Dział matematyki

Geometria

Figury na płaszczyźnie i bryły w przestrzeni — pola, obwody, kąty i objętości.

Tematy w tym dziale

Podstawowy
Pole prostokąta
Pole prostokąta to iloczyn jego boków: P = a · b. Zobacz, skąd bierze się ten wzór, czym różni się pole od obwodu, jak liczyć pole kwadratu, jak wyznaczyć bok z pola i dlaczego wynik zapisujemy w centymetrach kwadratowych.
Podstawowy
Pole i obwód trójkąta
Pole trójkąta to połowa iloczynu podstawy i wysokości: P = ½ · a · h. Zobacz, skąd bierze się ta połowa, którą wysokość brać do którego boku, jak liczyć obwód i dlaczego trójkąt prostokątny jest najłatwiejszym przypadkiem.
Podstawowy
Pole i obwód koła
Pole koła to P = πr², a obwód to Obw = 2πr. Zobacz, czym jest liczba π, jak promień wiąże się ze średnicą, dlaczego wynik prawie zawsze trzeba zaokrąglić i czym różni się koło od okręgu.
Podstawowy
Kąty
Kąt mierzymy w stopniach: ostry poniżej 90°, prosty równo 90°, rozwarty powyżej. Poznaj rodzaje kątów, kąty dopełniające i przyległe oraz najważniejszą regułę geometrii płaskiej — suma kątów w trójkącie zawsze wynosi 180°.
Średni
Twierdzenie Pitagorasa
W trójkącie prostokątnym a² + b² = c². Zobacz, dlaczego to działa, jak wyznaczyć przeciwprostokątną i przyprostokątną, czym są trójki pitagorejskie i jak twierdzenie odwrotne pozwala sprawdzić, czy kąt naprawdę jest prosty.
Średni
Objętość brył
Objętość mówi, ile mieści się w bryle. Zobacz wzory na objętość prostopadłościanu, walca, ostrosłupa, stożka i kuli, dlaczego w ostrosłupie i stożku pojawia się jedna trzecia i skąd bierze się jednostka sześcienna.
Średni
Pole powierzchni brył
Pole powierzchni to pole siatki bryły — tyle materiału trzeba na jej oklejenie. Zobacz wzory dla prostopadłościanu, walca, ostrosłupa, stożka i kuli oraz to, dlaczego w stożku i ostrosłupie liczy się tworząca, a nie wysokość.
Średni
Jednostki objętości
Litr, mililitr, centymetr i metr sześcienny — jedna wielkość w kilku zapisach. Zobacz, dlaczego jednostki objętości przeliczamy przez tysiąc, a nie przez dziesięć, i skąd bierze się równość 1 dm³ = 1 l.

Wzory działu

Dział: Geometria

Pole prostokąta

  • Pole prostokąta

    P=a⋅bP = a \cdot b

    a i b to długości sąsiednich boków

  • Pole kwadratu

    P=a2P = a^2

    kwadrat to prostokąt o równych bokach

  • Obwód prostokąta

    Obw=2a+2b=2(a+b)Obw = 2a + 2b = 2(a + b)

    suma długości wszystkich czterech boków

  • Bok z pola

    a=Pb,b=Paa = \frac{P}{b}, \quad b = \frac{P}{a}

    odwrotność wzoru na pole — dzielenie zamiast mnożenia

  • Jednostki pola

    1 m2=10 000 cm21\,\text{m}^2 = 10\,000\,\text{cm}^2

    bok rośnie 100 razy, pole 100 · 100 razy

Pole i obwód trójkąta

  • Pole trójkąta

    P=12⋅a⋅hP = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h

    a to podstawa, h to wysokość opuszczona na tę podstawę

  • Obwód trójkąta

    Obw=a+b+cObw = a + b + c

    suma długości trzech boków

  • Pole trójkąta prostokątnego

    P=12⋅a⋅bP = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b

    przyprostokątne są dla siebie podstawą i wysokością

  • Wysokość z pola

    h=2Pah = \frac{2P}{a}

    odwrócony wzór na pole

  • Nierówność trójkąta

    ∣a−b∣<c<a+b|a - b| < c < a + b

    z dowolnych trzech odcinków nie da się zbudować trójkąta

Pole i obwód koła

  • Pole koła

    P=πr2P = \pi r^2

    r to promień

  • Obwód koła (długość okręgu)

    Obw=2πr=πdObw = 2\pi r = \pi d

    d = 2r, więc oba zapisy znaczą to samo

  • Średnica a promień

    d=2rd = 2r

    średnica jest dwa razy dłuższa od promienia

  • Liczba π

    π=Obwd≈3,14\pi = \frac{Obw}{d} \approx 3{,}14

    ten sam iloraz dla każdego okręgu — stąd jego nazwa

  • Promień z pola

    r=Pπr = \sqrt{\frac{P}{\pi}}

    odwrócony wzór na pole

Kąty

  • Suma kątów w trójkącie

    α+β+γ=180∘\alpha + \beta + \gamma = 180^\circ

    zawsze, w każdym trójkącie na płaszczyźnie

  • Kąty dopełniające

    α+β=90∘\alpha + \beta = 90^\circ

    razem tworzą kąt prosty

  • Kąty przyległe

    α+β=180∘\alpha + \beta = 180^\circ

    razem tworzą kąt półpełny — leżą na jednej prostej

  • Kąt ostry

    0∘<α<90∘0^\circ < \alpha < 90^\circ

    kąt prosty to 90°, rozwarty to 90° < α < 180°

  • Trzeci kąt trójkąta

    γ=180∘−α−β\gamma = 180^\circ - \alpha - \beta

    wystarczy znać dwa, żeby wyliczyć trzeci

Twierdzenie Pitagorasa

  • Twierdzenie Pitagorasa

    a2+b2=c2a^2 + b^2 = c^2

    a i b to przyprostokątne, c to przeciwprostokątna

  • Przeciwprostokątna

    c=a2+b2c = \sqrt{a^2 + b^2}

    najdłuższy bok, naprzeciw kąta prostego

  • Przyprostokątna

    b=c2−a2b = \sqrt{c^2 - a^2}

    twierdzenie użyte w drugą stronę — odejmowanie, nie dodawanie

  • Przekątna kwadratu

    d=a2d = a\sqrt{2}

    z twierdzenia dla trójkąta o przyprostokątnych a i a

  • Trójka pitagorejska 3-4-5

    32+42=523^2 + 4^2 = 5^2

    kolejne: 5-12-13, 8-15-17, 7-24-25

Objętość brył

  • Prostopadłościan

    V=a⋅b⋅cV = a \cdot b \cdot c

    a, b, c to trzy krawędzie wychodzące z jednego wierzchołka

  • Sześcian

    V=a3V = a^3

    prostopadłościan o wszystkich krawędziach równych

  • Graniastosłup i walec

    V=Pp⋅HV = P_p \cdot H

    pole podstawy razy wysokość — jeden wzór na obie bryły

  • Walec

    V=πr2hV = \pi r^2 h

    podstawą jest koło, więc P_p = πr²

  • Ostrosłup i stożek

    V=13⋅Pp⋅HV = \frac{1}{3} \cdot P_p \cdot H

    ta sama podstawa i wysokość co w graniastosłupie, ale trzy razy mniej

  • Stożek

    V=13πr2hV = \frac{1}{3} \pi r^2 h

    jedna trzecia walca o tej samej podstawie i wysokości

  • Kula

    V=43πr3V = \frac{4}{3} \pi r^3

    jedyny wzór w tym temacie z promieniem w trzeciej potędze

Pole powierzchni brył

  • Wzór ogólny

    P=Pp+PbP = P_p + P_b

    pole podstaw plus pole powierzchni bocznej

  • Prostopadłościan

    P=2(ab+bc+ac)P = 2(ab + bc + ac)

    trzy pary jednakowych ścian

  • Sześcian

    P=6a2P = 6a^2

    sześć jednakowych kwadratów

  • Walec

    P=2πr2+2πrh=2πr(r+h)P = 2\pi r^2 + 2\pi rh = 2\pi r(r + h)

    dwa koła i prostokąt o bokach 2πr oraz h

  • Ostrosłup o podstawie kwadratowej

    P=a2+2alP = a^2 + 2al

    l to apotema ściany bocznej, nie wysokość bryły

  • Stożek

    P=πr2+πrl=πr(r+l)P = \pi r^2 + \pi rl = \pi r(r + l)

    l to tworząca — odcinek od wierzchołka do brzegu podstawy

  • Tworząca stożka

    l=r2+h2l = \sqrt{r^2 + h^2}

    z twierdzenia Pitagorasa dla promienia i wysokości

  • Kula

    P=4πr2P = 4\pi r^2

    dokładnie cztery pola koła wielkiego

Jednostki objętości

  • Centymetr sześcienny

    1 cm3=1 ml1\,\text{cm}^3 = 1\,\text{ml}

    ta sama objętość, dwie nazwy

  • Decymetr sześcienny to litr

    1 dm3=1 l=1000 cm31\,\text{dm}^3 = 1\,\text{l} = 1000\,\text{cm}^3

    sześcian o krawędzi 10 cm

  • Litr i mililitr

    1 l=1000 ml1\,\text{l} = 1000\,\text{ml}

    ten sam tysiąc, inny zapis

  • Metr sześcienny

    1 m3=1000 dm3=1000 l1\,\text{m}^3 = 1000\,\text{dm}^3 = 1000\,\text{l}

    sześcian o krawędzi 1 m

  • Metr na centymetry

    1 m3=1 000 000 cm31\,\text{m}^3 = 1\,000\,000\,\text{cm}^3

    100³, bo 1 m = 100 cm

  • Reguła skali

    k razy dłuz˙sza krawędzˊ⇒k3 razy większa objętosˊcˊk \text{ razy dłuższa krawędź} \Rightarrow k^3 \text{ razy większa objętość}

    przelicznik długości podnosimy do trzeciej potęgi

Powiązane artykuły

Świetlisty trójkąt prostokątny z kwadratami zbudowanymi na bokach jako konstelacja, obok okręgu z promieniem, na tle kosmicznej mgławicy w fiolecie i magencie
Geometria

Dlaczego pole mierzymy kwadratami

Obwód liczymy w metrach, pole w metrach kwadratowych — i ta jedna dwójka w wykładniku odpowiada za większość szkolnych pomyłek. Przez nią 1 m² to nie 100 cm², dwie działki o identycznym polu mogą potrzebować zupełnie różnej długości ogrodzenia, a twierdzenie Pitagorasa mówi tak naprawdę o polach kwadratów, nie o długościach boków.

11 min