Liczby ujemne i oś liczbowa
Liczby ujemne to liczby mniejsze od zera — mróz na termometrze, debet na koncie, poziom pod ziemią. Poznaj oś liczbową w obie strony, liczby przeciwne, porównywanie liczb ujemnych oraz reguły znaków w dodawaniu, odejmowaniu, mnożeniu i dzieleniu.
Zanim zaczniesz
Ten temat opiera się na wcześniejszych zagadnieniach. Zanim zaczniesz, warto przerobić poniższe lekcje — dzięki nim wszystko pójdzie gładko:
Gdzie się tego używa
Konkretne sytuacje, w których liczysz dokładnie tak, jak uczy ta lekcja:
- Prognoza pogodyW nocy termometr pokazuje −6 °C, w południe 4 °C. Różnica to 10 stopni, bo od −6 do 0 jest 6 kresek i od 0 do 4 jeszcze 4 — to jedno odejmowanie 4 − (−6), a nie dwa osobne rachunki.
- Konto bankoweSaldo −340 zł oznacza dług: po wpłacie 500 zł na koncie jest −340 + 500 = 160 zł, a nie 840 zł. Bank liczy dokładnie tak samo — minus przed kwotą to kierunek, nie ozdobnik.
- Budowa i geodezjaRzędne na projekcie liczy się od poziomu zerowego: strop garażu na −2,80 m, a fundament na −4,50 m, więc między nimi jest 1,70 m — i tyle musi mieć wykop poniżej stropu.
- ChłodnictwoTechnik serwisujący mroźnię ustawia temperaturę na −18 °C, a alarm ma zadziałać przy wzroście o 6 stopni, czyli przy −12 °C — bo im bliżej zera, tym cieplej.
Wszystkie wzory
Liczba przeciwna
liczba przeciwna do liczby przeciwnej to liczba wyjściowa
Suma liczb przeciwnych
liczby przeciwne znoszą się do zera
Odejmowanie jako dodawanie
odjąć liczbę to dodać liczbę do niej przeciwną
Odejmowanie liczby ujemnej
dwa minusy obok siebie dają plus
Znaki różne
iloczyn liczb o różnych znakach jest ujemny
Znaki jednakowe
iloczyn dwóch liczb ujemnych jest dodatni
Do tej pory wszystkie liczby, które liczyliśmy, były dodatnie — albo równe zeru. Ale zero nie jest końcem świata liczb: termometr pokazuje mróz, konto potrafi zejść pod kreskę, a winda zjeżdża na poziom pod ziemią. Wszystkie te sytuacje opisują liczby ujemne, czyli liczby mniejsze od zera, zapisywane ze znakiem minus: , , .
Oś liczbowa w obie strony
Oś liczbowa to prosta z zaznaczonym zerem i równymi odstępami. Na prawo od zera leżą liczby dodatnie, a na lewo — ujemne. Im dalej w prawo, tym liczba większa; im dalej w lewo, tym mniejsza.
Zero nie jest ani dodatnie, ani ujemne — jest punktem odniesienia. To od niego liczymy w obie strony.
Liczba przeciwna
Do każdej liczby istnieje liczba przeciwna — leżąca po drugiej stronie zera, w tej samej odległości. Liczbą przeciwną do jest , a liczbą przeciwną do jest :
Liczby przeciwne dodane do siebie zawsze dają zero:
To dlatego wpłata zł na konto z saldem zł ustawia je dokładnie na zero.
Porównywanie liczb ujemnych
Reguła jest jedna i zawsze ta sama: z dwóch liczb większa jest ta, która leży bardziej na prawo. Przy liczbach dodatnich zgadza się to z intuicją, ale przy ujemnych bywa myląca:
- , choć siódemka jest „większą cyfrą" niż trójka,
- każda liczba dodatnia jest większa od każdej ujemnej: ,
- zero jest większe od każdej liczby ujemnej: .
Najłatwiej sprawdzić to termometrem: °C to lżejszy mróz niż °C, więc jest liczbą większą.
Dodawanie i odejmowanie ze znakiem
Na osi liczbowej dodawanie to krok w prawo, a odejmowanie — krok w lewo. Nowe jest tylko to, że wolno nam teraz przejść przez zero i iść dalej:
Odejmowanie zawsze można zamienić na dodawanie liczby przeciwnej:
A z tego wynika reguła, która sprawia najwięcej kłopotu — odjęcie liczby ujemnej:
Dwa znaki minus obok siebie znoszą się i zostaje dodawanie. Dlatego różnica temperatur między nocą a południem, , wynosi stopni.
Odległość dwóch liczb na osi
Odległość między dwiema liczbami to po prostu liczba kresek między nimi — zawsze wielkość dodatnia, bo odległość nie ma kierunku. Liczymy ją, odejmując od liczby leżącej bardziej na prawo tę leżącą bardziej na lewo.
Od do jest kresek. Od do jest kresek. Jeśli odejmiesz w odwrotnej kolejności, dostaniesz tę samą liczbę ze znakiem minus — wtedy wystarczy ten znak pominąć.
Mnożenie i dzielenie — reguła znaków
Mnożenie przez liczbę ujemną odwraca kierunek na osi. Stąd cała reguła:
Czyli:
- znaki różne — wynik ujemny: ,
- znaki jednakowe — wynik dodatni: .
W dzieleniu działa dokładnie ta sama reguła, bo dzielenie jest odwrotnością mnożenia: , a .
Najprostszy sposób w praktyce: policz wynik na liczbach bez znaków, a potem policz, ile minusów było w działaniu. Parzysta liczba minusów daje wynik dodatni, nieparzysta — ujemny.
Ćwiczenia
Rozwiąż zestaw zadań — trudność rośnie z każdym kolejnym. Na końcu zobaczysz wynik i listę pomyłek do powtórki.
Częste błędy
- Porównywanie liczb ujemnych po cyfrach — nie jest większe od ; im większe cyfry, tym liczba dalej w lewo, czyli mniejsza.
- Gubienie minusa przy odejmowaniu liczby ujemnej — to , a nie .
- Mieszanie reguły znaków z dodawaniem — „minus razy minus daje plus" dotyczy mnożenia i dzielenia; przy dodawaniu , bo idziemy w lewo dwa razy.
- Traktowanie zera jak liczby ujemnej — zero nie ma znaku i jest większe od każdej liczby ujemnej.
Karta wzorów
Temat: Liczby ujemne
Liczba przeciwna
liczba przeciwna do liczby przeciwnej to liczba wyjściowa
Suma liczb przeciwnych
liczby przeciwne znoszą się do zera
Odejmowanie jako dodawanie
odjąć liczbę to dodać liczbę do niej przeciwną
Odejmowanie liczby ujemnej
dwa minusy obok siebie dają plus
Znaki różne
iloczyn liczb o różnych znakach jest ujemny
Znaki jednakowe
iloczyn dwóch liczb ujemnych jest dodatni
