,60 zł — kolejność działań jest tu różnicą między rachunkiem a bzdurą.
Księgowość
Kwota brutto na fakturze to (12 · 85 + 40) · 1,23 = 1 303,80 zł: najpierw pozycje i dostawa, dopiero na końcu podatek. Bez nawiasu te same liczby dają 1 069,20 zł.
Zobacz lekcję: Procenty
Hurtownia
Karton 24 puszek kosztuje 43,20 zł, a klient chce pięć sztuk: 43,20 : 24 · 5 = 9 zł. Dzielenie i mnożenie są tego samego rzędu, więc idą od lewej do prawej — ten sam rachunek wstukany w kalkulator jako 43,20 : (24 · 5) daje 0,36 zł, czyli cenę, po której nikt tego nie sprzeda.

Wszystkie wzory

Mnożenie przed dodawaniem
$2 + 3 \cdot 4 = 14$
najpierw 3 · 4 = 12, potem 2 + 12
Nawias najpierw
$(2 + 3) \cdot 4 = 20$
nawias zmienia kolejność: najpierw 2 + 3
Potęga przed mnożeniem
$2^3 \cdot 2 = 16$
najpierw 2³ = 8, potem 8 · 2
Od lewej do prawej
$20 - 4 - 3 = 13$
działania tego samego rzędu liczymy od lewej

Gdy w jednym wyrażeniu spotyka się kilka różnych działań, wynik zależy od tego, w jakiej kolejności je wykonamy. Żeby każdy dostał ten sam wynik, matematyka ustala jedną, stałą kolejność.

Reguła kolejności działań

Działania wykonujemy w tej kolejności:

nawiasy — najpierw to, co w środku (od najbardziej wewnętrznego),
potęgi i pierwiastki,
mnożenie i dzielenie,
dodawanie i odejmowanie.

Działania z tego samego poziomu (np. mnożenie i dzielenie razem albo dodawanie i odejmowanie razem) wykonujemy od lewej do prawej.

Dlaczego kolejność ma znaczenie

Porównaj dwa wyrażenia różniące się tylko nawiasem:

2 + 3 \cdot 4 = 14 \qquad \text{ale} \qquad (2 + 3) \cdot 4 = 20

W pierwszym mnożenie ma pierwszeństwo, więc liczymy $3 \cdot 4 = 12$ , a potem $2 + 12 = 14$ . W drugim nawias każe najpierw dodać: $2 + 3 = 5$ , a potem $5 \cdot 4 = 20$ .

Ten sam poziom — od lewej do prawej

Mnożenie i dzielenie są równorzędne, więc nie „mnożymy zawsze najpierw" — idziemy od lewej:

12 : 3 \cdot 2 = 4 \cdot 2 = 8

Gdybyśmy najpierw pomnożyli $3 \cdot 2 = 6$ , dostalibyśmy błędne $12 : 6 = 2$ . Tak samo dodawanie i odejmowanie: $20 - 4 - 3 = 13$ , licząc od lewej.

Oblicz: 20 − 4 · 2 + 6 : 3.

Ta sama kolejność obowiązuje, gdy zamiast liczby stoi litera. W ostatnim zadaniu poniżej wpisz wyrażenie — liczy się jego wartość, a nie zapis, więc każda równoważna postać przejdzie.

Ćwiczenia

Rozwiąż zestaw zadań — trudność rośnie z każdym kolejnym. Na końcu zobaczysz wynik i listę pomyłek do powtórki.

Zadanie 1 z 7Punkty: 0

2 + 3 × 4 =

Częste błędy

Liczenie po kolei od lewej, ignorując pierwszeństwo — $2 + 3 \cdot 4$ to $14$ , a nie $20$ .
„Mnożenie zawsze przed dzieleniem" — nie: są równorzędne, liczymy od lewej.
Gubienie nawiasów — nawias potrafi całkowicie zmienić wynik, więc przepisuj go uważnie.

Karta wzorów

Temat: Kolejność działań

Mnożenie przed dodawaniem
$2 + 3 \cdot 4 = 14$
najpierw 3 · 4 = 12, potem 2 + 12
Nawias najpierw
$(2 + 3) \cdot 4 = 20$
nawias zmienia kolejność: najpierw 2 + 3
Potęga przed mnożeniem
$2^3 \cdot 2 = 16$
najpierw 2³ = 8, potem 8 · 2
Od lewej do prawej
$20 - 4 - 3 = 13$
działania tego samego rzędu liczymy od lewej

Najczęstsze pytania

Powiązane artykuły

Symbole plus, minus, razy i dzielenia oraz cyfry unoszące się w geometrycznej siatce, połączone szmaragdowymi liniami porządku działań, na tle kosmicznej mgławicy w fiolecie i magencie

Arytmetyka

Gramatyka arytmetyki — dlaczego kolejność działań to umowa

Symboli +, −, × i ÷ nikt nie wynalazł z dnia na dzień, a spór o 6 ÷ 2(1+2) dzieli internet do dziś. Oto dlaczego zapis działań jest ludzką umową, wyniki — absolutną prawdą, a dzielenia przez zero po prostu nie da się zdefiniować.

10 min