Kąty

Kąt to figura złożona z dwóch ramion wychodzących ze wspólnego punktu — wierzchołka. Jego miarę podajemy w stopniach: pełny obrót to $360^\circ$, ćwierć obrotu to $90^\circ$.

Ważne od razu na starcie: miara kąta zależy tylko od rozwarcia ramion, a nie od ich długości. Ten sam kąt narysowany raz krótkimi, raz długimi ramionami ma tę samą miarę.

Rodzaje kątów

Pełna lista nazw:

Pary kątów

Dwie pary wracają w zadaniach najczęściej, bo pozwalają wyliczyć kąt, którego nie zmierzono.

Kąty dopełniające razem dają kąt prosty:

Kąty przyległe leżą po dwóch stronach tego samego ramienia i razem tworzą linię prostą:

Warto znać jeszcze kąty wierzchołkowe — te leżące naprzeciw siebie przy przecięciu dwóch prostych. Są zawsze równe, co wynika wprost z kątów przyległych: jeśli $\alpha + \beta = 180^\circ$ i $\beta + \gamma = 180^\circ$, to $\alpha = \gamma$.

Suma kątów w trójkącie

To najważniejsza reguła całej geometrii płaskiej:

Łatwo to zobaczyć: wytnij trójkąt z papieru i oderwij trzy rogi. Ułożone obok siebie zawsze utworzą linię prostą, czyli kąt półpełny.

Praktyczna konsekwencja: żeby znać wszystkie trzy kąty, wystarczy zmierzyć dwa.

Z tej reguły wynikają dwa fakty, które warto mieć pod ręką:

• w trójkącie równobocznym każdy kąt ma $180^\circ : 3 = 60^\circ$;
• w trójkącie prostokątnym kąt prosty zabiera $90^\circ$, więc oba kąty ostre są dopełniające — razem mają $90^\circ$.

Reguła wyklucza też pewne trójkąty: nie istnieje trójkąt z dwoma kątami prostymi ani z dwoma rozwartymi — same te dwa kąty wyczerpałyby już całe $180^\circ$.

Zadania

W każdym zadaniu wpisz samą liczbę stopni, np. 115.

Częste błędy

• Ocenianie kąta po długości ramion — miara zależy od rozwarcia, nie od tego, jak daleko sięgają ramiona.
• Mylenie dopełniających z przyległymi — dopełniające dają $90^\circ$, przyległe $180^\circ$.
• Suma kątów „na oko" — w trójkącie zawsze $180^\circ$, także wtedy, gdy rysunek jest niedokładny.
• Szukanie trójkąta z dwoma kątami prostymi — taki trójkąt nie istnieje.
• Zapomniany kąt prosty w trójkącie prostokątnym — dwa kąty ostre mają razem $90^\circ$, a nie $180^\circ$.
• Pominięty znak stopnia — $65$ i $65^\circ$ to dwie różne rzeczy; w zapisie miary stopień jest obowiązkowy.