Twierdzenie sinusów i cosinusów

Sinus, cosinus i tangens zdefiniowaliśmy w trójkącie prostokątnym. Większość trójkątów w zadaniach i w terenie kąta prostego nie ma — a mimo to da się w nich policzyć brakujący bok i brakujący kąt. Służą do tego dwa twierdzenia.

Oznaczenia

Umowa jest prosta: mała litera to bok leżący naprzeciw kąta o tej samej literze greckiej. Do tego zawsze mamy do dyspozycji sumę kątów:

Dlatego znając dwa kąty, trzeci dostajemy za darmo.

Twierdzenie sinusów

Bok i sinus kąta leżącego naprzeciw niego są proporcjonalne: większy bok leży naprzeciw większego kąta. Wspólny stosunek ma zresztą sens geometryczny — równa się $2R$, gdzie $R$ to promień okręgu opisanego na trójkącie.

Twierdzenia używamy wtedy, gdy w danych występuje pełna para: bok razem z kątem naprzeciw niego.

Twierdzenie cosinusów

Tutaj $\alpha$ jest kątem zawartym między bokami $b$ i $c$. Twierdzenia używamy, gdy nie ma pełnej pary bok–kąt: dane to dwa boki i kąt między nimi albo trzy boki.

Zwróć uwagę na budowę wzoru: pierwsze dwa składniki to twierdzenie Pitagorasa, a trzeci jest poprawką. Dla $\alpha = 90^\circ$ mamy $\cos 90^\circ = 0$, więc poprawka znika:

Twierdzenie Pitagorasa jest więc szczególnym przypadkiem twierdzenia cosinusów. Dla kąta ostrego cosinus jest dodatni i poprawka zmniejsza $a^2$; dla rozwartego — cosinus jest ujemny, minus razy minus daje plus i bok naprzeciw robi się dłuższy. Dokładnie tak, jak podpowiada rysunek.

Pole trójkąta z dwóch boków i kąta

Te same dane, które wystarczają twierdzeniu cosinusów — dwa boki i kąt między nimi — wystarczają też do policzenia pola, i to bez wyznaczania trzeciego boku.

Punktem wyjścia jest szkolny wzór $P = \frac{1}{2} a h$, gdzie $h$ to wysokość opuszczona na bok $a$. Kłopot polega na tym, że w dowolnym trójkącie wysokości nikt nam nie podaje. Ale da się ją policzyć.

Wysokość, bok $b$ i fragment boku $a$ tworzą trójkąt prostokątny. W nim $b$ jest przeciwprostokątną, a $h$ przyprostokątną leżącą naprzeciw kąta $\gamma$, więc wprost z definicji sinusa:

Podstawiamy do wzoru na pole:

Litery można przestawić — ważne jest tylko, żeby kąt leżał między dwoma bokami, które mnożymy:

Dwie kontrole wzoru. Dla $\gamma = 90^\circ$ mamy $\sin 90^\circ = 1$ i zostaje $P = \frac{1}{2} ab$, czyli połowa iloczynu przyprostokątnych ✓. A ponieważ $\sin \gamma = \sin(180^\circ - \gamma)$, trójkąt o kącie $150^\circ$ między tymi samymi bokami ma takie samo pole co trójkąt o kącie $30^\circ$ — wzór nie potrzebuje osobnego przypadku dla kąta rozwartego, w odróżnieniu od twierdzenia cosinusów.

Jak wybrać twierdzenie

Reguła w jednym zdaniu: jest pełna para bok–kąt naprzeciw → sinusów; nie ma → cosinusów. A gdy pytanie dotyczy pola, a nie boku — wzór z sinusem załatwia je od razu.

Przypadek dwóch rozwiązań

Dane w postaci „dwa boki i kąt naprzeciw krótszego z nich” bywają niejednoznaczne. Powód jest w samej funkcji: $\sin \alpha = \sin(180^\circ - \alpha)$, więc jednej wartości sinusa odpowiadają dwa kąty — ostry i rozwarty.

Weźmy $a = 6$, $b = 8$ oraz $\alpha = 40^\circ$. Z twierdzenia sinusów

a taką wartość sinusa mają zarówno $\beta \approx 59^\circ$, jak i $\beta \approx 121^\circ$. Oba warianty są dopuszczalne, bo w obu suma kątów mieści się poniżej $180^\circ$ — istnieją więc dwa różne trójkąty o tych danych. Odrzucamy dopiero ten, w którym $\alpha + \beta$ przekroczyłoby $180^\circ$.

Kalkulator tego za nas nie zauważy: funkcja odwrotna zwróci wyłącznie kąt ostry. Drugie rozwiązanie trzeba dopisać samodzielnie.

Kalkulator: tryb DEG

Oba twierdzenia liczy się z kątami w stopniach, więc kalkulator musi stać w trybie DEG. Szybki test: $\sin 30$ ma dać $0{,}5$. Jeżeli daje $-0{,}988$, kalkulator pracuje w radianach i każdy wynik będzie zły, choć rachunki będą poprawne.

Zadania

Zadania z twierdzenia cosinusów mają wynik całkowity — wpisz go razem z jednostką, np. 7 cm. W zadaniach z twierdzenia sinusów jednostka jest podana w nawiasie, więc wpisz samą liczbę zaokrągloną do 0,1. W zadaniach o pole obowiązuje ta sama zasada: gdy jednostki nie ma w treści, dopisz ją do odpowiedzi (np. 12 cm²), a gdy jest w nawiasie — wpisz samą liczbę zaokrągloną do 0,1.

Częste błędy

• Sparowanie boku z niewłaściwym kątem — w twierdzeniu sinusów bok idzie zawsze z kątem leżącym naprzeciw niego.
• Użycie twierdzenia cosinusów z kątem, który nie leży między danymi bokami — we wzorze $\alpha$ to kąt zawarty między $b$ i $c$.
• $2bc \cos \alpha$ policzone jako $(2bc \cos \alpha)^2$ — do kwadratu podnosimy tylko boki $b$ i $c$.
• Zapomniany pierwiastek — $a^2 = 49$ to jeszcze nie odpowiedź; odpowiedzią jest $a = 7$.
• Pominięcie drugiego rozwiązania w przypadku SSA — sinus nie odróżnia kąta ostrego od rozwartego.
• Pole liczone z kąta, który nie leży między danymi bokami — we wzorze $P = \frac{1}{2} ab \sin \gamma$ kąt $\gamma$ musi być zawarty między $a$ i $b$; przy innym kącie wynik nie ma sensu.
• Zgubiona połowa we wzorze na pole — $ab \sin \gamma$ to pole równoległoboku o tych bokach, a trójkąt jest jego połową.
• Kalkulator w trybie RAD — wzory będą poprawne, a wyniki nie.