Ogród
Trawnik z siewu na działce 12 × 8 m to 96 m², a producent nasion podaje 35 g na metr kwadratowy — wychodzi 3,36 kg, czyli jeden worek 5 kg z zapasem na dosiewkę łysych miejsc.
Pole prostokąta Przelicz w konwerterze: Powierzchnia
Żeglarstwo
Grot o bomie 4,2 m i liku przednim 12 m ma pole ½ · 4,2 · 12 = 25,2 m². Po tej liczbie żaglomistrz wycenia tkaninę, a klasa regatowa ustawia limit — dwa żagle o tym samym polu mogą różnić się krojem, ale nie wielkością.
Pole i obwód trójkąta
Szycie
Okrągły blat o średnicy 120 cm ma pole π · 0,6² = 1,13 m², ale obrus ze zwisem 25 cm jest kołem o średnicy 170 cm, czyli π · 0,85² = 2,27 m². Ćwierć metra zwisu podwaja zużycie tkaniny.
Pole i obwód koła
Drabina
Drabina rozstawna z nogami nachylonymi do podłogi po 75° rozwiera się u góry na 180° − 75° − 75° = 30°. Rozstawiona płycej, po 70°, daje 40° rozwarcia: stoi pewniej, ale sięga niżej.
Kąty
Telewizor
Telewizor „55 cali" ma 139,7 cm przekątnej, a nie szerokości. Z proporcji 16 : 9 i twierdzenia Pitagorasa wychodzi 121,8 cm szerokości i 68,5 cm wysokości — dopiero te liczby przykładasz do wnęki w meblościance.
Twierdzenie Pitagorasa Przelicz w konwerterze: Długość
Akwarium
Zbiornik 100 × 40 × 50 cm mieści 200 000 cm³, czyli 200 l — i tyle samo kilogramów wody, zanim doliczysz podłoże i kamienie. Szafka pod nim ma udźwignąć ćwierć tony.
Objętość brył Przelicz w konwerterze: Objętość
Pakowanie
Pudełko 30 × 20 × 15 cm ma powierzchnię 2 · (600 + 300 + 450) = 2 700 cm², czyli 0,27 m². Rolka papieru 70 cm × 2 m to 1,4 m², więc starcza na pięć takich paczek — a z zakładkami na cztery.
Pole powierzchni brył
Kuchnia
Garnek o średnicy 24 cm napełniony na 12 cm mieści π · 12² · 12 = 5 429 cm³, czyli 5,4 l. Zupa dla dwudziestu osób po 300 ml to 6 l — i tyle właśnie wykipi na płytę.
Jednostki objętości Przelicz w konwerterze: Objętość
Ekran, okno i środek przycisku
Każdy piksel ekranu ma adres w układzie współrzędnych. Przycisk o narożnikach (320; 180) i (480; 240) ma środek w punkcie (400; 210) — to średnia współrzędnych obu narożników. Interfejs, który ma się „wyśrodkować”, liczy dokładnie ten wzór, a szerokość przycisku to 480 − 320 = 160 pikseli, czyli odejmowanie odciętych.
Układ współrzędnych
Dach i połać
Połać dachu naczółkowego ma kształt trapezu o podstawach 12 m i 8 m oraz wysokości 5 m. Jej pole to (12 + 8) · 5 / 2 = 50 m², więc przy zużyciu 7 dachówek na metr kwadratowy trzeba zamówić 350 sztuk na jedną połać.
Czworokąty Przelicz w konwerterze: Powierzchnia
Stolarka i cięcie pod 45°
Rama obrazu składana z listew ciętych pod 45° zamyka narożnik dwoma trójkątami 45°–45°–90°. Przy listwie szerokiej na 4 cm skos ma długość 4√2 ≈ 5,66 cm, więc na cztery narożniki trzeba doliczyć około 22,6 cm materiału ponad sumę boków obrazu.
Przystawanie i trójkąty szczególne
Wysokość drzewa z długości cienia
Tyczka wysoka na 1,5 m rzuca cień długi na 2 m, a drzewo obok rzuca cień 18 m. Trójkąty są podobne, więc wysokość drzewa to 1,5 · 18 / 2 = 13,5 m. Cały pomiar sprowadza się do jednej proporcji i taśmy mierniczej.
Podobieństwo i twierdzenie Talesa
Zegar i kąt między wskazówkami
Tarcza zegara to okrąg podzielony na 12 równych łuków po 30°. O godzinie 16:00 wskazówki dzieli kąt środkowy 4 · 30° = 120°, a łuk między nimi na tarczy o promieniu 12 cm ma długość 2π · 12 · 120 / 360 ≈ 25,1 cm.
Okrąg: kąty, styczna, wielokąty foremne
Grafika 2D i przesunięcie sprite’a
Postać w grze narysowana w punkcie (120; 80) ma przejść o wektor [45; −20]. Silnik dodaje współrzędne i rysuje ją w (165; 60). Ta sama operacja wykonana wstecz — od (165; 60) do punktu wyjścia — jest odejmowaniem, i to na niej opiera się cofnięcie ruchu.
Przekształcenia geometryczne
Karton i najdłuższy przedmiot, który się zmieści
Paczka o wymiarach wewnętrznych 60 × 40 × 30 cm mieści przedmiot dłuższy niż każdy jej bok: po przekątnej wchodzi √(60² + 40² + 30²) = √6100 ≈ 78 cm. To jedyna liczba, którą trzeba porównać z długością wędki, sztalugi albo listwy przed pakowaniem.
Stereometria: kąty, odcinki i przekroje
Nawigacja po siatce kilometrowej
Dwa punkty na mapie mają współrzędne (12; 5) i (20; 11) w kilometrach. Odległość w linii prostej to √(8² + 6²) = 10 km — i to jest liczba, którą pilot albo ratownik porównuje z zasięgiem, zanim policzy trasę po drogach.
Geometria analityczna
Nawigacja i poprawka na wiatr
Samolot leci z prędkością [180; 0] km/h względem powietrza, a wiatr znosi go wektorem [0; 60] km/h. Prędkość względem ziemi to suma [180; 60], czyli √(180² + 60²) ≈ 190 km/h w kierunku odchylonym od kursu — i o tę różnicę pilot koryguje nawigację.
Wektory na płaszczyźnie

Wzory działu

Dział: Geometria

Pole prostokąta

Pole prostokąta
$P = a \cdot b$
a i b to długości sąsiednich boków
Pole kwadratu
$P = a^2$
kwadrat to prostokąt o równych bokach
Obwód prostokąta
$Obw = 2a + 2b = 2(a + b)$
suma długości wszystkich czterech boków
Bok z pola
$a = \frac{P}{b}, \quad b = \frac{P}{a}$
odwrotność wzoru na pole — dzielenie zamiast mnożenia
Jednostki pola
$1\,\text{m}^2 = 10\,000\,\text{cm}^2$
bok rośnie 100 razy, pole 100 · 100 razy

Pole i obwód trójkąta

Pole trójkąta
$P = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h$
a to podstawa, h to wysokość opuszczona na tę podstawę
Obwód trójkąta
$Obw = a + b + c$
suma długości trzech boków
Pole trójkąta prostokątnego
$P = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b$
przyprostokątne są dla siebie podstawą i wysokością
Wysokość z pola
$h = \frac{2P}{a}$
odwrócony wzór na pole
Nierówność trójkąta
$|a - b| < c < a + b$
z dowolnych trzech odcinków nie da się zbudować trójkąta

Pole i obwód koła

Pole koła
$P = \pi r^2$
r to promień
Obwód koła (długość okręgu)
$Obw = 2\pi r = \pi d$
d = 2r, więc oba zapisy znaczą to samo
Średnica a promień
$d = 2r$
średnica jest dwa razy dłuższa od promienia
Liczba π
$\pi = \frac{Obw}{d} \approx 3{,}14$
ten sam iloraz dla każdego okręgu — stąd jego nazwa
Promień z pola
$r = \sqrt{\frac{P}{\pi}}$
odwrócony wzór na pole

Kąty

Suma kątów w trójkącie
$\alpha + \beta + \gamma = 180^\circ$
zawsze, w każdym trójkącie na płaszczyźnie
Kąty dopełniające
$\alpha + \beta = 90^\circ$
razem tworzą kąt prosty
Kąty przyległe
$\alpha + \beta = 180^\circ$
razem tworzą kąt półpełny — leżą na jednej prostej
Kąt ostry
$0^\circ < \alpha < 90^\circ$
kąt prosty to 90°, rozwarty to 90° < α < 180°
Trzeci kąt trójkąta
$\gamma = 180^\circ - \alpha - \beta$
wystarczy znać dwa, żeby wyliczyć trzeci
Kąty odpowiadające
$\alpha = \beta$
przy dwóch prostych równoległych przeciętych sieczną
Kąty naprzemianległe
$\alpha = \gamma$
leżą między prostymi, po przeciwnych stronach siecznej
Kąty jednostronne wewnętrzne
$\alpha + \delta = 180^\circ$
jedyna z trzech par, która się dopełnia zamiast być równa
Suma kątów w wielokącie
$S_n = (n - 2) \cdot 180^\circ$
n − 2 trójkąty po 180° każdy

Twierdzenie Pitagorasa

Twierdzenie Pitagorasa
$a^2 + b^2 = c^2$
a i b to przyprostokątne, c to przeciwprostokątna
Przeciwprostokątna
$c = \sqrt{a^2 + b^2}$
najdłuższy bok, naprzeciw kąta prostego
Przyprostokątna
$b = \sqrt{c^2 - a^2}$
twierdzenie użyte w drugą stronę — odejmowanie, nie dodawanie
Przekątna kwadratu
$d = a\sqrt{2}$
z twierdzenia dla trójkąta o przyprostokątnych a i a
Trójka pitagorejska 3-4-5
$3^2 + 4^2 = 5^2$
kolejne: 5-12-13, 8-15-17, 7-24-25

Objętość brył

Prostopadłościan
$V = a \cdot b \cdot c$
a, b, c to trzy krawędzie wychodzące z jednego wierzchołka
Sześcian
$V = a^3$
prostopadłościan o wszystkich krawędziach równych
Graniastosłup i walec
$V = P_p \cdot H$
pole podstawy razy wysokość — jeden wzór na obie bryły
Walec
$V = \pi r^2 h$
podstawą jest koło, więc P_p = πr²
Ostrosłup i stożek
$V = \frac{1}{3} \cdot P_p \cdot H$
ta sama podstawa i wysokość co w graniastosłupie, ale trzy razy mniej
Stożek
$V = \frac{1}{3} \pi r^2 h$
jedna trzecia walca o tej samej podstawie i wysokości
Kula
$V = \frac{4}{3} \pi r^3$
jedyny wzór w tym temacie z promieniem w trzeciej potędze

Pole powierzchni brył

Wzór ogólny
$P = P_p + P_b$
pole podstaw plus pole powierzchni bocznej
Prostopadłościan
$P = 2(ab + bc + ac)$
trzy pary jednakowych ścian
Sześcian
$P = 6a^2$
sześć jednakowych kwadratów
Walec
$P = 2\pi r^2 + 2\pi rh = 2\pi r(r + h)$
dwa koła i prostokąt o bokach 2πr oraz h
Ostrosłup o podstawie kwadratowej
$P = a^2 + 2al$
l to apotema ściany bocznej, nie wysokość bryły
Stożek
$P = \pi r^2 + \pi rl = \pi r(r + l)$
l to tworząca — odcinek od wierzchołka do brzegu podstawy
Tworząca stożka
$l = \sqrt{r^2 + h^2}$
z twierdzenia Pitagorasa dla promienia i wysokości
Kula
$P = 4\pi r^2$
dokładnie cztery pola koła wielkiego

Jednostki objętości

Centymetr sześcienny
$1\,\text{cm}^3 = 1\,\text{ml}$
ta sama objętość, dwie nazwy
Decymetr sześcienny to litr
$1\,\text{dm}^3 = 1\,\text{l} = 1000\,\text{cm}^3$
sześcian o krawędzi 10 cm
Litr i mililitr
$1\,\text{l} = 1000\,\text{ml}$
ten sam tysiąc, inny zapis
Metr sześcienny
$1\,\text{m}^3 = 1000\,\text{dm}^3 = 1000\,\text{l}$
sześcian o krawędzi 1 m
Metr na centymetry
$1\,\text{m}^3 = 1\,000\,000\,\text{cm}^3$
100³, bo 1 m = 100 cm
Reguła skali
$k \text{ razy dłuższa krawędź} \Rightarrow k^3 \text{ razy większa objętość}$
przelicznik długości podnosimy do trzeciej potęgi

Układ współrzędnych

Współrzędne punktu
$A = (x_A,\ y_A)$
najpierw odcięta, potem rzędna
Znaki w ćwiartkach
$\text{I}: (+,\, +), \quad \text{II}: (-,\, +), \quad \text{III}: (-,\, -), \quad \text{IV}: (+,\, -)$
numerujemy przeciwnie do wskazówek zegara
Odcinek równoległy do OX
$|AB| = |x_B - x_A|$
obie rzędne są równe
Odcinek równoległy do OY
$|AB| = |y_B - y_A|$
obie odcięte są równe
Środek odcinka
$S = \left( \frac{x_A + x_B}{2},\ \frac{y_A + y_B}{2} \right)$
średnia arytmetyczna współrzędnych końców
Drugi koniec odcinka
$B = (2x_S - x_A,\ 2y_S - y_A)$
ten sam wzór odczytany wstecz

Czworokąty

Pole trapezu
$P = \frac{(a + b) \cdot h}{2}$
a i b to podstawy, h wysokość między nimi
Pole równoległoboku
$P = a \cdot h$
h to wysokość opuszczona na bok a, nie bok sąsiedni
Pole rombu z przekątnych
$P = \frac{e \cdot f}{2}$
e i f to przekątne, zawsze prostopadłe
Suma kątów czworokąta
$\alpha + \beta + \gamma + \delta = 360^\circ$
dwa trójkąty po 180°
Kąty przy tym samym ramieniu
$\alpha + \beta = 180^\circ$
w trapezie i w równoległoboku
Podstawa trapezu z pola
$b = \frac{2P}{h} - a$
wzór na pole odczytany wstecz

Przystawanie i trójkąty szczególne

Przystawanie trójkątów
$\triangle ABC \cong \triangle DEF$
ten sam kształt i ten sam rozmiar
Trójkąt 45°–45°–90°
$a : a : a\sqrt{2}$
połowa kwadratu o boku a
Trójkąt 30°–60°–90°
$a : a\sqrt{3} : 2a$
połowa trójkąta równobocznego o boku 2a
Wysokość trójkąta równobocznego
$h = \frac{a\sqrt{3}}{2}$
krótszy bok to a/2, przeciwprostokątna a
Pole trójkąta równobocznego
$P = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}$
podstawa a razy wysokość, przez dwa

Podobieństwo i twierdzenie Talesa

Skala podobieństwa
$k = \frac{a'}{a}$
iloraz boku obrazu i boku oryginału
Twierdzenie Talesa
$\frac{|SA|}{|SC|} = \frac{|AB|}{|CD|}$
odcinki na ramionach kąta przeciętych równoległymi
Obwód figury podobnej
$L' = k \cdot L$
każda długość rośnie k razy
Pole figury podobnej
$P' = k^2 \cdot P$
pole zależy od dwóch wymiarów
Objętość bryły podobnej
$V' = k^3 \cdot V$
objętość zależy od trzech wymiarów

Okrąg: kąty, styczna, wielokąty foremne

Kąt środkowy i wpisany
$\alpha = 2\beta$
oba oparte na tym samym łuku
Kąt oparty na średnicy
$\beta = 90^\circ \iff AB \ \text{jest średnicą}$
twierdzenie Talesa o okręgu
Odcinek stycznej
$t^2 = d^2 - r^2$
d to odległość punktu od środka okręgu
Cięciwa i jej odległość od środka
$\left(\frac{c}{2}\right)^2 + h^2 = r^2$
prostopadła ze środka dzieli cięciwę na połowy
Kąt wielokąta foremnego
$\alpha_n = \frac{(n - 2) \cdot 180^\circ}{n}$
kąt środkowy to 360°/n
Długość łuku
$l = 2\pi r \cdot \frac{\alpha}{360^\circ}$
ułamek obwodu wyznaczony przez kąt
Pole wycinka koła
$P = \pi r^2 \cdot \frac{\alpha}{360^\circ}$
ten sam ułamek, tylko pola

Przekształcenia geometryczne

Symetria względem osi OX
$S_{OX}: (x,\ y) \mapsto (x,\ -y)$
zmienia znak rzędnej
Symetria względem osi OY
$S_{OY}: (x,\ y) \mapsto (-x,\ y)$
zmienia znak odciętej
Symetria względem początku układu
$S_{O}: (x,\ y) \mapsto (-x,\ -y)$
to samo co obrót o 180°
Symetria względem punktu S(p, q)
$S_{S}: (x,\ y) \mapsto (2p - x,\ 2q - y)$
S jest środkiem odcinka AA′
Przesunięcie o wektor [a, b]
$T_{\vec{v}}: (x,\ y) \mapsto (x + a,\ y + b)$
obraz wstecz to odejmowanie

Stereometria: kąty, odcinki i przekroje

Przekątna prostopadłościanu
$D^2 = a^2 + b^2 + H^2$
a i b to boki podstawy, H wysokość
Przekątna sześcianu
$D = a\sqrt{3}$
przypadek a = b = c
Kąt między przekątną a podstawą
$\operatorname{tg} \alpha = \frac{H}{d}$
d to przekątna podstawy
Apotema ostrosłupa
$m^2 = H^2 + \left(\frac{a}{2}\right)^2$
stoi nad połową boku podstawy
Krawędź boczna ostrosłupa
$b^2 = H^2 + \left(\frac{a\sqrt{2}}{2}\right)^2$
stoi nad połową przekątnej podstawy
Przekrój przekątny sześcianu
$P = a^2\sqrt{2}$
prostokąt o bokach a i a√2

Geometria analityczna

Odległość dwóch punktów
$|AB| = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2}$
twierdzenie Pitagorasa na różnicach współrzędnych
Współczynnik kierunkowy
$a = \frac{y_B - y_A}{x_B - x_A}$
przyrost pionowy przez poziomy
Postać kierunkowa prostej
$y = ax + b$
b to rzędna punktu przecięcia z osią OY
Postać ogólna prostej
$Ax + By + C = 0$
obejmuje też prostą pionową, dla B = 0
Warunek równoległości
$a_1 = a_2 \iff k \parallel l$
te same współczynniki kierunkowe
Warunek prostopadłości
$a_1 \cdot a_2 = -1 \iff k \perp l$
współczynnik odwrócony i ze zmienionym znakiem
Równanie okręgu
$(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2$
środek S(a, b), promień r

Wektory na płaszczyźnie

Współrzędne wektora
$\vec{AB} = [x_B - x_A,\ y_B - y_A]$
koniec minus początek
Długość wektora
$|\vec{v}| = \sqrt{x^2 + y^2}$
twierdzenie Pitagorasa na współrzędnych
Suma wektorów
$\vec{u} + \vec{v} = [u_x + v_x,\ u_y + v_y]$
dodajemy odpowiadające sobie współrzędne
Różnica wektorów
$\vec{u} - \vec{v} = [u_x - v_x,\ u_y - v_y]$
to samo co dodanie wektora przeciwnego
Mnożenie przez liczbę
$k \cdot \vec{v} = [k x,\ k y]$
ujemne k odwraca zwrot
Długość po przemnożeniu
$|k \cdot \vec{v}| = |k| \cdot |\vec{v}|$
skaluje się wartością bezwzględną

Powiązane artykuły

Świetlisty trójkąt prostokątny z kwadratami zbudowanymi na bokach jako konstelacja, obok okręgu z promieniem, na tle kosmicznej mgławicy w fiolecie i magencie

Geometria

Dlaczego pole mierzymy kwadratami

Obwód liczymy w metrach, pole w metrach kwadratowych — i ta jedna dwójka w wykładniku odpowiada za większość szkolnych pomyłek. Przez nią 1 m² to nie 100 cm², dwie działki o identycznym polu mogą potrzebować zupełnie różnej długości ogrodzenia, a twierdzenie Pitagorasa mówi tak naprawdę o polach kwadratów, nie o długościach boków.

11 min