Kąty

Kąt to figura złożona z dwóch ramion wychodzących ze wspólnego punktu — wierzchołka. Jego miarę podajemy w stopniach: pełny obrót to $360^\circ$, ćwierć obrotu to $90^\circ$.

Ważne od razu na starcie: miara kąta zależy tylko od rozwarcia ramion, a nie od ich długości. Ten sam kąt narysowany raz krótkimi, raz długimi ramionami ma tę samą miarę.

Rodzaje kątów

Pełna lista nazw:

Pary kątów

Dwie pary wracają w zadaniach najczęściej, bo pozwalają wyliczyć kąt, którego nie zmierzono.

Kąty dopełniające razem dają kąt prosty:

Kąty przyległe leżą po dwóch stronach tego samego ramienia i razem tworzą linię prostą:

Warto znać jeszcze kąty wierzchołkowe — te leżące naprzeciw siebie przy przecięciu dwóch prostych. Są zawsze równe, co wynika wprost z kątów przyległych: jeśli $\alpha + \beta = 180^\circ$ i $\beta + \gamma = 180^\circ$, to $\alpha = \gamma$.

Kąty przy dwóch prostych równoległych

Dwie proste równoległe przecięte trzecią prostą — sieczną — dają osiem kątów, po cztery przy każdym przecięciu. Zmierzyć trzeba tylko jeden: pozostałe siedem z niego wynika.

Kąty odpowiadające leżą przy dwóch różnych przecięciach, ale w tym samym miejscu: po tej samej stronie siecznej i po tej samej stronie swojej prostej. Przy prostych równoległych są równe:

Kąty naprzemianległe leżą między prostymi, po przeciwnych stronach siecznej. One także są równe:

Kąty jednostronne wewnętrzne leżą między prostymi po tej samej stronie siecznej. To jedyna z trzech par, która nie jest równa, tylko dopełnia się do kąta półpełnego:

Wszystkie trzy zależności stoją na równoległości — przy prostych, które gdzieś się przecinają, nie zachodzi żadna z nich. Reguła działa też w drugą stronę i tak sprawdza się równoległość w praktyce: skoro para kątów odpowiadających jest równa, proste są równoległe.

Suma kątów w trójkącie

To najważniejsza reguła całej geometrii płaskiej:

Łatwo to zobaczyć: wytnij trójkąt z papieru i oderwij trzy rogi. Ułożone obok siebie zawsze utworzą linię prostą, czyli kąt półpełny.

Praktyczna konsekwencja: żeby znać wszystkie trzy kąty, wystarczy zmierzyć dwa.

Z tej reguły wynikają dwa fakty, które warto mieć pod ręką:

• w trójkącie równobocznym każdy kąt ma $180^\circ : 3 = 60^\circ$;
• w trójkącie prostokątnym kąt prosty zabiera $90^\circ$, więc oba kąty ostre są dopełniające — razem mają $90^\circ$.

Reguła wyklucza też pewne trójkąty: nie istnieje trójkąt z dwoma kątami prostymi ani z dwoma rozwartymi — same te dwa kąty wyczerpałyby już całe $180^\circ$.

Suma kątów w wielokącie

Trójkąt nie jest wyjątkiem, tylko najprostszym przypadkiem reguły ogólnej. Z jednego wierzchołka wielokąta o $n$ bokach poprowadźmy wszystkie przekątne: potną go na $n - 2$ trójkąty, a każdy z nich wnosi do sumy swoje $180^\circ$.

Dla trójkąta wychodzi $(3 - 2) \cdot 180^\circ = 180^\circ$, czyli reguła, od której zaczęliśmy. Dla czworokąta $(4 - 2) \cdot 180^\circ = 360^\circ$ — co widać na prostokącie: cztery kąty proste to dokładnie $360^\circ$.

W wielokącie foremnym wszystkie kąty są równe, więc jeden kąt to suma podzielona przez ich liczbę:

Dla sześciokąta foremnego daje to $\tfrac{4 \cdot 180^\circ}{6} = 120^\circ$, dla pięciokąta foremnego $108^\circ$, a dla kwadratu $90^\circ$. Dzielenie przez $n$ wolno stosować wyłącznie do wielokąta foremnego — w dowolnym wielokącie suma jest ta sama, ale pojedyncze kąty nie muszą być równe. Same wielokąty foremne — ich bok, promień okręgu wpisanego i opisanego — mają osobny temat: okrąg.

Do tamtej lekcji należą też kąty, których wierzchołek leży na okręgu albo w jego środku: kąt wpisany i kąt środkowy rządzą się własną zależnością, której nie da się wyprowadzić z par tej lekcji.

Zadania

W każdym zadaniu wpisz samą liczbę stopni, np. 115 — także wtedy, gdy pytamy o sumę kątów wielokąta. Przy prostych równoległych treść zadania mówi, o którą z trzech par chodzi.

Częste błędy

• Ocenianie kąta po długości ramion — miara zależy od rozwarcia, nie od tego, jak daleko sięgają ramiona.
• Mylenie dopełniających z przyległymi — dopełniające dają $90^\circ$, przyległe $180^\circ$.
• Suma kątów „na oko" — w trójkącie zawsze $180^\circ$, także wtedy, gdy rysunek jest niedokładny.
• Szukanie trójkąta z dwoma kątami prostymi — taki trójkąt nie istnieje.
• Zapomniany kąt prosty w trójkącie prostokątnym — dwa kąty ostre mają razem $90^\circ$, a nie $180^\circ$.
• Pominięty znak stopnia — $65$ i $65^\circ$ to dwie różne rzeczy; w zapisie miary stopień jest obowiązkowy.
• Stosowanie reguł kątów przy prostych, które nie są równoległe — równość odpowiadających i naprzemianległych zaczyna się od równoległości.
• Mylenie kątów jednostronnych wewnętrznych z naprzemianległymi — pierwsze dają razem $180^\circ$, drugie są sobie równe.
• Dzielenie sumy kątów przez $n$ w dowolnym wielokącie — pojedynczy kąt $\tfrac{(n - 2) \cdot 180^\circ}{n}$ ma wyłącznie wielokąt foremny.
• Mnożenie przez $n$ zamiast przez $n - 2$ — trójkątów jest zawsze dwa mniej niż boków.