Wykresy funkcji trygonometrycznych

Sinus i cosinus przypisują liczbę każdemu kątowi, a nie tylko kątom z trójkąta. To znaczy, że są funkcjami — a każdą funkcję można narysować.

Koło rozwinięte w falę

Wyobraź sobie punkt wędrujący po kole jednostkowym. Na osi poziomej odkładamy kąt, na pionowej — wysokość punktu, czyli jego rzędną. Powstaje wykres funkcji $y = \sin x$.

Wysokość rośnie od $0$ (kąt $0$) do $1$ (kąt $\frac{\pi}{2}$), wraca do $0$ (kąt $\pi$), spada do $-1$ (kąt $\frac{3\pi}{2}$) i wraca do zera po pełnym obrocie. Potem wszystko powtarza się bez końca — bo punkt na okręgu też zaczyna kolejne okrążenie.

Oś argumentów jest wyskalowana w radianach — stąd podziałka $\frac{\pi}{2}$, $\pi$, $\frac{3\pi}{2}$ zamiast $1, 2, 3$. Jeżeli wolisz myśleć w stopniach, przelicz je konwerterem kątów: $\pi$ to $180^\circ$, a $2\pi$ — pełny obrót.

Okres, amplituda, zbiór wartości

Trzy własności widać na wykresie od razu.

Okres to długość jednego pełnego przebiegu, po którym wykres się powtarza. Dla sinusa i cosinusa wynosi $2\pi$, bo tyle trwa jeden obrót po okręgu:

Amplituda to połowa odległości między najwyższą a najniższą wartością — dla obu funkcji równa $1$, czyli promieniowi koła jednostkowego.

Zbiór wartości to przedział od $-1$ do $1$. Wykres nigdy nie wychodzi poza poziome linie $y = 1$ i $y = -1$, bo współrzędna punktu na okręgu o promieniu $1$ nie może być większa.

Cosinus to przesunięty sinus

Oba wykresy mają identyczny kształt. Różnią się tylko położeniem: cosinus startuje z wartości $1$, sinus — z zera.

Wyjaśnienie jest na kole jednostkowym: cosinus mierzy ruch punktu w poziomie, sinus — w pionie. To ten sam obrót oglądany z dwóch prostopadłych kierunków, więc jeden przebieg wyprzedza drugi o $90^\circ$. W fizyce mówi się, że fale są przesunięte w fazie.

Miejsca zerowe rozkładają się na przemian: sinus zeruje się w $x = k\pi$, cosinus w $x = \frac{\pi}{2} + k\pi$ — dokładnie tam, gdzie ten drugi osiąga wartość skrajną.

Wykres tangensa

Tangens jest ilorazem, więc jego wykres wygląda zupełnie inaczej:

Trzy różnice wobec sinusoidy:

• Okres wynosi $\pi$, a nie $2\pi$ — wykres powtarza się dwa razy częściej: $\operatorname{tg}(x + \pi) = \operatorname{tg} x$.
• Zbiór wartości to wszystkie liczby rzeczywiste — tangens nie jest ograniczony ani z góry, ani z dołu.
• Wykres ma asymptoty — pionowe proste, do których gałęzie się zbliżają, nigdy ich nie dotykając.

Asymptoty stoją tam, gdzie cosinus się zeruje:

Dzielenie przez zero jest niewykonalne, więc $\operatorname{tg} 90^\circ$ nie istnieje — to nie jest „bardzo duża liczba”, tylko brak wartości. Im bliżej $90^\circ$ podchodzimy, tym większe wartości tangens przyjmuje: $\operatorname{tg} 89^\circ \approx 57$, $\operatorname{tg} 89{,}9^\circ \approx 573$. Rosną bez ograniczeń, ale samego $90^\circ$ nigdy nie osiągają.

Gdzie widać te wykresy

Sinusoida nie jest szkolnym wymysłem — to kształt, który przybiera niemal każde zjawisko powtarzalne:

• napięcie w gniazdku — prąd zmienny o częstotliwości $50\,\text{Hz}$ zmienia się dokładnie sinusoidalnie;
• dźwięk — czysty ton to fala sinusoidalna; jej częstotliwość słyszymy jako wysokość, amplitudę jako głośność;
• pływy morskie, wahadło, drgania sprężyny — wszystkie opisuje ta sama funkcja;
• sygnał radiowy — fala nośna to sinusoida, na którą „nakłada się” informację.

Analiza Fouriera idzie krok dalej: dowolny przebieg okresowy — nawet kanciasty przebieg cyfrowy — da się zapisać jako suma sinusów o różnych częstotliwościach. To na niej stoi kompresja dźwięku i obrazu.

To, jak zmiana wzoru na $y = a \sin(bx + c)$ rozciąga, ściska i przesuwa te wykresy, należy już do przekształceń funkcji — wykłada je przekształcenia wykresu funkcji w dziale o funkcjach i analizie.

Zadania

Zadania sprawdzają to, co czytasz z samego wykresu: wartość funkcji dla kąta szczególnego — również dla kąta ujemnego i dla takiego po pełnym obrocie, bo właśnie o tym mówi okresowość. Wpisz wartość dokładną, np. √2/2. Zamiany stopni na radiany tutaj nie odpytujemy — tę miarę wykłada i ćwiczy kolejny temat: miara łukowa i radiany.

Częste błędy

• Okres tangensa podany jako $2\pi$ — tangens powtarza się co $\pi$.
• Asymptota potraktowana jak miejsce zerowe — w $x = \frac{\pi}{2}$ tangens nie ma wartości, a nie wartość zero.
• $\operatorname{tg} 90^\circ$ zapisane jako $\infty$ — funkcja nie ma tam wartości; nieskończoność nie jest liczbą.
• Oś wyskalowana w stopniach przy wzorze w radianach — jeżeli na osi stoi $\pi$, argumentem jest radian.
• Sinus i cosinus zamienione miejscami — wykres startujący z wartości $1$ dla $x = 0$ to cosinus.
• Odczyt wartości spoza przedziału $[-1, 1]$ — dla sinusa i cosinusa taka wartość nie istnieje.