Jak brzmi twierdzenie sinusów?

W dowolnym trójkącie stosunek długości boku do sinusa kąta leżącego naprzeciw niego jest taki sam dla wszystkich trzech par: a/sin α = b/sin β = c/sin γ. Ten wspólny stosunek równa się 2R, gdzie R to promień okręgu opisanego na trójkącie.

Jak brzmi twierdzenie cosinusów?

a² = b² + c² − 2bc·cos α, gdzie α jest kątem zawartym między bokami b i c. Analogiczne wzory zachodzą dla pozostałych boków — wystarczy przestawić litery.

Kiedy stosować twierdzenie sinusów, a kiedy cosinusów?

Twierdzenia sinusów używamy, gdy znamy bok wraz z kątem leżącym naprzeciw niego (dwa kąty i bok albo dwa boki i kąt naprzeciw jednego z nich). Twierdzenia cosinusów — gdy znamy dwa boki i kąt między nimi albo wszystkie trzy boki.

Jak obliczyć kąt, znając trzy boki trójkąta?

Przekształcamy twierdzenie cosinusów: cos α = (b² + c² − a²) / (2bc), a potem odczytujemy kąt funkcją odwrotną (arccos). Jeśli wynik wyjdzie ujemny, kąt jest rozwarty — to normalne i nie oznacza błędu.

Czy twierdzenie sinusów może dać dwie odpowiedzi?

Tak, w przypadku dwóch boków i kąta leżącego naprzeciw krótszego z nich (tzw. przypadek SSA). Ponieważ sin α = sin(180° − α), ta sama wartość sinusa opisuje kąt ostry i rozwarty. Trzeba wtedy sprawdzić oba warianty i odrzucić ten, w którym suma kątów przekroczyłaby 180°.

Czy te twierdzenia działają w trójkącie prostokątnym?

Tak, oba działają w każdym trójkącie. W prostokątnym zwykle jednak szybciej sięgnąć po definicje sinusa i cosinusa albo po twierdzenie Pitagorasa — dają ten sam wynik mniejszym nakładem rachunków.

Do czego wykorzystuje się te twierdzenia w praktyce?

Do triangulacji: w geodezji, nawigacji i pomiarach terenowych wyznacza się odległość, której nie da się zmierzyć bezpośrednio, mierząc bazę i dwa kąty. Na tej samej zasadzie liczy się wysokość góry, szerokość rzeki czy odległość statku od brzegu.

Poziom zaawansowany

Twierdzenie sinusów i cosinusów

Q: Dlaczego twierdzenie cosinusów nazywa się uogólnieniem twierdzenia Pitagorasa?

Bo dla α = 90° mamy cos 90° = 0, więc składnik −2bc·cos α znika i zostaje a² = b² + c². Twierdzenie Pitagorasa jest więc szczególnym przypadkiem twierdzenia cosinusów, a wyraz z cosinusem to poprawka na to, o ile kąt różni się od prostego.

Twierdzenie sinusów i twierdzenie cosinusów przenoszą trygonometrię na dowolny trójkąt — także taki bez kąta prostego. Zobacz, które z nich wybrać do danych z zadania, dlaczego twierdzenie cosinusów uogólnia Pitagorasa i kiedy rozwiązania są dwa.

Zanim zaczniesz

Ten temat opiera się na wcześniejszych zagadnieniach. Zanim zaczniesz, warto przerobić poniższe lekcje — dzięki nim wszystko pójdzie gładko:

Sinus, cosinus i tangensSinus, cosinus i tangens to trzy stosunki boków trójkąta prostokątnego. Zobacz, dlaczego zależą wyłącznie od kąta, skąd biorą się dokładne wartości dla 30°, 45° i 60° oraz jak wyznaczyć bok, którego nie da się zmierzyć.
KątyKąt mierzymy w stopniach: ostry poniżej 90°, prosty równo 90°, rozwarty powyżej. Poznaj rodzaje kątów, kąty dopełniające i przyległe oraz najważniejszą regułę geometrii płaskiej — suma kątów w trójkącie zawsze wynosi 180°.

Wszystkie wzory

Twierdzenie sinusów
$\frac{a}{\sin \alpha} = \frac{b}{\sin \beta} = \frac{c}{\sin \gamma}$
bok i kąt leżący naprzeciw niego — zawsze w parze
Bok z twierdzenia sinusów
$b = \frac{a \cdot \sin \beta}{\sin \alpha}$
proporcja przekształcona względem szukanego boku
Twierdzenie cosinusów
$a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos \alpha$
α to kąt między bokami b i c
Kąt z trzech boków
$\cos \alpha = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}$
twierdzenie cosinusów przekształcone względem kąta
Suma kątów
$\alpha + \beta + \gamma = 180^\circ$
trzeci kąt zawsze z dwóch pozostałych

Sinus, cosinus i tangens zdefiniowaliśmy w trójkącie prostokątnym. Większość trójkątów w zadaniach i w terenie kąta prostego nie ma — a mimo to da się w nich policzyć brakujący bok i brakujący kąt. Służą do tego dwa twierdzenia.

Oznaczenia

Bok a leży naprzeciw kąta α, bok b naprzeciw β, bok c naprzeciw γ. Ta para „bok i kąt naprzeciw niego” jest kluczem do obu twierdzeń.

Umowa jest prosta: mała litera to bok leżący naprzeciw kąta o tej samej literze greckiej. Do tego zawsze mamy do dyspozycji sumę kątów:

\alpha + \beta + \gamma = 180^\circ

Dlatego znając dwa kąty, trzeci dostajemy za darmo.

Twierdzenie sinusów

\frac{a}{\sin \alpha} = \frac{b}{\sin \beta} = \frac{c}{\sin \gamma}

Bok i sinus kąta leżącego naprzeciw niego są proporcjonalne: większy bok leży naprzeciw większego kąta. Wspólny stosunek ma zresztą sens geometryczny — równa się $2R$ , gdzie $R$ to promień okręgu opisanego na trójkącie.

Twierdzenia używamy wtedy, gdy w danych występuje pełna para: bok razem z kątem naprzeciw niego.

b = \frac{a \cdot \sin \beta}{\sin \alpha}

W trójkącie a = 10 cm, α = 40°, β = 65°. Oblicz bok b (do 0,1 cm).

Twierdzenie cosinusów

a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos \alpha

Tutaj $\alpha$ jest kątem zawartym między bokami $b$ i $c$ . Twierdzenia używamy, gdy nie ma pełnej pary bok–kąt: dane to dwa boki i kąt między nimi albo trzy boki.

Zwróć uwagę na budowę wzoru: pierwsze dwa składniki to twierdzenie Pitagorasa, a trzeci jest poprawką. Dla $\alpha = 90^\circ$ mamy $\cos 90^\circ = 0$ , więc poprawka znika:

a^2 = b^2 + c^2

Twierdzenie Pitagorasa jest więc szczególnym przypadkiem twierdzenia cosinusów. Dla kąta ostrego cosinus jest dodatni i poprawka zmniejsza $a^2$ ; dla rozwartego — cosinus jest ujemny, minus razy minus daje plus i bok naprzeciw robi się dłuższy. Dokładnie tak, jak podpowiada rysunek.

W trójkącie b = 3 cm, c = 8 cm, a kąt między nimi α = 60°. Oblicz bok a.

Boki trójkąta mają 5 cm, 7 cm i 8 cm. Czy trójkąt jest ostrokątny?

Jak wybrać twierdzenie

dane	twierdzenie
dwa kąty i bok	sinusów (trzeci kąt z sumy $180^\circ$ )
dwa boki i kąt naprzeciw jednego z nich	sinusów (uwaga: możliwe dwa rozwiązania)
dwa boki i kąt między nimi	cosinusów
trzy boki	cosinusów (przekształcone względem kąta)

Reguła w jednym zdaniu: jest pełna para bok–kąt naprzeciw → sinusów; nie ma → cosinusów.

Przypadek dwóch rozwiązań

Dane w postaci „dwa boki i kąt naprzeciw krótszego z nich” bywają niejednoznaczne. Powód jest w samej funkcji: $\sin \alpha = \sin(180^\circ - \alpha)$ , więc jednej wartości sinusa odpowiadają dwa kąty — ostry i rozwarty.

Weźmy $a = 6$ , $b = 8$ oraz $\alpha = 40^\circ$ . Z twierdzenia sinusów

\sin \beta = \frac{b \sin \alpha}{a} = \frac{8 \cdot 0{,}6428}{6} \approx 0{,}857

a taką wartość sinusa mają zarówno $\beta \approx 59^\circ$ , jak i $\beta \approx 121^\circ$ . Oba warianty są dopuszczalne, bo w obu suma kątów mieści się poniżej $180^\circ$ — istnieją więc dwa różne trójkąty o tych danych. Odrzucamy dopiero ten, w którym $\alpha + \beta$ przekroczyłoby $180^\circ$ .

Kalkulator tego za nas nie zauważy: funkcja odwrotna zwróci wyłącznie kąt ostry. Drugie rozwiązanie trzeba dopisać samodzielnie.

Kalkulator: tryb DEG

Oba twierdzenia liczy się z kątami w stopniach, więc kalkulator musi stać w trybie DEG. Szybki test: $\sin 30$ ma dać $0{,}5$ . Jeżeli daje $-0{,}988$ , kalkulator pracuje w radianach i każdy wynik będzie zły, choć rachunki będą poprawne.

Zadania

Zadania z twierdzenia cosinusów mają wynik całkowity — wpisz go razem z jednostką, np. 7 cm. W zadaniach z twierdzenia sinusów jednostka jest podana w nawiasie, więc wpisz samą liczbę zaokrągloną do 0,1.

Ćwiczenia

Rozwiąż zestaw zadań — trudność rośnie z każdym kolejnym. Na końcu zobaczysz wynik i listę pomyłek do powtórki.

Zadanie 1 z 8Punkty: 0

Bok a z tw. cosinusów: b = 8 cm, c = 5 cm, α = 60°

Częste błędy

Sparowanie boku z niewłaściwym kątem — w twierdzeniu sinusów bok idzie zawsze z kątem leżącym naprzeciw niego.
Użycie twierdzenia cosinusów z kątem, który nie leży między danymi bokami — we wzorze $\alpha$ to kąt zawarty między $b$ i $c$ .
$2bc \cos \alpha$ policzone jako $(2bc \cos \alpha)^2$ — do kwadratu podnosimy tylko boki $b$ i $c$ .
Zapomniany pierwiastek — $a^2 = 49$ to jeszcze nie odpowiedź; odpowiedzią jest $a = 7$ .
Pominięcie drugiego rozwiązania w przypadku SSA — sinus nie odróżnia kąta ostrego od rozwartego.
Kalkulator w trybie RAD — wzory będą poprawne, a wyniki nie.

Karta wzorów

Temat: Twierdzenie sinusów i cosinusów

Twierdzenie sinusów
$\frac{a}{\sin \alpha} = \frac{b}{\sin \beta} = \frac{c}{\sin \gamma}$
bok i kąt leżący naprzeciw niego — zawsze w parze
Bok z twierdzenia sinusów
$b = \frac{a \cdot \sin \beta}{\sin \alpha}$
proporcja przekształcona względem szukanego boku
Twierdzenie cosinusów
$a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos \alpha$
α to kąt między bokami b i c
Kąt z trzech boków
$\cos \alpha = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}$
twierdzenie cosinusów przekształcone względem kąta
Suma kątów
$\alpha + \beta + \gamma = 180^\circ$
trzeci kąt zawsze z dwóch pozostałych

Oznaczenia w dowolnym trójkącie: bok a leży naprzeciw kąta α, bok b naprzeciw β, bok c naprzeciw γ. Oba twierdzenia korzystają z tej pary „bok naprzeciw kąta”.

Najczęstsze pytania

Powiązane artykuły

Świetlisty okrąg jednostkowy z promieniem zakreślającym kąt, z którego rozwija się smuga sinusoidy, obok trójkąta prostokątnego z gwiazd, na tle kosmicznej mgławicy w fiolecie i magencie

Trygonometria

Dlaczego sinus nie zależy od rozmiaru trójkąta

Wysokość wieży, szerokość rzeki, odległość statku od brzegu — wszystko to da się policzyć bez podchodzenia do mierzonego obiektu. Cała trygonometria stoi na jednym spostrzeżeniu: stosunek dwóch boków w trójkącie prostokątnym zależy wyłącznie od kąta, a nie od tego, jak duży jest trójkąt. To dzięki temu kąt daje się zamienić na liczbę — i stabelaryzować raz na zawsze.

13 min