Ułamki zwykłe

Ułamek zwykły zapisuje część całości jako dwie liczby oddzielone kreską ułamkową: $\frac{a}{b}$, czyli „a przez b". Liczbę $a$ nad kreską nazywamy licznikiem, a liczbę $b$ pod kreską — mianownikiem. Mianownik mówi, na ile równych części podzielono całość, a licznik — ile z tych części bierzemy.

Na przykład $\frac{3}{4}$ to trzy z czterech równych części — jeśli podzielisz tabliczkę czekolady na 4 kawałki i zjesz 3, zjadłeś $\frac{3}{4}$ całości.

Ułamki równoważne

Ten sam kawałek całości można zapisać na wiele sposobów. Jeśli pomnożysz licznik i mianownik przez tę samą liczbę $k$, wartość ułamka się nie zmieni:

Na przykład:

To trzy zapisy tej samej połowy. Działanie w drugą stronę — dzielenie licznika i mianownika przez tę samą liczbę — nazywamy skracaniem i wracamy do niego niżej.

Dodawanie ułamków

Ułamki o tym samym mianowniku dodajemy, dodając same liczniki:

Gdy mianowniki są różne, najpierw sprowadzamy oba ułamki do wspólnego mianownika (np. iloczynu obu mianowników), a dopiero potem dodajemy:

Na przykład:

Odejmowanie ułamków

Odejmowanie działa dokładnie tak samo — zmienia się tylko znak między licznikami:

Ułamki o tym samym mianowniku odejmujemy od razu, $\frac{5}{9} - \frac{2}{9} = \frac{3}{9} = \frac{1}{3}$, a przy różnych mianownikach najpierw sprowadzamy je do wspólnego:

Ostatni krok to skrócenie przez $2$ — wynik odejmowania warto sprawdzić, dodając go do odjemnika: $\frac{7}{12} + \frac{1}{6} = \frac{7}{12} + \frac{2}{12} = \frac{9}{12} = \frac{3}{4}$. Zgadza się.

Mnożenie ułamków

Mnożenie ułamków jest prostsze niż dodawanie — nie trzeba wspólnego mianownika. Mnożymy liczniki między sobą i mianowniki między sobą:

Na przykład:

Ostatni krok to skrócenie wyniku przez $3$.

Dzielenie ułamków

Dzielenie przez ułamek sprowadza się do mnożenia — wystarczy odwrócić dzielnik, czyli zamienić w nim miejscami licznik z mianownikiem:

Ułamek $\frac{d}{c}$ nazywamy odwrotnością ułamka $\frac{c}{d}$; iloczyn liczby i jej odwrotności zawsze daje $1$, bo $\frac{c}{d} \cdot \frac{d}{c} = \frac{cd}{dc} = 1$. Dlatego dzielenie przez $\frac{c}{d}$ i mnożenie przez $\frac{d}{c}$ to jedno i to samo działanie.

Odwracamy zawsze drugi ułamek — ten, przez który dzielimy. Dzielenie ułamków, w odróżnieniu od dzielenia liczb naturalnych, potrafi zwiększyć wynik: $\frac{3}{4}$ podzielone przez $\frac{1}{2}$ daje $\frac{3}{2}$, bo pytamy „ile połówek mieści się w trzech czwartych".

Skracanie ułamków

Ułamek jest w postaci nieskracalnej, gdy licznik i mianownik nie mają już wspólnego dzielnika większego niż $1$. Żeby go tam sprowadzić, dzielimy oba przez ich największy wspólny dzielnik (NWD):

Na przykład $\mathrm{NWD}(18, 24) = 6$, więc:

A $\frac{3}{4}$ dalej się już nie skraca.

Liczby mieszane

Ułamek, którego licznik jest mniejszy od mianownika, nazywamy właściwym — jest mniejszy od całości. Gdy licznik jest większy lub równy mianownikowi, ułamek jest niewłaściwy i mieści w sobie co najmniej jedną całość. Taki ułamek można rozpisać na całość i resztę, czyli zapisać jako liczbę mieszaną:

Zapis $2\frac{3}{4}$ czytamy „dwa i trzy czwarte" — to suma, mimo że nie ma w niej znaku dodawania. Przejście w drugą stronę idzie wzorem:

Całość mnożymy przez mianownik i dodajemy licznik: $2\frac{3}{4} = \frac{2 \cdot 4 + 3}{4} = \frac{11}{4}$.

Do rachunków wygodniejsza jest zwykle postać niewłaściwa — mnożąc czy dzieląc liczby mieszane, najpierw zamieniamy je na ułamki niewłaściwe. Postać mieszana jest za to czytelniejsza w odpowiedzi: „$2\frac{3}{4}$ godziny" od razu mówi, że to niecałe trzy godziny, czego $\frac{11}{4}$ nie mówi.

Porównywanie ułamków

Który ułamek jest większy: $\frac{3}{5}$ czy $\frac{5}{8}$? Same liczniki i mianowniki niczego nie rozstrzygają — porównywać można dopiero równe części. Stąd dwa sposoby.

Pierwszy: sprowadzamy oba ułamki do wspólnego mianownika i porównujemy liczniki.

Drugi, szybszy, to mnożenie na krzyż — ta sama rachuba z pominięciem zapisywania mianownika:

Tu $3 \cdot 8 = 24$ i $5 \cdot 5 = 25$, więc znów $\frac{3}{5} < \frac{5}{8}$. Warunek $b, d > 0$ jest istotny: przy ujemnym mianowniku porównanie odwraca zwrot, dokładnie jak przy mnożeniu nierówności przez liczbę ujemną.

Dwa przypadki widać bez rachunku: przy równych mianownikach większy jest ten ułamek, który ma większy licznik ($\frac{5}{7} > \frac{3}{7}$), a przy równych licznikach — ten, który ma mniejszy mianownik ($\frac{3}{5} > \frac{3}{8}$, bo piąte części są większe od ósmych).

Częste błędy

• Dodawanie liczników i mianowników osobno — $\frac{1}{2} + \frac{1}{3}$ to nie $\frac{2}{5}$. Trzeba najpierw sprowadzić do wspólnego mianownika.
• Sprowadzanie do wspólnego mianownika przy mnożeniu — mnożenie ułamków go nie wymaga, to zbędny krok.
• Odwracanie pierwszego ułamka przy dzieleniu — w $\frac{3}{4} \div \frac{2}{5}$ odwracamy dzielnik, czyli $\frac{2}{5}$; odwrócenie $\frac{3}{4}$ daje zupełnie inną liczbę.
• Porównywanie ułamków po mianownikach — $\frac{3}{8}$ nie jest większe od $\frac{3}{5}$ tylko dlatego, że $8 > 5$; przy równych licznikach większy mianownik oznacza mniejsze części.
• Mnożenie liczb mieszanych „częściami" — $2\frac{1}{2} \cdot 3$ to nie $6\frac{1}{2}$; najpierw zamieniamy na $\frac{5}{2}$, a dopiero potem mnożymy, co daje $\frac{15}{2} = 7\frac{1}{2}$.
• Zostawienie ułamka nieskróconego — $\frac{6}{8}$ i $\frac{3}{4}$ to ta sama liczba, ale zadanie „skróć" wymaga postaci nieskracalnej.