Poziom średni

Okrąg: kąty, styczna i wielokąty foremne

Kąt wpisany jest zawsze połową środkowego opartego na tym samym łuku — i z tego jednego zdania wynika kąt prosty nad średnicą, konstrukcja stycznej i połowa zadań maturalnych o okręgu. Do tego cięciwa, odcinek stycznej, wielokąty foremne oraz długość łuku i pole wycinka.

Zanim zaczniesz

Ten temat opiera się na wcześniejszych zagadnieniach. Zanim zaczniesz, warto przerobić poniższe lekcje — dzięki nim wszystko pójdzie gładko:

Gdzie się tego używa

Konkretne sytuacje, w których liczysz dokładnie tak, jak uczy ta lekcja:

  • Zegar i kąt między wskazówkami
    Tarcza zegara to okrąg podzielony na 12 równych łuków po 30°. O godzinie 16:00 wskazówki dzieli kąt środkowy 4 · 30° = 120°, a łuk między nimi na tarczy o promieniu 12 cm ma długość 2π · 12 · 120 / 360 ≈ 25,1 cm.
  • Frezowanie i łuk na płycie
    Operator CNC wycina łuk o promieniu 250 mm i kącie 72°. Droga narzędzia to 2π · 250 · 72 / 360 ≈ 314 mm, a przy posuwie 600 mm/min ten ruch zajmie około 31 sekund — i tak właśnie liczy się czas cyklu, zanim maszyna ruszy.
  • Zasięg anteny i odcinek stycznej
    Nadajnik stoi 15 km od środka strefy chronionej o promieniu 9 km. Odcinek stycznej, czyli najdalszy punkt tej strefy widziany „po stycznej”, ma długość √(15² − 9²) = √144 = 12 km. Ta sama para liczb 9, 12, 15 to zwykła trójka pitagorejska.
  • Nakrętka i klucz płaski
    Nakrętka M10 ma sześciokąt foremny o rozstawie płaskich 17 mm — to średnica okręgu wpisanego, więc r = 8,5 mm. Promień okręgu opisanego, czyli odległość od środka do narożnika, to R = 2r / √3 ≈ 9,81 mm, i to on decyduje, czy nakrętka wejdzie do gniazda w obudowie.
  • Wykres kołowy i wycinek
    Wycinek reprezentujący 15% danych zajmuje kąt 0,15 · 360° = 54°. Na wykresie o promieniu 5 cm jego pole to π · 25 · 54 / 360 ≈ 11,8 cm², czyli dokładnie 15% pola całego koła — i to jest powód, dla którego wykres kołowy w ogóle działa jako obrazek proporcji.

Wszystkie wzory

  • Kąt środkowy i wpisany

    α=2β\alpha = 2\beta

    oba oparte na tym samym łuku

  • Kąt oparty na średnicy

    β=90∘  ⟺  AB jest sˊrednicą\beta = 90^\circ \iff AB \ \text{jest średnicą}

    twierdzenie Talesa o okręgu

  • Odcinek stycznej

    t2=d2−r2t^2 = d^2 - r^2

    d to odległość punktu od środka okręgu

  • Cięciwa i jej odległość od środka

    (c2)2+h2=r2\left(\frac{c}{2}\right)^2 + h^2 = r^2

    prostopadła ze środka dzieli cięciwę na połowy

  • Kąt wielokąta foremnego

    αn=(n−2)⋅180∘n\alpha_n = \frac{(n - 2) \cdot 180^\circ}{n}

    kąt środkowy to 360°/n

  • Długość łuku

    l=2πr⋅α360∘l = 2\pi r \cdot \frac{\alpha}{360^\circ}

    ułamek obwodu wyznaczony przez kąt

  • Pole wycinka koła

    P=πr2⋅α360∘P = \pi r^2 \cdot \frac{\alpha}{360^\circ}

    ten sam ułamek, tylko pola

Ta lekcja mówi o okręgu, czyli o samej linii, a nie o kole, czyli o obszarze wewnątrz niej. Obwód i pole już znamy — tutaj chodzi o to, co dzieje się na okręgu: o kąty, cięciwy, styczne i o wielokąty, które da się w okrąg wpisać.

Cały temat wynika z jednego twierdzenia, więc warto od niego zacząć.

Kąt wpisany jest połową środkowego

Kąt środkowy ma wierzchołek w środku okręgu, kąt wpisany — na samym okręgu. Jeżeli oba są oparte na tym samym łuku, to zachodzi zależność, która jest sercem tej lekcji:

α=2β\alpha = 2\beta
rαβCABS
Kąt środkowy ASB i kąt wpisany ACB są oparte na tym samym łuku AB. Kąt przy C jest dokładnie dwa razy mniejszy od kąta przy S.

Wynika stąd natychmiast druga własność, mniej oczywista, a bardziej użyteczna: wszystkie kąty wpisane oparte na tym samym łuku są równe. Nie ma znaczenia, w którym miejscu okręgu postawimy wierzchołek — dopóki ramiona kąta przechodzą przez te same dwa punkty, miara jest ta sama.

Kąt środkowy oparty na łuku AB ma 130°. Ile ma kąt wpisany oparty na tym samym łuku?

Kąt oparty na średnicy ma 90°

Weźmy szczególny przypadek: łuk będący połową okręgu. Kąt środkowy oparty na średnicy to kąt półpełny, czyli 180∘180^\circ, więc kąt wpisany ma jego połowę:

β=180∘2=90∘\beta = \frac{180^\circ}{2} = 90^\circ
ABCABS
Każdy trójkąt wpisany w okrąg, którego bokiem jest średnica, ma kąt prosty przy trzecim wierzchołku. Znacznik kąta prostego nie jest tu deklaracją — wynika z położenia punktów.

To twierdzenie Talesa o okręgu i w zadaniach pełni rolę wyłącznika: gdy tylko w treści pojawia się średnica i punkt na okręgu, w rysunku pojawia się trójkąt prostokątny, a z nim całe twierdzenie Pitagorasa.

Cięciwa i jej odległość od środka

Cięciwa to odcinek łączący dwa punkty okręgu. Prostopadła poprowadzona ze środka dzieli cięciwę na połowy, więc powstaje trójkąt prostokątny o przyprostokątnych c2\tfrac{c}{2} i hh oraz przeciwprostokątnej rr:

(c2)2+h2=r2\left(\frac{c}{2}\right)^2 + h^2 = r^2
W okręgu o promieniu 13 cm poprowadzono cięciwę odległą od środka o 5 cm. Jak długa jest ta cięciwa?

Styczna

Styczna ma z okręgiem dokładnie jeden punkt wspólny i jest prostopadła do promienia poprowadzonego do punktu styczności. To wszystko, co trzeba o niej wiedzieć — reszta jest konsekwencją.

rkTS
Styczna k w punkcie T i promień ST tworzą kąt prosty. Prosta odległa od środka o mniej niż r przecina okrąg w dwóch punktach, a o więcej niż r — wcale.

Z punktu leżącego na zewnątrz okręgu można poprowadzić dwie styczne, a odcinki od tego punktu do punktów styczności są równej długości. Ponieważ promień i taki odcinek tworzą kąt prosty, długość odcinka stycznej liczy Pitagoras:

t2=d2−r2t^2 = d^2 - r^2

gdzie dd to odległość punktu od środka okręgu.

Wzajemne położenie prostej i okręgu sprowadza się zatem do porównania jednej liczby z promieniem:

Odległość prostej od środkaPunkty wspólneNazwa
h<rh < rdwasieczna
h=rh = rjedenstyczna
h>rh > rzeroprosta rozłączna z okręgiem

Wielokąty foremne, okrąg wpisany i opisany

Wielokąt foremny ma wszystkie boki i wszystkie kąty równe. Da się na nim opisać okrąg (przechodzący przez wierzchołki, o promieniu RR) i wpisać w niego okrąg (styczny do boków, o promieniu rr zwanym apotemą) — oba o tym samym środku.

Rr60°a
Sześciokąt foremny. Promienie do dwóch sąsiednich wierzchołków tworzą kąt środkowy 360° / 6 = 60°, a apotema pada na środek boku pod kątem prostym.

Dwa kąty wystarczają do opisania takiej figury:

kąt sˊrodkowy=360∘n,αn=(n−2)⋅180∘n\text{kąt środkowy} = \frac{360^\circ}{n}, \qquad \alpha_n = \frac{(n - 2) \cdot 180^\circ}{n}

Dla trójkąta (n=3n = 3) daje to 60∘60^\circ, dla kwadratu 90∘90^\circ, dla sześciokąta 120∘120^\circ. Im więcej boków, tym kąt bliższy 180∘180^\circ — i tym bardziej wielokąt przypomina okrąg.

Oblicz promień okręgu opisanego na sześciokącie foremnym o boku 6 cm.

Długość łuku i pole wycinka

Kąt środkowy α\alpha wycina z okręgu łuk, a z koła — wycinek. Oba są tym samym ułamkiem całości, wyznaczonym przez stosunek α360∘\tfrac{\alpha}{360^\circ}:

l=2πr⋅α360∘,P=πr2⋅α360∘l = 2\pi r \cdot \frac{\alpha}{360^\circ}, \qquad P = \pi r^2 \cdot \frac{\alpha}{360^\circ}

Nie ma tu nic do zapamiętywania ponad obwód i pole koła: kąt 90∘90^\circ to ćwiartka, 180∘180^\circ to połowa, 60∘60^\circ to jedna szósta.

Oblicz długość łuku i pole wycinka o kącie 120° w okręgu o promieniu 9 cm.

Ćwiczenia

Rozwiąż zestaw zadań — trudność rośnie z każdym kolejnym. Na końcu zobaczysz wynik i listę pomyłek do powtórki.

Zadanie 1 z 8Punkty: 0
Kąt wpisany, gdy środkowy ma 80°

Częste błędy

  • Podwajanie kąta wpisanego zamiast dzielenia środkowego — to wpisany jest połową, nie odwrotnie.
  • Zatrzymanie się na połowie cięciwy — trójkąt prostokątny w okręgu daje c2\tfrac{c}{2}, więc wynik trzeba jeszcze podwoić.
  • Mylenie promienia okręgu wpisanego z opisanym — apotema pada na środek boku, promień opisanego sięga wierzchołka.
  • Liczenie łuku wzorem na pole — łuk bierze się z obwodu 2πr2\pi r, wycinek z pola πr2\pi r^2.
  • Zakładanie prostopadłości stycznej do cięciwy — styczna jest prostopadła do promienia w punkcie styczności.
  • Szukanie kąta prostego tam, gdzie cięciwa nie jest średnicą — twierdzenie Talesa o okręgu działa wyłącznie dla średnicy.

Karta wzorów

Temat: Okrąg: kąty, styczna, wielokąty foremne

  • Kąt środkowy i wpisany

    α=2β\alpha = 2\beta

    oba oparte na tym samym łuku

  • Kąt oparty na średnicy

    β=90∘  ⟺  AB jest sˊrednicą\beta = 90^\circ \iff AB \ \text{jest średnicą}

    twierdzenie Talesa o okręgu

  • Odcinek stycznej

    t2=d2−r2t^2 = d^2 - r^2

    d to odległość punktu od środka okręgu

  • Cięciwa i jej odległość od środka

    (c2)2+h2=r2\left(\frac{c}{2}\right)^2 + h^2 = r^2

    prostopadła ze środka dzieli cięciwę na połowy

  • Kąt wielokąta foremnego

    αn=(n−2)⋅180∘n\alpha_n = \frac{(n - 2) \cdot 180^\circ}{n}

    kąt środkowy to 360°/n

  • Długość łuku

    l=2πr⋅α360∘l = 2\pi r \cdot \frac{\alpha}{360^\circ}

    ułamek obwodu wyznaczony przez kąt

  • Pole wycinka koła

    P=πr2⋅α360∘P = \pi r^2 \cdot \frac{\alpha}{360^\circ}

    ten sam ułamek, tylko pola

rαβCABS
Kąt środkowy ASB i kąt wpisany ACB oparte na tym samym łuku AB. Wpisany jest zawsze połową środkowego.
Rr60°a
Sześciokąt foremny z okręgiem opisanym o promieniu R i wpisanym o promieniu r. Kąt środkowy ma 360° / 6 = 60°.

Najczęstsze pytania

Powiązane artykuły

Świetlisty trójkąt prostokątny z kwadratami zbudowanymi na bokach jako konstelacja, obok okręgu z promieniem, na tle kosmicznej mgławicy w fiolecie i magencie
Geometria

Dlaczego pole mierzymy kwadratami

Obwód liczymy w metrach, pole w metrach kwadratowych — i ta jedna dwójka w wykładniku odpowiada za większość szkolnych pomyłek. Przez nią 1 m² to nie 100 cm², dwie działki o identycznym polu mogą potrzebować zupełnie różnej długości ogrodzenia, a twierdzenie Pitagorasa mówi tak naprawdę o polach kwadratów, nie o długościach boków.

11 min