Jak brzmi twierdzenie Pitagorasa?

W trójkącie prostokątnym suma kwadratów przyprostokątnych równa się kwadratowi przeciwprostokątnej: a² + b² = c². Litery a i b oznaczają boki tworzące kąt prosty, a c — bok leżący naprzeciw niego.

Jak obliczyć przeciwprostokątną?

Podnosimy obie przyprostokątne do kwadratu, dodajemy i wyciągamy pierwiastek: c = √(a² + b²). Dla przyprostokątnych 3 cm i 4 cm mamy c = √(9 + 16) = √25 = 5 cm.

Jak obliczyć przyprostokątną, znając przeciwprostokątną?

Twierdzenie działa też w drugą stronę, tylko z odejmowaniem: b = √(c² − a²). Dla przeciwprostokątnej 13 cm i przyprostokątnej 5 cm mamy b = √(169 − 25) = √144 = 12 cm.

Kiedy można stosować twierdzenie Pitagorasa?

Tylko w trójkącie prostokątnym. W trójkącie ostrokątnym lub rozwartokątnym równość nie zachodzi. Jeśli w zadaniu nie ma kąta prostego, twierdzenia użyć nie wolno — chyba że kąt prosty sami dorysujemy, np. opuszczając wysokość.

Co to jest twierdzenie odwrotne do twierdzenia Pitagorasa?

Jeśli dla trzech boków zachodzi a² + b² = c², to trójkąt jest prostokątny. Pozwala to sprawdzić kąt prosty bez kątomierza — na tym opiera się murarska metoda „3-4-5" do wyznaczania prostego narożnika.

Jak obliczyć przekątną prostokąta?

Przekątna dzieli prostokąt na dwa trójkąty prostokątne, w których bokami są długość i szerokość. Dla prostokąta 6 cm × 8 cm przekątna wynosi √(36 + 64) = √100 = 10 cm.

Ile wynosi przekątna kwadratu o boku a?

Jest równa a√2, czyli około 1,41 · a. Wynika to z twierdzenia dla trójkąta o obu przyprostokątnych równych a: d = √(a² + a²) = √(2a²) = a√2. Dla boku 5 cm przekątna to 5√2 ≈ 7,07 cm.

Poziom średni

Twierdzenie Pitagorasa

Q: Czym są trójki pitagorejskie?

To trójki liczb całkowitych spełniające a² + b² = c², np. 3-4-5, 5-12-13, 8-15-17 i 7-24-25. Warto je znać na pamięć, bo pojawiają się w zadaniach najczęściej — a każdą można pomnożyć przez tę samą liczbę: 6-8-10 to również trójka pitagorejska.

W trójkącie prostokątnym a² + b² = c². Zobacz, dlaczego to działa, jak wyznaczyć przeciwprostokątną i przyprostokątną, czym są trójki pitagorejskie i jak twierdzenie odwrotne pozwala sprawdzić, czy kąt naprawdę jest prosty.

Zanim zaczniesz

Ten temat opiera się na wcześniejszych zagadnieniach. Zanim zaczniesz, warto przerobić poniższe lekcje — dzięki nim wszystko pójdzie gładko:

KątyKąt mierzymy w stopniach: ostry poniżej 90°, prosty równo 90°, rozwarty powyżej. Poznaj rodzaje kątów, kąty dopełniające i przyległe, kąty naprzemianległe i odpowiadające przy prostych równoległych oraz dwie reguły sumy — 180° w trójkącie i (n − 2) · 180° w wielokącie.
PierwiastkiPierwiastek to działanie odwrotne do potęgowania. Poznaj pierwiastek kwadratowy i sześcienny, działania na pierwiastkach, wyłączanie i włączanie czynnika, szacowanie i porównywanie pierwiastków oraz usuwanie niewymierności z mianownika.

Gdzie się tego używa

Konkretne sytuacje, w których liczysz dokładnie tak, jak uczy ta lekcja:

Telewizor
Telewizor „55 cali" ma 139,7 cm przekątnej, a nie szerokości. Z proporcji 16 : 9 i twierdzenia Pitagorasa wychodzi 121,8 cm szerokości i 68,5 cm wysokości — dopiero te liczby przykładasz do wnęki w meblościance.
Przelicz w konwerterze: Długość
Fundamenty
Murarz sprawdza kąt prosty trójką 3-4-5: odmierza 3 m i 4 m od narożnika, a przekątna musi mieć równo 5 m. Ława 6 × 8 m ma przekątne po 10 m i jeśli różnią się o 3 cm, fundament jest równoległobokiem, nie prostokątem.
Straż pożarna
Drabina mechaniczna o wysięgu 30 m nie stanie pod samą ścianą. Odsunięta o 10 m sięga √(30² − 10²) = 28,3 m, a brakujące 1,7 m potrafi być całym piętrem.

Wszystkie wzory

Twierdzenie Pitagorasa
$a^2 + b^2 = c^2$
a i b to przyprostokątne, c to przeciwprostokątna
Przeciwprostokątna
$c = \sqrt{a^2 + b^2}$
najdłuższy bok, naprzeciw kąta prostego
Przyprostokątna
$b = \sqrt{c^2 - a^2}$
twierdzenie użyte w drugą stronę — odejmowanie, nie dodawanie
Przekątna kwadratu
$d = a\sqrt{2}$
z twierdzenia dla trójkąta o przyprostokątnych a i a
Trójka pitagorejska 3-4-5
$3^2 + 4^2 = 5^2$
kolejne: 5-12-13, 8-15-17, 7-24-25

Twierdzenie Pitagorasa wiąże trzy boki trójkąta prostokątnego — i tylko takiego. To ono pozwala policzyć długość, której nie da się zmierzyć bezpośrednio: przekątną ekranu, wysokość drabiny opartej o ścianę, odległość w linii prostej.

Nazwy boków

Przyprostokątne a i b tworzą kąt prosty. Przeciwprostokątna c leży naprzeciw niego i zawsze jest najdłuższym bokiem.

Przyprostokątne $a$ i $b$ — dwa boki tworzące kąt prosty.
Przeciwprostokątna $c$ — bok leżący naprzeciw kąta prostego, zawsze najdłuższy.

Zanim podstawisz cokolwiek do wzoru, ustal, który bok jest przeciwprostokątną. Rozpoznasz ją bez liczenia: to ten, który nie dotyka znaczka kąta prostego.

Twierdzenie

a^2 + b^2 = c^2

Słowami: suma kwadratów przyprostokątnych równa się kwadratowi przeciwprostokątnej.

Dlaczego? Kwadrat zbudowany na boku $a$ ma pole $a^2$ , kwadrat na boku $b$ — pole $b^2$ . Twierdzenie mówi, że oba te kwadraty razem mają dokładnie takie pole jak kwadrat zbudowany na przeciwprostokątnej. To zdanie o polach, nie o samych długościach — dlatego wszędzie występują drugie potęgi.

Szukanie przeciwprostokątnej

c = \sqrt{a^2 + b^2}

Przyprostokątne trójkąta mają 3 cm i 4 cm. Ile ma przeciwprostokątna?

Szukanie przyprostokątnej

Twierdzenie działa też w drugą stronę. Jeśli znamy przeciwprostokątną i jedną przyprostokątną, drugą wyznaczamy odejmowaniem:

b = \sqrt{c^2 - a^2}

Przeciwprostokątna ma 13 cm, jedna przyprostokątna 5 cm. Ile ma druga?

Trójki pitagorejskie

Niektóre trójki liczb całkowitych spełniają twierdzenie idealnie. Warto je znać na pamięć — pojawiają się w zadaniach najczęściej:

$a$	$b$	$c$
3	4	5
5	12	13
8	15	17
7	24	25
9	40	41

Każdą można przeskalować: skoro $3\text{-}4\text{-}5$ działa, to działa też $6\text{-}8\text{-}10$ i $9\text{-}12\text{-}15$ .

Poza tymi przypadkami wynik zwykle nie jest liczbą całkowitą. Dla przyprostokątnych $2$ i $3$ dostajemy $c = \sqrt{4 + 9} = \sqrt{13} \approx 3{,}61$ — i to jest zupełnie normalna odpowiedź. Postać $\sqrt{13}$ jest dokładna, $3{,}61$ to jej przybliżenie.

Twierdzenie odwrotne

Zachodzi też w drugą stronę: jeśli dla boków trójkąta $a^2 + b^2 = c^2$ , to ten trójkąt jest prostokątny.

Dzięki temu kąt prosty można sprawdzić bez kątomierza — wystarczy zmierzyć trzy boki. Na tym opiera się murarska metoda „3-4-5": odmierza się $3$ jednostki wzdłuż jednej ściany, $4$ wzdłuż drugiej, a jeśli odległość między końcami wynosi dokładnie $5$ , narożnik jest prosty.

Zastosowanie: przekątna prostokąta

Przekątna dzieli prostokąt na dwa trójkąty prostokątne, w których przyprostokątnymi są jego boki.

Przekątna prostokąta to przeciwprostokątna trójkąta o przyprostokątnych a i b.

Oblicz przekątną prostokąta o bokach 6 cm i 8 cm.

Szczególny przypadek to kwadrat, w którym obie przyprostokątne są równe:

d = \sqrt{a^2 + a^2} = \sqrt{2a^2} = a\sqrt{2}

Dla boku $5\,\text{cm}$ przekątna wynosi $5\sqrt{2} \approx 7{,}07\,\text{cm}$ .

Wynik jest długością, więc podajemy go w centymetrach lub metrach. Jeśli dane w zadaniu masz w calach albo stopach — a przekątne ekranów podaje się właśnie w calach — przelicz je najpierw konwerterem długości.

Zadania

Wpisz odpowiedź razem z jednostką, np. 5 cm. Wszystkie zadania oparte są na trójkach pitagorejskich, więc wyniki są liczbami całkowitymi.

Ćwiczenia

Rozwiąż zestaw zadań — trudność rośnie z każdym kolejnym. Na końcu zobaczysz wynik i listę pomyłek do powtórki.

Zadanie 1 z 8Punkty: 0

Przeciwprostokątna c: a = 6 cm, b = 8 cm

Częste błędy

Użycie twierdzenia w trójkącie bez kąta prostego — $a^2 + b^2 = c^2$ zachodzi wyłącznie w trójkącie prostokątnym.
Pomylenie przeciwprostokątnej z przyprostokątną — $c$ to zawsze bok naprzeciw kąta prostego i zawsze najdłuższy.
Dodawanie zamiast odejmowania przy szukaniu przyprostokątnej — wtedy $b = \sqrt{c^2 - a^2}$ , nie $\sqrt{c^2 + a^2}$ .
Zapomniany pierwiastek — $c^2 = 25$ to jeszcze nie odpowiedź; odpowiedzią jest $c = 5$ .
$\sqrt{a^2 + b^2} = a + b$ — pierwiastek z sumy nie jest sumą pierwiastków; $\sqrt{9+16} = 5$ , a nie $3 + 4 = 7$ .
Oczekiwanie liczby całkowitej zawsze — poza trójkami pitagorejskimi wynik jest niewymierny i to jest poprawna odpowiedź.

Karta wzorów

Temat: Twierdzenie Pitagorasa

Twierdzenie Pitagorasa
$a^2 + b^2 = c^2$
a i b to przyprostokątne, c to przeciwprostokątna
Przeciwprostokątna
$c = \sqrt{a^2 + b^2}$
najdłuższy bok, naprzeciw kąta prostego
Przyprostokątna
$b = \sqrt{c^2 - a^2}$
twierdzenie użyte w drugą stronę — odejmowanie, nie dodawanie
Przekątna kwadratu
$d = a\sqrt{2}$
z twierdzenia dla trójkąta o przyprostokątnych a i a
Trójka pitagorejska 3-4-5
$3^2 + 4^2 = 5^2$
kolejne: 5-12-13, 8-15-17, 7-24-25

Trójkąt prostokątny: a i b to przyprostokątne (tworzą kąt prosty), c to przeciwprostokątna — najdłuższy bok, leżący naprzeciw kąta prostego.

Najczęstsze pytania

Powiązane artykuły

Świetlisty trójkąt prostokątny z kwadratami zbudowanymi na bokach jako konstelacja, obok okręgu z promieniem, na tle kosmicznej mgławicy w fiolecie i magencie

Geometria

Dlaczego pole mierzymy kwadratami

Obwód liczymy w metrach, pole w metrach kwadratowych — i ta jedna dwójka w wykładniku odpowiada za większość szkolnych pomyłek. Przez nią 1 m² to nie 100 cm², dwie działki o identycznym polu mogą potrzebować zupełnie różnej długości ogrodzenia, a twierdzenie Pitagorasa mówi tak naprawdę o polach kwadratów, nie o długościach boków.

11 min