Co to jest liczba pierwsza?

Liczba naturalna większa od 1, która ma dokładnie dwa dzielniki: jedynkę i samą siebie. Pierwsze liczby pierwsze to 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29.

Dlaczego 1 nie jest liczbą pierwszą?

Bo ma tylko jeden dzielnik — samą siebie. Gdyby uznać ją za pierwszą, rozkład na czynniki pierwsze przestałby być jedyny: 6 = 2 · 3, ale też 1 · 2 · 3, 1 · 1 · 2 · 3 i tak dalej. Wykluczenie jedynki jest tym, co ratuje podstawowe twierdzenie arytmetyki.

Jak sprawdzić, czy liczba jest pierwsza?

Wystarczy szukać dzielników do pierwiastka z tej liczby. Jeśli n jest złożona, ma dzielnik nie większy niż √n. Dla 91 sprawdzamy 2, 3, 5, 7 (bo 10² = 100 > 91) i znajdujemy 7: 91 = 7 · 13, więc 91 nie jest pierwsza.

Co to jest rozkład na czynniki pierwsze?

Zapisanie liczby jako iloczynu samych liczb pierwszych, np. 84 = 2² · 3 · 7. Podstawowe twierdzenie arytmetyki mówi, że taki rozkład istnieje dla każdej liczby większej od 1 i jest jedyny z dokładnością do kolejności czynników.

Ile jest liczb pierwszych?

Nieskończenie wiele — udowodnił to Euklides. Gdyby lista wszystkich liczb pierwszych była skończona, liczba równa ich iloczynowi powiększonemu o 1 nie dzieliłaby się przez żadną z nich, co przeczy założeniu.

Poziom średni

Liczby pierwsze

Q: Czy 2 jest liczbą pierwszą?

Tak — i jest jedyną parzystą liczbą pierwszą. Każda inna liczba parzysta dzieli się przez 2, więc ma co najmniej trzy dzielniki i jest złożona.

Liczba pierwsza ma dokładnie dwa dzielniki: jeden i samą siebie. Poznaj definicję, sito Eratostenesa, rozkład na czynniki pierwsze i podstawowe twierdzenie arytmetyki.

Zanim zaczniesz

Ten temat opiera się na wcześniejszych zagadnieniach. Zanim zaczniesz, warto przerobić poniższe lekcje — dzięki nim wszystko pójdzie gładko:

NWD i NWWNajwiększy wspólny dzielnik i najmniejsza wspólna wielokrotność dwóch liczb. Poznaj cechy podzielności, metodę wypisywania dzielników, algorytm Euklidesa i wzór wiążący NWD z NWW.

Wszystkie wzory

Definicja liczby pierwszej
$p \text{ jest pierwsza} \iff p > 1 \text{ i } p \text{ ma dokładnie 2 dzielniki}$
dzielnikami są tylko 1 i sama liczba
Podstawowe twierdzenie arytmetyki
$n = p_1^{a_1} \cdot p_2^{a_2} \cdot \ldots \cdot p_k^{a_k}$
rozkład na czynniki pierwsze jest jedyny
Test pierwszości
$n \text{ złożona} \implies \exists\, p \le \sqrt{n} : p \mid n$
wystarczy sprawdzić dzielniki do pierwiastka z n
NWD i NWW z rozkładu
$\text{NWD} = \prod p_i^{\min(a_i, b_i)}, \quad \text{NWW} = \prod p_i^{\max(a_i, b_i)}$
najmniejsze wykładniki dla NWD, największe dla NWW

Liczba pierwsza to liczba naturalna większa od $1$ , która ma dokładnie dwa dzielniki: jedynkę i samą siebie. Liczba większa od $1$ , która ma więcej dzielników, jest złożona.

p \text{ jest pierwsza} \iff p > 1 \text{ i } p \text{ ma dokładnie 2 dzielniki}

Początek listy wygląda tak:

2, \; 3, \; 5, \; 7, \; 11, \; 13, \; 17, \; 19, \; 23, \; 29, \; 31, \; 37 \ldots

Dwa przypadki brzegowe warto zapamiętać osobno. Jedynka nie jest pierwsza — ma tylko jeden dzielnik. Dwójka jest pierwsza i jest jedyną parzystą liczbą pierwszą: każda inna liczba parzysta dzieli się przez $2$ , więc ma co najmniej trzy dzielniki.

Liczb pierwszych jest nieskończenie wiele — Euklides zauważył, że gdyby lista była skończona, to liczba równa iloczynowi wszystkich jej elementów powiększonemu o $1$ nie dzieliłaby się przez żadną z nich.

Sito Eratostenesa

Najstarszy sposób na wypisanie liczb pierwszych: zapisujemy liczby od $2$ do $n$ , po czym po kolei wykreślamy wielokrotności każdej liczby, która przetrwała. Zostają same liczby pierwsze.

Dla $n = 30$ : zostawiamy $2$ i wykreślamy $4, 6, 8, \ldots$ ; zostawiamy $3$ i wykreślamy $9, 15, 21, 27$ ; zostawiamy $5$ i wykreślamy $25$ . Nietknięte pozostają:

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29

Test pierwszości — do pierwiastka

Żeby sprawdzić jedną liczbę, nie trzeba sita. Wystarczy szukać dzielników do pierwiastka:

n \text{ złożona} \implies \exists\, p \le \sqrt{n} : p \mid n

Dlaczego? Bo jeśli $n = a \cdot b$ i oba czynniki byłyby większe od $\sqrt{n}$ , ich iloczyn przekroczyłby $n$ . Zawsze więc mniejszy z czynników mieści się poniżej pierwiastka.

Czy 91 jest liczbą pierwszą?

Rozkład na czynniki pierwsze

Każdą liczbę naturalną większą od $1$ można zapisać jako iloczyn liczb pierwszych — i to tylko na jeden sposób (z dokładnością do kolejności czynników). To podstawowe twierdzenie arytmetyki:

n = p_1^{a_1} \cdot p_2^{a_2} \cdot \ldots \cdot p_k^{a_k}

Liczby pierwsze są więc „atomami" arytmetyki: każda liczba jest z nich zbudowana i każda w dokładnie jeden sposób.

Rozkład znajdujemy, dzieląc przez kolejne liczby pierwsze, zaczynając od najmniejszej:

Rozłóż 84 na czynniki pierwsze

NWD i NWW z rozkładu

Rozkład na czynniki daje trzecią — obok wypisywania dzielników i algorytmu Euklidesa — metodę liczenia NWD i NWW. Dla wspólnych czynników pierwszych bierzemy wykładniki: najmniejsze dla NWD i największe dla NWW.

\text{NWD} = \prod p_i^{\min(a_i, b_i)}, \qquad \text{NWW} = \prod p_i^{\max(a_i, b_i)}

Policz NWD i NWW liczb 84 i 90 z rozkładu

Ćwiczenia

Rozwiąż zestaw zadań — trudność rośnie z każdym kolejnym. Na końcu zobaczysz wynik i listę pomyłek do powtórki.

Zadanie 1 z 8Punkty: 0

najmniejszy dzielnik pierwszy liczby 10

Częste błędy

Uznawanie $1$ za liczbę pierwszą — ma jeden dzielnik, a definicja wymaga dokładnie dwóch.
Wykluczanie $2$ jako „parzystej" — parzystość nie przeszkadza; $2$ jest pierwsza, tylko jako jedyna liczba parzysta.
Sprawdzanie dzielników aż do $n$ — wystarczy do $\sqrt{n}$ , co skraca pracę wielokrotnie.
Zostawianie w rozkładzie liczby złożonej — $84 = 4 \cdot 21$ to jeszcze nie rozkład na czynniki pierwsze; trzeba rozłożyć dalej: $2^2 \cdot 3 \cdot 7$ .

Karta wzorów

Temat: Liczby pierwsze

Definicja liczby pierwszej
$p \text{ jest pierwsza} \iff p > 1 \text{ i } p \text{ ma dokładnie 2 dzielniki}$
dzielnikami są tylko 1 i sama liczba
Podstawowe twierdzenie arytmetyki
$n = p_1^{a_1} \cdot p_2^{a_2} \cdot \ldots \cdot p_k^{a_k}$
rozkład na czynniki pierwsze jest jedyny
Test pierwszości
$n \text{ złożona} \implies \exists\, p \le \sqrt{n} : p \mid n$
wystarczy sprawdzić dzielniki do pierwiastka z n
NWD i NWW z rozkładu
$\text{NWD} = \prod p_i^{\min(a_i, b_i)}, \quad \text{NWW} = \prod p_i^{\max(a_i, b_i)}$
najmniejsze wykładniki dla NWD, największe dla NWW

Najczęstsze pytania

Powiązane artykuły

Kreska ułamkowa i znak procentu jako geometryczne formy oraz koło podzielone na równe wycinki niczym orbita, na tle kosmicznej mgławicy w fiolecie i magencie

Liczby

Procent to ułamek w przebraniu — trzy zapisy jednej liczby

1/2, 0,5 i 50% to nie trzy różne rzeczy, tylko trzy sposoby zapisania tej samej liczby. Oto skąd wzięła się kreska ułamkowa, przecinek i znak %, dlaczego 1/3 nie kończy się nigdy, czemu +20% i −20% nie wraca do punktu wyjścia i dlaczego ułamki są pierwszym poważnym progiem szkolnej matematyki.

11 min