Pole i obwód koła

Koło jest jedyną figurą w tym dziale, której pola nie da się poskładać z prostokątów — i dlatego w jego wzorze pojawia się liczba, której nie da się zapisać dokładnie: $\pi$.

Promień, średnica, środek

Promień $r$ to odcinek od środka do brzegu. Średnica $d$ przechodzi przez środek od brzegu do brzegu, więc jest dokładnie dwa razy dłuższa:

Warto też znać rozróżnienie nazw: okrąg to sama linia, a koło to ta linia razem z wnętrzem. Stąd „pole koła", ale „długość okręgu".

Liczba π

Podziel obwód dowolnego okręgu przez jego średnicę — zawsze wyjdzie ta sama liczba. Talerz, moneta, obręcz koła rowerowego: wynik jest identyczny.

$\pi$ jest niewymierna: jej rozwinięcie dziesiętne nigdy się nie kończy ani nie powtarza. W rachunkach szkolnych przyjmujemy $\pi \approx 3{,}14$.

Obwód koła

Skoro $\pi$ to obwód podzielony przez średnicę, to obwód jest średnicą pomnożoną przez $\pi$:

Obwód to długość, więc mierzymy go w centymetrach i metrach — nigdy w jednostkach kwadratowych. Jeśli dane masz w calach albo w milimetrach, przelicz je najpierw konwerterem długości.

Pole koła

Kwadrat dotyczy samego promienia, a nie iloczynu $\pi r$. Kolejność jest jednoznaczna: najpierw $r^2$, potem mnożenie przez $\pi$.

Uwaga na średnicę zamiast promienia

To najkosztowniejsza pomyłka w tym temacie. Jeśli w zadaniu podano średnicę, najpierw podziel ją przez dwa.

Zaokrąglanie

Ponieważ $\pi$ jest niewymierna, wynik prawie nigdy nie jest „ładną" liczbą. Masz dwa poprawne zapisy:

• dokładny, z $\pi$ w wyniku: $25\pi\,\text{cm}^2$;
• przybliżony, po podstawieniu $\pi \approx 3{,}14$: $78{,}5\,\text{cm}^2$.

W zadaniach poniżej podajemy wynik przybliżony, zaokrąglony do dwóch miejsc po przecinku.

Zadania

Wpisz samą liczbę — jednostka jest podana w treści pytania, a wynik zaokrąglij do dwóch miejsc po przecinku. Odpowiedź policzona z $\pi \approx 3{,}14$ też zostanie uznana.

Częste błędy

• Średnica wstawiona zamiast promienia — pole wychodzi wtedy czterokrotnie za duże.
• $(\pi r)^2$ zamiast $\pi r^2$ — do kwadratu podnosimy sam promień.
• Mylenie wzorów — $2\pi r$ to obwód, $\pi r^2$ to pole; pole ma promień w kwadracie.
• Jednostka pola bez kwadratu — $78{,}5\,\text{cm}^2$, a nie $78{,}5\,\text{cm}$.
• Zaokrąglanie w środku rachunku — najpierw policz, dopiero na końcu zaokrąglij.
• Traktowanie π jak 3 — $\pi \approx 3{,}14$; przybliżenie „około trzy" bywa wystarczające do oszacowania, ale nie do wyniku.