Na czym polega dodawanie w słupku?

Liczby zapisujemy jedna pod drugą tak, by jedności stały pod jednościami, dziesiątki pod dziesiątkami i tak dalej. Dodajemy kolumnami od prawej do lewej. Gdy suma w kolumnie przekroczy 9, na miejscu zapisujemy cyfrę jedności tej sumy, a dziesiątkę przenosimy do kolumny po lewej.

Co to jest przeniesienie?

To dziesiątka, która nie mieści się w bieżącej kolumnie i wędruje do następnej. W kolumnie jedności 8 + 6 = 14, więc zapisujemy 4, a 1 dopisujemy nad kolumną dziesiątek i doliczamy do jej sumy. Bez tego kroku wynik będzie zaniżony o 10, 100 lub więcej.

Co to jest pożyczka w odejmowaniu pisemnym?

Gdy cyfra odjemnej w kolumnie jest mniejsza od cyfry odjemnika, pożyczamy jedną jednostkę z kolumny po lewej. Bieżąca cyfra rośnie wtedy o 10, a sąsiednia maleje o 1. W 8 124 − 2 758 jedności: 4 jest mniejsze od 8, więc liczymy 14 − 8 = 6, a w kolumnie dziesiątek zostaje już nie 2, tylko 1.

Jak mnożyć pisemnie przez liczbę dwucyfrową?

Mnożymy najpierw przez cyfrę jedności, a potem przez cyfrę dziesiątek — i drugi wynik zapisujemy przesunięty o jedno miejsce w lewo, bo mnożymy przez dziesiątki, a nie przez jedności. Na koniec dodajemy oba iloczyny częściowe w słupku: 347 · 26 to 2 082 i 694 przesunięte, razem 9 022.

Jak wygląda algorytm dzielenia pisemnego?

Zapisujemy działanie w jednej linii: dzielna, dwukropek, dzielnik, znak równości — a wynik dopisujemy cyfra po cyfrze po znaku równości. Powtarzamy cztery kroki: dzielimy, mnożymy, odejmujemy, znosimy następną cyfrę. Bierzemy najbardziej lewy fragment dzielnej, który da się podzielić przez dzielnik, zapisujemy cyfrę ilorazu, mnożymy ją przez dzielnik, odejmujemy wynik pod dzielną, a do reszty znosimy kolejną cyfrę — aż cyfry się skończą.

Co zrobić, gdy dzielenie nie wychodzi równo?

To, co zostaje po zniesieniu ostatniej cyfry, jest resztą — mniejszą od dzielnika. Zapisujemy wtedy wynik jako iloraz i resztę albo prowadzimy dzielenie dalej za przecinkiem. Definicja reszty i wzór a = b · q + r są w lekcji o dzieleniu.

Poziom podstawowy

Działania pisemne

Gdy liczby są za duże, żeby policzyć je w pamięci, zapisujemy je w słupku — cyfra pod cyfrą, kolumnami. Poznaj cztery algorytmy pisemne: dodawanie z przeniesieniem, odejmowanie z pożyczką, mnożenie przez liczbę wielocyfrową i dzielenie pisemne krok po kroku.

Zanim zaczniesz

Ten temat opiera się na wcześniejszych zagadnieniach. Zanim zaczniesz, warto przerobić poniższe lekcje — dzięki nim wszystko pójdzie gładko:

DodawanieDodawanie łączy dwie lub więcej liczb w jedną — sumę. Poznaj nazwy składników, prawa dodawania (przemienność, łączność, element neutralny) i naucz się dodawać w słupku z przenoszeniem.
OdejmowanieOdejmowanie to działanie odwrotne do dodawania — od odjemnej odejmujemy odjemnik i otrzymujemy różnicę. Poznaj nazwy, własności, związek z dodawaniem i naucz się odejmować w słupku z pożyczaniem.
MnożenieMnożenie to skrócone dodawanie tego samego składnika. Poznaj nazwy czynników i iloczynu, prawa mnożenia (przemienność, łączność, rozdzielność), tabliczkę mnożenia oraz mnożenie w słupku.
DzielenieDzielenie to działanie odwrotne do mnożenia — dzielimy dzielną przez dzielnik i otrzymujemy iloraz. Poznaj nazwy, związek z mnożeniem, dzielenie z resztą oraz dlaczego nie wolno dzielić przez zero.

Gdzie się tego używa

Konkretne sytuacje, w których liczysz dokładnie tak, jak uczy ta lekcja:

Remont i zakupy materiałów
Płytki 34 zł za metr na 26 m² podłogi to 34 · 26 = 884 zł — rachunek, który w składzie budowlanym robi się na kartce przy ladzie, żeby sprawdzić, czy kwota z systemu się zgadza.
Rozliczenie wyjazdu
Grupa 4 osób dzieli koszt 492 zł: 492 : 4 = 123 zł na osobę. Dzielenie pisemne pokazuje po drodze, że reszty nie ma — a gdyby była, od razu wiadomo, ile złotych zostaje do dogadania.
Magazyn i inwentaryzacja
Stan otwarcia 8 124 sztuki minus 2 758 wydanych to 5 366 — cztery kolumny z pożyczką, których nikt nie policzy w pamięci, a które muszą się zgodzić co do sztuki z arkuszem spisu.
Egzamin i praca bez kalkulatora
Na egzaminie ósmoklasisty i na wielu testach zawodowych kalkulatora nie ma. Rachunek 478 + 356 = 834 trzeba wtedy wykonać w słupku — i to jest dokładnie ta sytuacja, do której algorytm pisemny został wymyślony.

Wszystkie wzory

Dodawanie z przeniesieniem
$\begin{array}{r} \overset{1}{4}\overset{1}{7}8 \\ +\;356 \\ \hline 834 \end{array}$
małe jedynki nad kolumną to przeniesienia
Odejmowanie z pożyczką
$\begin{array}{r} 8124 \\ \underline{-\;2758} \\ 5366 \end{array}$
pożyczamy dziesiątkę z kolumny po lewej
Mnożenie z iloczynami częściowymi
$\begin{array}{r} 347 \\ \times\;26 \\ \hline 2082 \\ \underline{694\phantom{0}} \\ 9022 \end{array}$
drugi iloczyn przesuwamy o jedno miejsce w lewo
Dzielenie pisemne
$\begin{array}{r} 492 : 4 = 123 \\ \underline{4}\phantom{92{}: 4 = 123} \\ 09\phantom{2{}: 4 = 123} \\ \phantom{0}\underline{8}\phantom{2{}: 4 = 123} \\ \phantom{0}12\phantom{{}: 4 = 123} \\ \phantom{0}\underline{12}\phantom{{}: 4 = 123} \\ \phantom{01}0\phantom{{}: 4 = 123} \end{array}$
dzielimy, mnożymy, odejmujemy, znosimy następną cyfrę

Dodawania $7 + 5$ nikt nie zapisuje — liczymy je w pamięci. Ale $478 + 356$ to już rachunek, w którym łatwo o pomyłkę, a $8124 - 2758$ tym bardziej. Dlatego duże liczby liczymy pisemnie: zapisujemy je jedna pod drugą, cyfra pod cyfrą, i wykonujemy działanie kolumnami.

Wszystkie cztery algorytmy pisemne opierają się na jednym pomyśle: rozbijamy trudne działanie na ciąg działań na pojedynczych cyfrach, których wynik znamy z pamięci.

Zasada wspólna: kolumny to rzędy wielkości

Zapisując liczby w słupku, ustawiamy je tak, żeby jedności stały pod jednościami, dziesiątki pod dziesiątkami, setki pod setkami. Kolumna nie jest ozdobą — każda z nich to jeden rząd wielkości, dlatego kolumn nie wolno przesunąć.

Dodawanie, odejmowanie i mnożenie prowadzimy od prawej do lewej, a dzielenie jako jedyne od lewej do prawej.

Dodawanie w słupku

Dodajemy kolumnami od prawej. Gdy suma w kolumnie wychodzi większa niż $9$ , na miejscu zostaje jej cyfra jedności, a dziesiątka wędruje do następnej kolumny jako przeniesienie — małą cyfrę zapisujemy nad nią.

\begin{array}{r} \overset{1}{4}\overset{1}{7}8 \\ +\;356 \\ \hline 834 \end{array}

Krok po kroku: jedności $8 + 6 = 14$ , więc piszemy $4$ i przenosimy $1$ . Dziesiątki $7 + 5 = 12$ , plus przeniesiona $1$ daje $13$ — piszemy $3$ i znów przenosimy $1$ . Setki $4 + 3 = 7$ , plus $1$ daje $8$ . Wynik: $834$ .

Dodaj pisemnie 2 675 + 1 948.

Odejmowanie w słupku

Odejmujemy również od prawej. Gdy cyfra odjemnej jest mniejsza od cyfry odjemnika, pożyczamy jedną jednostkę z kolumny po lewej: bieżąca cyfra rośnie o $10$ , a sąsiednia maleje o $1$ .

\begin{array}{r} 8124 \\ \underline{-\;2758} \\ 5366 \end{array}

Jedności: $4 < 8$ , więc pożyczka — $14 - 8 = 6$ , a dziesiątki spadają z $2$ do $1$ . Dziesiątki: $1 < 5$ , znów pożyczka — $11 - 5 = 6$ , a setki spadają z $1$ do $0$ . Setki: $0 < 7$ , kolejna pożyczka — $10 - 7 = 3$ , a tysiące spadają z $8$ do $7$ . Tysiące: $7 - 2 = 5$ . Wynik: $5366$ .

Sprawdzenie jest zawsze to samo co przy odejmowaniu w pamięci: $2758 + 5366$ musi dać $8124$ .

Mnożenie w słupku

Przez liczbę jednocyfrową mnożymy jednym przebiegiem. Przez wielocyfrową — tyle razy, ile ma ona cyfr, a każdy kolejny iloczyn częściowy przesuwamy o jedno miejsce w lewo, bo mnożymy już nie przez jedności, lecz przez dziesiątki.

\begin{array}{r} 347 \\ \times\;26 \\ \hline 2082 \\ \underline{694\phantom{0}} \\ 9022 \end{array}

Najpierw $347 \cdot 6 = 2082$ . Potem $347 \cdot 2 = 694$ — ale ta dwójka to dziesiątki, więc iloczyn wpisujemy przesunięty o jedno miejsce w lewo, co znaczy $6940$ . Na koniec dodajemy oba iloczyny w słupku: $2082 + 6940 = 9022$ .

To przesunięcie jest sensem całego algorytmu, a nie sztuczką graficzną: mnożenie przez $26$ rozbijamy na mnożenie przez $6$ i przez $20$ .

Dzielenie pisemne

Dzielenie jako jedyne prowadzimy od lewej. Zapisujemy je w jednej linii — dzielna, dwukropek, dzielnik, znak równości — a wynik dopisujemy cyfra po cyfrze za znakiem równości; kolejne odejmowania prowadzimy pod dzielną. Powtarzamy cztery kroki, aż skończą się cyfry dzielnej: dzielimy, mnożymy, odejmujemy, znosimy.

\begin{array}{r} 492 : 4 = 123 \\ \underline{4}\phantom{92{}: 4 = 123} \\ 09\phantom{2{}: 4 = 123} \\ \phantom{0}\underline{8}\phantom{2{}: 4 = 123} \\ \phantom{0}12\phantom{{}: 4 = 123} \\ \phantom{0}\underline{12}\phantom{{}: 4 = 123} \\ \phantom{01}0\phantom{{}: 4 = 123} \end{array}

Dzielimy — ile razy $4$ mieści się w $4$ ? Raz. Piszemy $1$ po znaku równości, jako pierwszą cyfrę wyniku.
Mnożymy — $1 \cdot 4 = 4$ , wpisujemy pod dzieloną cyfrą.
Odejmujemy — $4 - 4 = 0$ .
Znosimy następną cyfrę dzielnej, czyli $9$ : mamy $09$ .

I od nowa: $9 : 4$ to $2$ (dopisujemy $2$ obok jedynki), $2 \cdot 4 = 8$ , $9 - 8 = 1$ , znosimy $2$ i mamy $12$ . Dalej: $12 : 4 = 3$ , $3 \cdot 4 = 12$ , $12 - 12 = 0$ . Cyfry się skończyły, reszta wynosi $0$ , więc $492 : 4 = 123$ .

Podziel pisemnie 936 przez 6.

Gdy po zniesieniu ostatniej cyfry coś zostaje, jest to reszta — zawsze mniejsza od dzielnika. Definicję reszty i wzór $a = b \cdot q + r$ znajdziesz w lekcji o dzieleniu.

Ćwiczenia

Rozwiąż zestaw zadań — trudność rośnie z każdym kolejnym. Na końcu zobaczysz wynik i listę pomyłek do powtórki.

Zadanie 1 z 8Punkty: 0

687 + 854 =

Częste błędy

Przesunięte kolumny — jedności muszą stać pod jednościami; jedna kolumna w bok to błąd o cały rząd wielkości.
Zgubione przeniesienie — przeniesioną jedynkę trzeba doliczyć do następnej kolumny, a nie zostawić nad nią.
Pożyczka bez zmniejszenia sąsiada — jeśli po pożyczeniu nie zmniejszysz cyfry po lewej o $1$ , wynik będzie za duży.
Nieprzesunięty iloczyn częściowy — mnożąc przez cyfrę dziesiątek, przesuwasz wynik o jedno miejsce w lewo; bez tego $347 \cdot 26$ da $2776$ zamiast $9022$ .
Pominięte zero w ilorazie — jeśli po zniesieniu cyfry dzielnik się w niej nie mieści, do ilorazu wpisujemy $0$ i znosimy kolejną cyfrę; przeskoczenie tego kroku skraca wynik o jedną cyfrę.

Karta wzorów

Temat: Działania pisemne

Dodawanie z przeniesieniem
$\begin{array}{r} \overset{1}{4}\overset{1}{7}8 \\ +\;356 \\ \hline 834 \end{array}$
małe jedynki nad kolumną to przeniesienia
Odejmowanie z pożyczką
$\begin{array}{r} 8124 \\ \underline{-\;2758} \\ 5366 \end{array}$
pożyczamy dziesiątkę z kolumny po lewej
Mnożenie z iloczynami częściowymi
$\begin{array}{r} 347 \\ \times\;26 \\ \hline 2082 \\ \underline{694\phantom{0}} \\ 9022 \end{array}$
drugi iloczyn przesuwamy o jedno miejsce w lewo
Dzielenie pisemne
$\begin{array}{r} 492 : 4 = 123 \\ \underline{4}\phantom{92{}: 4 = 123} \\ 09\phantom{2{}: 4 = 123} \\ \phantom{0}\underline{8}\phantom{2{}: 4 = 123} \\ \phantom{0}12\phantom{{}: 4 = 123} \\ \phantom{0}\underline{12}\phantom{{}: 4 = 123} \\ \phantom{01}0\phantom{{}: 4 = 123} \end{array}$
dzielimy, mnożymy, odejmujemy, znosimy następną cyfrę

Najczęstsze pytania

Powiązane artykuły

Symbole plus, minus, razy i dzielenia oraz cyfry unoszące się w geometrycznej siatce, połączone szmaragdowymi liniami porządku działań, na tle kosmicznej mgławicy w fiolecie i magencie

Arytmetyka

Gramatyka arytmetyki — dlaczego kolejność działań to umowa

Symboli +, −, × i ÷ nikt nie wynalazł z dnia na dzień, a spór o 6 ÷ 2(1+2) dzieli internet do dziś. Oto dlaczego zapis działań jest ludzką umową, wyniki — absolutną prawdą, a dzielenia przez zero po prostu nie da się zdefiniować.

10 min