Przystawanie i trójkąty szczególne

Dwa trójkąty są przystające, gdy mają ten sam kształt i ten sam rozmiar — jeden można nałożyć na drugi tak, żeby się pokryły. Pytanie, które robi z tego matematykę, brzmi: ile danych trzeba sprawdzić, żeby mieć pewność? Odpowiedź — trzy odpowiednio dobrane — jest treścią pierwszej połowy tej lekcji. Druga połowa pokazuje dwa trójkąty, w których wystarcza już jedna liczba, bo pozostałe wynikają ze stałych proporcji.

Trzy cechy przystawania

Trójkąt ma sześć elementów: trzy boki i trzy kąty. Okazuje się, że trzy z nich — o ile dobrze wybrane — wyznaczają pozostałe.

Cecha BBB mówi, że trójkąt o zadanych trzech bokach jest tylko jeden — dlatego konstrukcja trójkąta z trzech odcinków zawsze daje ten sam kształt, a krata z trójkątów jest sztywna, podczas gdy krata z czworokątów się składa.

Nie ma natomiast cechy „bok-bok-kąt”, w której kąt nie leży między danymi bokami. Takie trzy dane potrafią pasować do dwóch różnych trójkątów naraz, więc niczego nie rozstrzygają.

Zapis $\triangle ABC \cong \triangle DEF$ niesie więcej niż samo słowo „przystające”: kolejność liter mówi, który wierzchołek odpowiada któremu, więc od razu wiadomo, że $|AB| = |DE|$ i że kąt przy $A$ równa się kątowi przy $D$.

Trójkąt 45°–45°–90° to połowa kwadratu

Przetnijmy kwadrat o boku $a$ przekątną. Powstają dwa trójkąty prostokątne o dwóch równych przyprostokątnych — a skoro trójkąt jest równoramienny, to kąty przy podstawie są równe i mają po $45^\circ$.

Długość przekątnej daje twierdzenie Pitagorasa:

Stąd stosunek boków, który warto znać na pamięć:

Działa on w obie strony. Mając przyprostokątną, mnożymy przez $\sqrt{2}$; mając przeciwprostokątną, dzielimy przez $\sqrt{2}$, czyli mnożymy przez $\tfrac{\sqrt{2}}{2}$ — usuwanie niewymierności z mianownika przydaje się tu przy każdym zadaniu.

Trójkąt 30°–60°–90° to połowa trójkąta równobocznego

Ten trójkąt nie jest połową kwadratu, tylko połową trójkąta równobocznego, i to wyjaśnia wszystkie jego proporcje naraz.

Dowód

Weźmy trójkąt równoboczny o boku $2a$ i poprowadźmy wysokość z jednego wierzchołka.

1. Wysokość dzieli trójkąt na dwa trójkąty, które są przystające na mocy cechy BBB: mają wspólną wysokość, po jednym boku $2a$ i po połowie podstawy.
2. Skoro są przystające, to dzielą podstawę na dwie równe części, więc krótsza przyprostokątna ma długość $a$, a przeciwprostokątna pozostaje bokiem trójkąta równobocznego, czyli $2a$.
3. Kąt przy podstawie ma $60^\circ$ (bo trójkąt jest równoboczny), a kąt przy wierzchołku został przepołowiony, więc ma $30^\circ$.
4. Drugą przyprostokątną liczymy z twierdzenia Pitagorasa:

Stąd cała zależność, w której $a$ jest bokiem naprzeciw kąta $30^\circ$:

Najczęstszy błąd polega na przypisaniu $a\sqrt{3}$ do złego boku. Reguła jest prosta: naprzeciw większego kąta leży dłuższy bok, a $\sqrt{3} \approx 1{,}73$ jest większe od $1$ i mniejsze od $2$.

Wysokość i pole trójkąta równobocznego

Z dowodu powyżej wynika od razu wysokość trójkąta równobocznego o boku $a$: krótsza przyprostokątna ma $\tfrac{a}{2}$, więc wysokość to $\tfrac{a}{2} \cdot \sqrt{3}$:

Pole liczymy zwykłym wzorem „podstawa razy wysokość przez dwa”:

To jedyne dwa wzory z tej lekcji, które warto pamiętać osobno — reszta wynika z dwóch stosunków boków.

Częste błędy

• Przypisywanie $a\sqrt{3}$ krótszej przyprostokątnej — naprzeciw kąta $30^\circ$ leży bok $a$, a $a\sqrt{3}$ leży naprzeciw $60^\circ$.
• Mylenie przystawania z podobieństwem — przystające trójkąty mają równe boki, podobne mają je tylko proporcjonalne.
• Uznawanie „bok-bok-kąt” za cechę przystawania — kąt musi leżeć między danymi bokami.
• Dzielenie przez $\sqrt{2}$ bez usunięcia niewymierności — $\tfrac{12}{\sqrt{2}}$ zapisujemy jako $6\sqrt{2}$.
• Branie połowy boku za wysokość trójkąta równobocznego — wysokość to $\tfrac{a\sqrt{3}}{2}$, czyli około $0{,}87a$, a nie $0{,}5a$.
• Liczenie pola trójkąta równobocznego jako $\tfrac{a^2}{2}$ — brakuje wtedy czynnika $\sqrt{3}$ i mianownik jest zły.