Jaki jest wzór na pole trapezu?

Pole trapezu to średnia długość podstaw pomnożona przez wysokość: P = (a + b) · h / 2. Wzór wynika z rozcięcia trapezu na prostokąt i dwa trójkąty albo z dostawienia drugiego, obróconego trapezu — dwa trapezy tworzą wtedy równoległobok o podstawie a + b i wysokości h, więc jeden ma połowę jego pola.

Czym różni się romb od równoległoboku?

Romb to równoległobok, który ma wszystkie cztery boki równej długości. Każdy romb jest więc równoległobokiem, ale nie odwrotnie. Praktyczna różnica jest w przekątnych: w rombie są one prostopadłe i dzielą kąty na połowy, dzięki czemu pole można policzyć jako połowę ich iloczynu.

Czy wysokość równoległoboku to jego bok?

Nie. Wysokość jest odcinkiem prostopadłym do podstawy, a bok ukośny jest od niej dłuższy. Mnożenie dwóch boków równoległoboku daje wynik zawyżony — to najczęstszy błąd w tym temacie. Prostokąt jest wyjątkiem tylko dlatego, że jego bok akurat pokrywa się z wysokością.

Ile wynosi suma kątów czworokąta?

Zawsze 360°, niezależnie od kształtu. Wynika to z przecięcia czworokąta przekątną na dwa trójkąty: każdy ma sumę kątów 180°, a razem dają 360°. Znając trzy kąty, czwarty obliczamy odejmowaniem od pełnego kąta.

Jak obliczyć drugą podstawę trapezu, znając pole?

Odwracamy wzór na pole. Z P = (a + b) · h / 2 wynika a + b = 2P / h, więc b = 2P / h − a. Dla P = 60 cm², a = 10 cm i h = 6 cm otrzymujemy b = 120 / 6 − 10 = 10 cm. Warto sprawdzić wynik, podstawiając go z powrotem do wzoru na pole.

Poziom podstawowy

Czworokąty: trapez, równoległobok, romb

Trzy czworokąty, których pola nie są iloczynem dwóch boków — i jeden pomysł, który je wszystkie liczy: przecięcie figury tak, żeby wyszedł prostokąt albo dwa trójkąty. Do tego kąty, które zawsze sumują się do 360°, i przekątne, po których poznaje się romb.

Zanim zaczniesz

Ten temat opiera się na wcześniejszych zagadnieniach. Zanim zaczniesz, warto przerobić poniższe lekcje — dzięki nim wszystko pójdzie gładko:

Gdzie się tego używa

Konkretne sytuacje, w których liczysz dokładnie tak, jak uczy ta lekcja:

Dach i połać
Połać dachu naczółkowego ma kształt trapezu o podstawach 12 m i 8 m oraz wysokości 5 m. Jej pole to (12 + 8) · 5 / 2 = 50 m², więc przy zużyciu 7 dachówek na metr kwadratowy trzeba zamówić 350 sztuk na jedną połać.
Przelicz w konwerterze: Powierzchnia
Stolarka i blat ze skosem
Blat wchodzący w narożnik ma kształt trapezu o podstawach 90 cm i 60 cm i głębokości 60 cm. Pole to (90 + 60) · 60 / 2 = 4500 cm², czyli 0,45 m² — i tyle płyty trzeba doliczyć do zamówienia, a obrzeże kupuje się na obwód, nie na pole.
Działka w kształcie trapezu
Działka ma dwa równoległe boki 40 m i 26 m przy szerokości 25 m. Jej powierzchnia wynosi (40 + 26) · 25 / 2 = 825 m², więc przy cenie 180 zł za metr kwadratowy operat opiewa na 148 500 zł. Odejmowanie samych boków nie dałoby tu żadnej sensownej liczby.
Posadzka w jodełkę
Płytka w kształcie rombu ma przekątne 12 cm i 9 cm, więc jej pole to 12 · 9 / 2 = 54 cm². Na metr kwadratowy podłogi wchodzi 10 000 / 54 ≈ 186 płytek, i to jest liczba, od której zaczyna się kosztorys — zapas na docinanie dolicza się osobno.
Znak drogowy i farba
Równoległoboczne pole naprowadzające na jezdni ma podstawę 3 m i wysokość 1,2 m, czyli 3 · 1,2 = 3,6 m² powierzchni. Farba do oznakowania wydajnością 0,8 kg na metr kwadratowy oznacza niecałe 3 kg materiału na jeden taki znak.

Wszystkie wzory

Pole trapezu
$P = \frac{(a + b) \cdot h}{2}$
a i b to podstawy, h wysokość między nimi
Pole równoległoboku
$P = a \cdot h$
h to wysokość opuszczona na bok a, nie bok sąsiedni
Pole rombu z przekątnych
$P = \frac{e \cdot f}{2}$
e i f to przekątne, zawsze prostopadłe
Suma kątów czworokąta
$\alpha + \beta + \gamma + \delta = 360^\circ$
dwa trójkąty po 180°
Kąty przy tym samym ramieniu
$\alpha + \beta = 180^\circ$
w trapezie i w równoległoboku
Podstawa trapezu z pola
$b = \frac{2P}{h} - a$
wzór na pole odczytany wstecz

Prostokąt ma pole równe iloczynowi boków, bo jego boki są prostopadłe. Trapez, równoległobok i romb tej wygody nie mają — ich boki się przechylają, więc mnożenie dwóch długości daje wynik za duży. Wszystkie trzy wzory z tej lekcji wracają jednak do tej samej sztuczki: przecinamy figurę tak, żeby wyszedł z niej prostokąt albo dwa trójkąty.

Kto jest kim wśród czworokątów

Nazwy układają się w drabinę, a nie w listę rozłącznych szufladek:

Trapez ma co najmniej jedną parę boków równoległych. Te dwa boki nazywamy podstawami, dwa pozostałe — ramionami.
Równoległobok ma obie pary boków równoległych, więc jest szczególnym trapezem.
Romb to równoległobok o wszystkich bokach równych.
Prostokąt to równoległobok o kątach prostych, a kwadrat jest jednocześnie rombem i prostokątem.

Dlatego każdy kwadrat jest rombem, ale nie każdy romb jest kwadratem — i dlatego wzór na pole równoległoboku działa też dla prostokąta.

Pole trapezu

Wysokość $h$ to odcinek prostopadły do obu podstaw. Nie jest nim ramię, nawet jeśli wygląda podobnie na rysunku.

Trapez o podstawach 8 cm i 4 cm. Znacznik kąta prostego pokazuje, którym odcinkiem jest wysokość.

Dostawmy do trapezu jego kopię obróconą o $180^\circ$ . Powstaje równoległobok o podstawie $a + b$ i tej samej wysokości $h$ , a nasz trapez jest dokładnie jego połową:

P = \frac{(a + b) \cdot h}{2}

W nawiasie stoi więc suma podstaw, a nie ich różnica — dzielenie przez dwa bierze się z tego, że policzyliśmy dwa trapezy naraz.

Trapez ma podstawy 9 cm i 5 cm oraz wysokość 6 cm. Oblicz jego pole.

Ten sam wzór czytany wstecz odpowiada na pytanie o brakującą podstawę. Skoro $2P = (a + b)h$ , to

b = \frac{2P}{h} - a

Pole równoległoboku

Odetnijmy z równoległoboku trójkąt przy jednym ramieniu i przystawmy go z drugiej strony. Powstaje prostokąt o podstawie $a$ i wysokości $h$ — o dokładnie takim samym polu:

P = a \cdot h

Równoległobok o podstawie 7 cm i wysokości 4 cm. Bok ukośny ma 5 cm i jest dłuższy od wysokości — mnożenie 7 · 5 dałoby wynik zawyżony.

To jest miejsce, w którym najłatwiej o błąd: wysokość nie jest bokiem. Na rysunku powyżej pole wynosi $7 \cdot 4 = 28 \ \text{cm}^2$ , a nie $7 \cdot 5 = 35 \ \text{cm}^2$ . Obwód liczy się natomiast z samych boków: $2 \cdot (7 + 5) = 24 \ \text{cm}$ .

Romb i jego przekątne

Romb ma wszystkie boki równe, więc jego obwód to po prostu $4a$ . Pole można policzyć jak w każdym równoległoboku, ale częściej zna się przekątne. Są one w rombie prostopadłe i dzielą się na połowy, więc romb rozpada się na cztery przystające trójkąty prostokątne o przyprostokątnych $\tfrac{e}{2}$ i $\tfrac{f}{2}$ :

P = 4 \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{e}{2} \cdot \frac{f}{2} = \frac{e \cdot f}{2}

Romb o boku 5 cm i przekątnych 8 cm oraz 6 cm. Połowy przekątnych, czyli 4 cm i 3 cm, są przyprostokątnymi trójkąta o przeciwprostokątnej 5 cm.

Trójki $3$ , $4$ , $5$ nie ma tu przypadkiem: bok rombu jest przeciwprostokątną trójkąta zbudowanego z połówek przekątnych, więc twierdzenie Pitagorasa wiąże bok z obiema przekątnymi.

Romb ma przekątne 10 cm i 24 cm. Oblicz jego pole i obwód.

Kąty i przekątne

Każdą przekątną można rozciąć czworokąt na dwa trójkąty, a trójkąt ma sumę kątów $180^\circ$ . Stąd natychmiast:

\alpha + \beta + \gamma + \delta = 360^\circ

W trapezie kąty przy tym samym ramieniu leżą przy dwóch prostych równoległych przeciętych trzecią, więc uzupełniają się do kąta półpełnego:

\alpha + \beta = 180^\circ

W równoległoboku ta zależność dotyczy każdej pary sąsiednich kątów, a kąty naprzeciwległe są równe. Znając jeden kąt równoległoboku, znamy więc wszystkie cztery.

Figura	Przekątne	Kąty
Trapez	na ogół różnej długości	przy ramieniu sumują się do $180^\circ$
Równoległobok	dzielą się na połowy	naprzeciwległe równe, sąsiednie do $180^\circ$
Romb	prostopadłe, dzielą kąty na połowy	jak w równoległoboku
Prostokąt	równej długości	wszystkie proste

W równoległoboku kąt α ma 116°. Oblicz pozostałe trzy kąty.

Ćwiczenia

Rozwiąż zestaw zadań — trudność rośnie z każdym kolejnym. Na końcu zobaczysz wynik i listę pomyłek do powtórki.

Zadanie 1 z 8Punkty: 0

Pole trapezu: a = 7 cm, b = 3 cm, h = 5 cm

Częste błędy

Mnożenie dwóch boków równoległoboku — pole liczy się z wysokości, która jest krótsza od boku ukośnego.
Odejmowanie podstaw trapezu zamiast dodawania — we wzorze stoi $a + b$ , bo dwa trapezy tworzą równoległobok o takiej właśnie podstawie.
Pomijanie dzielenia przez dwa przy przekątnych rombu — $e \cdot f$ to pole prostokąta opisanego na rombie, czyli dwa razy za dużo.
Mylenie ramienia z wysokością — wysokość jest zawsze prostopadła do podstawy i zwykle leży wewnątrz figury.
Zakładanie, że przekątne równoległoboku są równe — równe są tylko w prostokącie; w rombie są za to prostopadłe.
Liczenie obwodu rombu z przekątnych — najpierw trzeba wyznaczyć bok z twierdzenia Pitagorasa.

Karta wzorów

Temat: Czworokąty

Pole trapezu
$P = \frac{(a + b) \cdot h}{2}$
a i b to podstawy, h wysokość między nimi
Pole równoległoboku
$P = a \cdot h$
h to wysokość opuszczona na bok a, nie bok sąsiedni
Pole rombu z przekątnych
$P = \frac{e \cdot f}{2}$
e i f to przekątne, zawsze prostopadłe
Suma kątów czworokąta
$\alpha + \beta + \gamma + \delta = 360^\circ$
dwa trójkąty po 180°
Kąty przy tym samym ramieniu
$\alpha + \beta = 180^\circ$
w trapezie i w równoległoboku
Podstawa trapezu z pola
$b = \frac{2P}{h} - a$
wzór na pole odczytany wstecz

Trapez o podstawach a = 8 i b = 4 oraz wysokości h = 3. Wysokość jest odcinkiem prostopadłym do obu podstaw, a nie ramieniem.

Romb o boku 5 cm. Jego przekątne mają 8 cm i 6 cm, przecinają się pod kątem prostym i dzielą wzajemnie na połowy.

Najczęstsze pytania

Powiązane artykuły

Świetlisty trójkąt prostokątny z kwadratami zbudowanymi na bokach jako konstelacja, obok okręgu z promieniem, na tle kosmicznej mgławicy w fiolecie i magencie

Geometria

Dlaczego pole mierzymy kwadratami

Obwód liczymy w metrach, pole w metrach kwadratowych — i ta jedna dwójka w wykładniku odpowiada za większość szkolnych pomyłek. Przez nią 1 m² to nie 100 cm², dwie działki o identycznym polu mogą potrzebować zupełnie różnej długości ogrodzenia, a twierdzenie Pitagorasa mówi tak naprawdę o polach kwadratów, nie o długościach boków.

11 min