Twierdzenie Pitagorasa

Twierdzenie Pitagorasa wiąże trzy boki trójkąta prostokątnego — i tylko takiego. To ono pozwala policzyć długość, której nie da się zmierzyć bezpośrednio: przekątną ekranu, wysokość drabiny opartej o ścianę, odległość w linii prostej.

Nazwy boków

• Przyprostokątne $a$ i $b$ — dwa boki tworzące kąt prosty.
• Przeciwprostokątna $c$ — bok leżący naprzeciw kąta prostego, zawsze najdłuższy.

Zanim podstawisz cokolwiek do wzoru, ustal, który bok jest przeciwprostokątną. Rozpoznasz ją bez liczenia: to ten, który nie dotyka znaczka kąta prostego.

Twierdzenie

Słowami: suma kwadratów przyprostokątnych równa się kwadratowi przeciwprostokątnej.

Dlaczego? Kwadrat zbudowany na boku $a$ ma pole $a^2$, kwadrat na boku $b$ — pole $b^2$. Twierdzenie mówi, że oba te kwadraty razem mają dokładnie takie pole jak kwadrat zbudowany na przeciwprostokątnej. To zdanie o polach, nie o samych długościach — dlatego wszędzie występują drugie potęgi.

Szukanie przeciwprostokątnej

Szukanie przyprostokątnej

Twierdzenie działa też w drugą stronę. Jeśli znamy przeciwprostokątną i jedną przyprostokątną, drugą wyznaczamy odejmowaniem:

Trójki pitagorejskie

Niektóre trójki liczb całkowitych spełniają twierdzenie idealnie. Warto je znać na pamięć — pojawiają się w zadaniach najczęściej:

Każdą można przeskalować: skoro $3\text{-}4\text{-}5$ działa, to działa też $6\text{-}8\text{-}10$ i $9\text{-}12\text{-}15$.

Poza tymi przypadkami wynik zwykle nie jest liczbą całkowitą. Dla przyprostokątnych $2$ i $3$ dostajemy $c = \sqrt{4 + 9} = \sqrt{13} \approx 3{,}61$ — i to jest zupełnie normalna odpowiedź. Postać $\sqrt{13}$ jest dokładna, $3{,}61$ to jej przybliżenie.

Twierdzenie odwrotne

Zachodzi też w drugą stronę: jeśli dla boków trójkąta $a^2 + b^2 = c^2$, to ten trójkąt jest prostokątny.

Dzięki temu kąt prosty można sprawdzić bez kątomierza — wystarczy zmierzyć trzy boki. Na tym opiera się murarska metoda „3-4-5": odmierza się $3$ jednostki wzdłuż jednej ściany, $4$ wzdłuż drugiej, a jeśli odległość między końcami wynosi dokładnie $5$, narożnik jest prosty.

Zastosowanie: przekątna prostokąta

Przekątna dzieli prostokąt na dwa trójkąty prostokątne, w których przyprostokątnymi są jego boki.

Szczególny przypadek to kwadrat, w którym obie przyprostokątne są równe:

Dla boku $5\,\text{cm}$ przekątna wynosi $5\sqrt{2} \approx 7{,}07\,\text{cm}$.

Wynik jest długością, więc podajemy go w centymetrach lub metrach. Jeśli dane w zadaniu masz w calach albo stopach — a przekątne ekranów podaje się właśnie w calach — przelicz je najpierw konwerterem długości.

Zadania

Wpisz odpowiedź razem z jednostką, np. 5 cm. Wszystkie zadania oparte są na trójkach pitagorejskich, więc wyniki są liczbami całkowitymi.

Częste błędy

• Użycie twierdzenia w trójkącie bez kąta prostego — $a^2 + b^2 = c^2$ zachodzi wyłącznie w trójkącie prostokątnym.
• Pomylenie przeciwprostokątnej z przyprostokątną — $c$ to zawsze bok naprzeciw kąta prostego i zawsze najdłuższy.
• Dodawanie zamiast odejmowania przy szukaniu przyprostokątnej — wtedy $b = \sqrt{c^2 - a^2}$, nie $\sqrt{c^2 + a^2}$.
• Zapomniany pierwiastek — $c^2 = 25$ to jeszcze nie odpowiedź; odpowiedzią jest $c = 5$.
• $\sqrt{a^2 + b^2} = a + b$ — pierwiastek z sumy nie jest sumą pierwiastków; $\sqrt{9+16} = 5$, a nie $3 + 4 = 7$.
• Oczekiwanie liczby całkowitej zawsze — poza trójkami pitagorejskimi wynik jest niewymierny i to jest poprawna odpowiedź.