Poziom zaawansowany

Potęga o wykładniku wymiernym

Wykładnik nie musi być liczbą całkowitą — zapis a^(m/n) oznacza pierwiastek n-tego stopnia z a do potęgi m. Poznaj wzór wiążący potęgowanie z pierwiastkowaniem, dziedzinę takiej potęgi, wykładnik ujemny wymierny i monotoniczność potęgowania.

Zanim zaczniesz

Ten temat opiera się na wcześniejszych zagadnieniach. Zanim zaczniesz, warto przerobić poniższe lekcje — dzięki nim wszystko pójdzie gładko:

Gdzie się tego używa

Konkretne sytuacje, w których liczysz dokładnie tak, jak uczy ta lekcja:

  • Kserokopiarka i format papieru
    Arkusze A mają stosunek boków √2 = 2^(1/2), dlatego powiększenie A4 do A3 ustawia się na 141% (bo 2^(1/2) ≈ 1,414), a pomniejszenie A3 do A4 na 71%. Dwa powiększenia o 141% dają dokładnie 200%, czyli 2^(1/2) · 2^(1/2) = 2.
  • Oszczędzanie i inwestycje
    Kapitał urósł przez 3 lata z 10 000 zł do 14 400 zł, czyli 1,44 raza. Średnioroczny mnożnik to 1,44^(1/3) ≈ 1,129, więc wzrost wynosił około 12,9% rocznie — a nie 44 : 3 ≈ 14,7%, bo procenty się nie dodają.
  • Strojenie instrumentów
    Oktawa dzieli się na 12 równych półtonów, więc jeden półton to mnożnik 2^(1/12) ≈ 1,0595. Od dźwięku a o częstotliwości 440 Hz kolejny półton ma 440 · 2^(1/12) ≈ 466,2 Hz, a po dwunastu takich krokach wraca dokładnie 880 Hz.
    Przelicz w konwerterze: Częstotliwość
  • Projektowanie kanalizacji
    Prędkość ścieków w rurze liczy się wzorem Manninga v = (1/n) · R^(2/3) · i^(1/2). Dla promienia hydraulicznego R = 0,125 m mamy R^(2/3) = 0,25, dla spadku i = 0,004 mamy i^(1/2) = 0,0632, więc przy n = 0,013 wychodzi v ≈ 1,2 m/s — dokładnie tyle, ile trzeba, żeby rura sama się przepłukiwała.

Wszystkie wzory

  • Wykładnik odwrotności

    a1n=an(a>0)a^{\frac{1}{n}} = \sqrt[n]{a} \quad (a > 0)

    pierwiastek n-tego stopnia zapisany jako potęga

  • Wykładnik wymierny

    amn=amn=(an)m(a>0)a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m} = \left(\sqrt[n]{a}\right)^m \quad (a > 0)

    mianownik to stopień pierwiastka, licznik to potęga

  • Wykładnik ujemny wymierny

    a−mn=1amn=1amna^{-\frac{m}{n}} = \frac{1}{a^{\frac{m}{n}}} = \frac{1}{\sqrt[n]{a^m}}

    minus w wykładniku odwraca, mianownik pierwiastkuje

  • Prawa działań

    ar⋅as=ar+s(ar)s=ar⋅sa^{r} \cdot a^{s} = a^{r+s} \qquad \left(a^{r}\right)^{s} = a^{r \cdot s}

    obowiązują dla wykładników wymiernych bez zmian

  • Monotoniczność dla podstawy większej od 1

    a>1 i r<s ⇒ ar<asa > 1 \ \text{i} \ r < s \ \Rightarrow \ a^{r} < a^{s}

    większy wykładnik daje większą potęgę

  • Monotoniczność dla podstawy z przedziału (0; 1)

    0<a<1 i r<s ⇒ ar>as0 < a < 1 \ \text{i} \ r < s \ \Rightarrow \ a^{r} > a^{s}

    kierunek się odwraca

Lekcja o potęgach pokazała wykładniki całkowite, a lekcja o pierwiastkach — zapis an=a1n\sqrt[n]{a} = a^{\frac{1}{n}}. Zostało pytanie, które łączy oba tematy: co znaczy 8238^{\frac{2}{3}}, czyli wykładnik będący dowolnym ułamkiem?

Od pierwiastka do potęgi

Odpowiedzi nie wybieramy — wymuszają ją prawa działań, które mają nadal obowiązywać. Skoro (ar)s=ar⋅s(a^r)^s = a^{r \cdot s}, to liczba amna^{\frac{m}{n}} podniesiona do potęgi nn musi dać

(amn)n=amn⋅n=am\left(a^{\frac{m}{n}}\right)^n = a^{\frac{m}{n} \cdot n} = a^m

A liczba, która po podniesieniu do potęgi nn daje ama^m, to z definicji pierwiastek nn-tego stopnia z ama^m. Stąd jedyny możliwy wzór:

amn=amn=(an)m(a>0)a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m} = \left(\sqrt[n]{a}\right)^m \quad (a > 0)

Czyta się go krótko: mianownik to stopień pierwiastka, licznik to potęga. Kolejność obu działań nie ma znaczenia, ale w rachunku pamięciowym opłaca się najpierw pierwiastkować — liczby są wtedy mniejsze:

823=(83)2=22=48^{\frac{2}{3}} = \left(\sqrt[3]{8}\right)^2 = 2^2 = 4

Druga droga daje to samo, tylko przez 643\sqrt[3]{64}.

Oblicz 32^(3/5) oraz 81^(3/4).

Dlaczego podstawa musi być dodatnia

Zastrzeżenie a>0a > 0 nie jest formalnością. Ten sam ułamek da się zapisać na wiele sposobów: 13=26\tfrac{1}{3} = \tfrac{2}{6}. Gdyby wolno było wziąć podstawę ujemną, dostalibyśmy

(−8)13=−83=−2ale(−8)26=646=2(-8)^{\frac{1}{3}} = \sqrt[3]{-8} = -2 \qquad \text{ale} \qquad (-8)^{\frac{2}{6}} = \sqrt[6]{64} = 2

czyli dwie różne wartości tej samej potęgi. Żeby wzory pozostały spójne, dla wykładnika wymiernego umawiamy się na podstawę dodatnią. Pierwiastki nieparzystego stopnia z liczb ujemnych nadal istnieją — po prostu zapisujemy je znakiem pierwiastka, a nie potęgą.

Wykładnik ujemny wymierny

Minus w wykładniku działa dokładnie tak, jak działał dla liczb całkowitych — odwraca:

a−mn=1amn=1amna^{-\frac{m}{n}} = \frac{1}{a^{\frac{m}{n}}} = \frac{1}{\sqrt[n]{a^m}}

Dwie informacje w jednym wykładniku: znak decyduje, czy wynik trafia do licznika, czy do mianownika, a ułamek — jaki pierwiastek i jaka potęga:

16−34=1(164)3=123=1816^{-\frac{3}{4}} = \frac{1}{\left(\sqrt[4]{16}\right)^3} = \frac{1}{2^3} = \frac{1}{8}

Wszystkie prawa działań obowiązują bez żadnej zmiany:

ar⋅as=ar+saras=ar−s(ar)s=ar⋅sa^{r} \cdot a^{s} = a^{r+s} \qquad \frac{a^{r}}{a^{s}} = a^{r-s} \qquad \left(a^{r}\right)^{s} = a^{r \cdot s}

To jest właściwy powód, dla którego w ogóle wprowadza się ten zapis: zamiast osobnych reguł dla pierwiastków wystarczy jeden zestaw praw, ten sam co dla potęg.

Zapisz jedną potęgą: ³√a · √a.

Monotoniczność potęgowania

Potęgi o tej samej podstawie da się porównywać bez obliczania, patrząc wyłącznie na wykładniki. Dla podstawy większej od 11 większy wykładnik daje większą potęgę:

a>1 i r<s⇒ar<asa > 1 \ \text{i} \ r < s \quad\Rightarrow\quad a^{r} < a^{s}
0123452^(1/2)2^12^(3/2)2^2
Dla podstawy 2 rosnący wykładnik przesuwa potęgę w prawo — także między liczbami całkowitymi.

Dla podstawy z przedziału (0;1)(0; 1) kierunek się odwraca, bo mnożenie przez liczbę mniejszą od jedynki zmniejsza:

0<a<1 i r<s⇒ar>as0 < a < 1 \ \text{i} \ r < s \quad\Rightarrow\quad a^{r} > a^{s}
00,250,50,7510,5^(1/2)0,5^10,5^(3/2)0,5^2
Dla podstawy 0,5 ten sam wzrost wykładnika przesuwa potęgę w lewo, ku zeru.

Przy ustalonym wykładniku dodatnim porównanie idzie po podstawach i jest zgodne z intuicją:

0<a<b i r>0⇒ar<br0 < a < b \ \text{i} \ r > 0 \quad\Rightarrow\quad a^{r} < b^{r}

Dlatego 73<93\sqrt[3]{7} < \sqrt[3]{9}, a 523<6235^{\frac{2}{3}} < 6^{\frac{2}{3}} — bez sięgania po kalkulator.

Ćwiczenia

Rozwiąż zestaw zadań — trudność rośnie z każdym kolejnym. Na końcu zobaczysz wynik i listę pomyłek do powtórki.

Zadanie 1 z 8Punkty: 0
25^(1/2) =

Częste błędy

  • Mylenie licznika z mianownikiem — w amna^{\frac{m}{n}} mianownik jest stopniem pierwiastka. 8238^{\frac{2}{3}} to 823=4\sqrt[3]{8^2} = 4, a nie 832\sqrt[2]{8^3}.
  • Podstawa ujemna — (−8)13(-8)^{\frac{1}{3}} nie jest potęgą o wykładniku wymiernym; dla takiego wykładnika wymagamy a>0a > 0.
  • Traktowanie ujemnego wykładnika jako ujemnego wyniku — 16−34=1816^{-\frac{3}{4}} = \tfrac{1}{8} jest liczbą dodatnią. Minus odwraca, a nie zmienia znaku.
  • Dodawanie wykładników przy różnych podstawach — 212⋅3122^{\frac{1}{2}} \cdot 3^{\frac{1}{2}} nie jest potęgą o jednej podstawie; tu działa (a⋅b)r=ar⋅br(a \cdot b)^r = a^r \cdot b^r, czyli 6\sqrt{6}.
  • Odwracanie monotoniczności — dla podstawy mniejszej od 11 większy wykładnik daje mniejszą potęgę; sprawdzenie na 0,52<0,510{,}5^2 < 0{,}5^1 zajmuje sekundę.

Karta wzorów

Temat: Potęga wymierna

  • Wykładnik odwrotności

    a1n=an(a>0)a^{\frac{1}{n}} = \sqrt[n]{a} \quad (a > 0)

    pierwiastek n-tego stopnia zapisany jako potęga

  • Wykładnik wymierny

    amn=amn=(an)m(a>0)a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m} = \left(\sqrt[n]{a}\right)^m \quad (a > 0)

    mianownik to stopień pierwiastka, licznik to potęga

  • Wykładnik ujemny wymierny

    a−mn=1amn=1amna^{-\frac{m}{n}} = \frac{1}{a^{\frac{m}{n}}} = \frac{1}{\sqrt[n]{a^m}}

    minus w wykładniku odwraca, mianownik pierwiastkuje

  • Prawa działań

    ar⋅as=ar+s(ar)s=ar⋅sa^{r} \cdot a^{s} = a^{r+s} \qquad \left(a^{r}\right)^{s} = a^{r \cdot s}

    obowiązują dla wykładników wymiernych bez zmian

  • Monotoniczność dla podstawy większej od 1

    a>1 i r<s ⇒ ar<asa > 1 \ \text{i} \ r < s \ \Rightarrow \ a^{r} < a^{s}

    większy wykładnik daje większą potęgę

  • Monotoniczność dla podstawy z przedziału (0; 1)

    0<a<1 i r<s ⇒ ar>as0 < a < 1 \ \text{i} \ r < s \ \Rightarrow \ a^{r} > a^{s}

    kierunek się odwraca

0123452^(1/2)2^12^(3/2)2^2
Podstawa 2: im większy wykładnik, tym dalej w prawo leży potęga — także wtedy, gdy wykładnik jest ułamkiem.
00,250,50,7510,5^(1/2)0,5^10,5^(3/2)0,5^2
Podstawa 0,5: ten sam wzrost wykładnika przesuwa potęgę w lewo — dla podstawy mniejszej od 1 kierunek się odwraca.

Najczęstsze pytania

Powiązane artykuły

Kreska ułamkowa i znak procentu jako geometryczne formy oraz koło podzielone na równe wycinki niczym orbita, na tle kosmicznej mgławicy w fiolecie i magencie
Liczby

Procent to ułamek w przebraniu — trzy zapisy jednej liczby

1/2, 0,5 i 50% to nie trzy różne rzeczy, tylko trzy sposoby zapisania tej samej liczby. Oto skąd wzięła się kreska ułamkowa, przecinek i znak %, dlaczego 1/3 nie kończy się nigdy, czemu +20% i −20% nie wraca do punktu wyjścia i dlaczego ułamki są pierwszym poważnym progiem szkolnej matematyki.

11 min