Czym różni się podobieństwo od przystawania?

Figury przystające mają odpowiednie boki równe, a podobne — tylko proporcjonalne. Podobieństwo zachowuje kąty i kształt, ale dopuszcza zmianę rozmiaru. Przystawanie jest szczególnym przypadkiem podobieństwa, w którym skala wynosi 1.

Jak brzmi twierdzenie Talesa?

Jeżeli ramiona kąta przetniemy dwiema prostymi równoległymi, to odcinki wyznaczone na jednym ramieniu są proporcjonalne do odpowiadających im odcinków na drugim ramieniu. W zapisie: |SA| / |SC| = |AB| / |CD|. Twierdzenie działa też w drugą stronę — jeśli odpowiednie odcinki są proporcjonalne, to proste są równoległe.

Jak obliczyć skalę podobieństwa?

Dzielimy długość boku obrazu przez długość odpowiadającego mu boku oryginału: k = a′ / a. Skala większa od 1 oznacza powiększenie, mniejsza od 1 — pomniejszenie. Warto sprawdzić ją na dwóch parach boków: jeśli iloraz nie wychodzi ten sam, figury nie są podobne.

Dlaczego pole rośnie k razy do kwadratu, a nie k razy?

Bo pole powstaje z pomnożenia dwóch długości, a każda z nich rośnie k razy — więc iloczyn rośnie k · k razy. Analogicznie objętość powstaje z trzech długości i rośnie k³ razy. Przy skali 3 pole jest dziewięciokrotne, a objętość dwudziestosiedmiokrotna.

Kiedy dwa trójkąty są podobne?

Wystarczy jedna z trzech cech: dwa kąty jednego są równe dwóm kątom drugiego (kąt-kąt), wszystkie trzy pary boków są proporcjonalne (bok-bok-bok) albo dwie pary boków są proporcjonalne i kąty między nimi równe (bok-kąt-bok). Cecha kąt-kąt jest w praktyce najczęstsza, bo trzeci kąt dopełnia się do 180° sam.

Poziom średni

Podobieństwo i twierdzenie Talesa

Dwie figury podobne mają ten sam kształt i różny rozmiar, a wszystko, co je łączy, mieści się w jednej liczbie — w skali. Twierdzenie Talesa zamienia równoległość w proporcję, a trzy potęgi skali wyjaśniają, dlaczego dwa razy większy model waży osiem razy tyle.

Zanim zaczniesz

Ten temat opiera się na wcześniejszych zagadnieniach. Zanim zaczniesz, warto przerobić poniższe lekcje — dzięki nim wszystko pójdzie gładko:

Przystawanie i trójkąty szczególneTrzy cechy przystawania mówią, ile danych wystarczy, żeby dwa trójkąty musiały być identyczne. Dwa trójkąty szczególne — połowa kwadratu i połowa trójkąta równobocznego — mają stałe stosunki boków, więc jedna długość wystarcza do wyznaczenia pozostałych bez liczenia pierwiastków od nowa.
Proporcje i skalaProporcja to równość dwóch stosunków — jedno równanie, które przelicza przepis z czterech osób na sześć, a centymetry na mapie na kilometry w terenie. Poznaj mnożenie na krzyż, proporcjonalność prostą, podział w zadanym stosunku i skalę w obie strony.

Gdzie się tego używa

Konkretne sytuacje, w których liczysz dokładnie tak, jak uczy ta lekcja:

Wysokość drzewa z długości cienia
Tyczka wysoka na 1,5 m rzuca cień długi na 2 m, a drzewo obok rzuca cień 18 m. Trójkąty są podobne, więc wysokość drzewa to 1,5 · 18 / 2 = 13,5 m. Cały pomiar sprowadza się do jednej proporcji i taśmy mierniczej.
Mapa i teren
Na mapie w skali 1 : 25 000 odcinek 8 cm odpowiada 8 · 25 000 = 200 000 cm, czyli 2 km w terenie. Uwaga na pola: działka o powierzchni 4 cm² na mapie ma w rzeczywistości 4 · 25 000² cm² = 250 000 m², a nie 4 · 25 000.
Zobacz lekcję: Proporcje i skala
Model architektoniczny
Makieta budynku w skali 1 : 50 ma objętość 24 dm³. Budynek jest 50 razy większy w każdym wymiarze, więc jego objętość to 24 · 50³ = 3 000 000 dm³, czyli 3000 m³. Mnożenie przez samą pięćdziesiątkę zaniżyłoby wynik 2500 razy.
Cukiernia i tort dwa razy większy
Tort o średnicy 30 cm ma dwa razy większą średnicę niż tort o średnicy 15 cm, ale przy tej samej wysokości warstwy jego pole jest 2² = 4 razy większe — więc masy nadzienia i lukru trzeba przygotować czterokrotnie więcej, a nie dwukrotnie.
Fotografia i wielkość obrazu
Rzutnik ustawiony 2 m od ekranu daje obraz szeroki na 1,2 m. Po odsunięciu go na 5 m trójkąt świetlny jest podobny w skali 5 / 2 = 2,5, więc obraz ma 1,2 · 2,5 = 3 m szerokości — i cztery razy z okładem większą powierzchnię, przez co jest wyraźnie ciemniejszy.

Wszystkie wzory

Skala podobieństwa
$k = \frac{a'}{a}$
iloraz boku obrazu i boku oryginału
Twierdzenie Talesa
$\frac{|SA|}{|SC|} = \frac{|AB|}{|CD|}$
odcinki na ramionach kąta przeciętych równoległymi
Obwód figury podobnej
$L' = k \cdot L$
każda długość rośnie k razy
Pole figury podobnej
$P' = k^2 \cdot P$
pole zależy od dwóch wymiarów
Objętość bryły podobnej
$V' = k^3 \cdot V$
objętość zależy od trzech wymiarów

Dwie figury są podobne, gdy mają ten sam kształt, a różnią się wyłącznie rozmiarem. Cała ta różnica mieści się w jednej liczbie — skali podobieństwa $k$ , czyli ilorazie odpowiadających sobie długości:

k = \frac{a'}{a}

Skala większa od jedynki oznacza powiększenie, mniejsza — pomniejszenie, a $k = 1$ to przystawanie. To ten sam pomysł, który stoi za skalą mapy, tylko przeniesiony z rysunku na dowolną figurę.

Kiedy trójkąty są podobne

Podobnie jak przy przystawaniu, nie trzeba sprawdzać wszystkiego:

Cecha	Co musi się zgadzać
kąt-kąt	dwa kąty jednego trójkąta równe dwóm kątom drugiego
bok-bok-bok	wszystkie trzy pary boków proporcjonalne
bok-kąt-bok	dwie pary boków proporcjonalne i kąt między nimi równy

W praktyce najczęściej używa się pierwszej: skoro suma kątów trójkąta wynosi $180^\circ$ , to zgodność dwóch kątów wymusza zgodność trzeciego.

Twierdzenie Talesa

Przetnijmy ramiona kąta dwiema prostymi równoległymi. Powstają dwa trójkąty o wspólnym wierzchołku i równych kątach — a więc podobne. Zapisana proporcjami, ta obserwacja nazywa się twierdzeniem Talesa:

Proste AC i BD są równoległe. Odcinki odcięte na jednym ramieniu mają się do siebie tak, jak odcinki na drugim.

\frac{|SA|}{|SC|} = \frac{|AB|}{|CD|}

Twierdzenie działa w obie strony: jeżeli odpowiednie odcinki są proporcjonalne, to proste tnące są równoległe. To właśnie ta druga wersja pozwala sprawdzić równoległość samą taśmą mierniczą, bez kątomierza.

Na jednym ramieniu kąta |SA| = 4 cm i |AB| = 6 cm, na drugim |SC| = 10 cm. Oblicz |CD|, jeśli proste AC i BD są równoległe.

Prosta równoległa do boku trójkąta

Ten sam rysunek z ramionami zakończonymi na zewnętrznej równoległej to najczęstsza szkolna sytuacja: prosta równoległa do boku trójkąta odcina trójkąt podobny do wyjściowego. Wszystkie trzy boki mniejszego trójkąta są wtedy przeskalowane tą samą liczbą.

Odcinek DE jest równoległy do boku AB, więc trójkąt CDE jest podobny do trójkąta CAB w skali 4 : 7.

Trzeba przy tym pilnować, od czego liczymy odcinek. Proporcja $\tfrac{|CD|}{|CA|}$ dotyczy odcinków mierzonych od wierzchołka, a $\tfrac{|CD|}{|DA|}$ — odcinków sąsiadujących ze sobą. Obie są poprawne, ale dają różne liczby i pomylenie ich jest najczęstszym błędem w zadaniach z Talesa.

Figury i bryły podobne: k, k², k³

Skala działa na długości. Na pola i objętości działa jej potęga, i to jest jedyna rzecz z tej lekcji, która zaskakuje przy pierwszym spotkaniu.

L' = k \cdot L, \qquad P' = k^2 \cdot P, \qquad V' = k^3 \cdot V

Powód jest prosty: pole powstaje z pomnożenia dwóch długości, a objętość z trzech. Jeżeli każda długość rośnie $k$ razy, to iloczyn dwóch rośnie $k^2$ razy, a iloczyn trzech — $k^3$ razy.

Prostopadłościan o wymiarach podwojonych względem wyjściowego. Mieści osiem kopii oryginału, choć „jest tylko dwa razy większy”.

Skala $k$	Obwód	Pole	Objętość
$2$	$2\times$	$4\times$	$8\times$
$3$	$3\times$	$9\times$	$27\times$
$\tfrac{1}{2}$	$0{,}5\times$	$0{,}25\times$	$0{,}125\times$

Dwa graniastosłupy są podobne w skali k = 3. Mniejszy ma pole powierzchni 20 cm² i objętość 12 cm³. Ile mają wynosić te wielkości dla większego?

Ta sama zależność czytana wstecz pozwala wyznaczyć skalę z pól albo objętości: jeśli $P' : P = 16$ , to $k = \sqrt{16} = 4$ , a jeśli $V' : V = 64$ , to $k = \sqrt[3]{64} = 4$ .

Ćwiczenia

Rozwiąż zestaw zadań — trudność rośnie z każdym kolejnym. Na końcu zobaczysz wynik i listę pomyłek do powtórki.

Zadanie 1 z 8Punkty: 0

Skala podobieństwa: a = 6 cm, a′ = 18 cm

Częste błędy

Mnożenie pola przez skalę zamiast przez jej kwadrat — przy $k = 3$ pole rośnie dziewięciokrotnie, nie trzykrotnie.
Mnożenie objętości przez kwadrat skali — objętość zależy od trzech wymiarów, więc rośnie $k^3$ razy.
Mieszanie odcinków „od wierzchołka” z odcinkami „między prostymi” w twierdzeniu Talesa — trzeba wybrać jedną konwencję i trzymać się jej po obu stronach proporcji.
Uznawanie figur o równych kątach za przystające — równe kąty dają podobieństwo, a nie równość boków.
Zapominanie o odwrotnym twierdzeniu Talesa — proporcjonalność odcinków jest warunkiem wystarczającym równoległości, nie tylko wnioskiem z niej.
Liczenie skali z boków, które sobie nie odpowiadają — trzeba dzielić bok przez bok mu odpowiadający, a nie dowolne dwa.

Karta wzorów

Temat: Podobieństwo i twierdzenie Talesa

Skala podobieństwa
$k = \frac{a'}{a}$
iloraz boku obrazu i boku oryginału
Twierdzenie Talesa
$\frac{|SA|}{|SC|} = \frac{|AB|}{|CD|}$
odcinki na ramionach kąta przeciętych równoległymi
Obwód figury podobnej
$L' = k \cdot L$
każda długość rośnie k razy
Pole figury podobnej
$P' = k^2 \cdot P$
pole zależy od dwóch wymiarów
Objętość bryły podobnej
$V' = k^3 \cdot V$
objętość zależy od trzech wymiarów

Ramiona kąta przecięte dwiema prostymi równoległymi. Odcinki na jednym ramieniu są proporcjonalne do odpowiednich odcinków na drugim.

Trzy potęgi skali: przy k = 2 obwód rośnie dwukrotnie, pole czterokrotnie, a objętość ośmiokrotnie.

Najczęstsze pytania

Powiązane artykuły

Świetlisty trójkąt prostokątny z kwadratami zbudowanymi na bokach jako konstelacja, obok okręgu z promieniem, na tle kosmicznej mgławicy w fiolecie i magencie

Geometria

Dlaczego pole mierzymy kwadratami

Obwód liczymy w metrach, pole w metrach kwadratowych — i ta jedna dwójka w wykładniku odpowiada za większość szkolnych pomyłek. Przez nią 1 m² to nie 100 cm², dwie działki o identycznym polu mogą potrzebować zupełnie różnej długości ogrodzenia, a twierdzenie Pitagorasa mówi tak naprawdę o polach kwadratów, nie o długościach boków.

11 min