Pole prostokąta

Pole figury mówi, ile miejsca zajmuje ona na płaszczyźnie. Mierzymy je kwadracikami: pole to liczba kwadratów jednostkowych, które mieszczą się w środku figury. Dla prostokąta odpowiedź jest wyjątkowo prosta, bo te kwadraciki układają się w równe rzędy.

Jeśli podstawa ma długość $a$, to w jednym rzędzie mieści się $a$ kwadracików. Rzędów jest tyle, ile wynosi wysokość, czyli $b$. Zamiast liczyć wszystko po kolei, mnożymy:

To cały wzór na pole prostokąta — i jednocześnie powód, dla którego mnożenie w ogóle wygląda jak prostokąt.

Przykład: prostokąt 7 cm na 4 cm

Kolejność mnożenia nie ma znaczenia — $7 \cdot 4$ i $4 \cdot 7$ dają to samo. Prostokąt obrócony o ćwierć obrotu ma dokładnie takie samo pole.

Kwadrat to szczególny prostokąt

Kwadrat ma wszystkie boki równe, więc do wzoru wstawiamy dwa razy tę samą liczbę:

Stąd bierze się nazwa „druga potęga": $a^2$ czytamy „$a$ do kwadratu", bo to właśnie pole kwadratu o boku $a$. Dla $a = 5\,\text{cm}$ mamy $P = 5^2 = 25\,\text{cm}^2$.

Pole to nie obwód

To dwie różne wielkości i najczęstsze źródło pomyłek w tym temacie. Obwód to długość linii dookoła figury — suma wszystkich boków:

Prostokąt $7\,\text{cm} \times 4\,\text{cm}$ ma więc pole $28\,\text{cm}^2$, ale obwód $2 \cdot (7 + 4) = 22\,\text{cm}$. Pole powstaje przez mnożenie i mierzymy je w jednostkach kwadratowych; obwód powstaje przez dodawanie i mierzymy go w zwykłych jednostkach długości.

Dobre pytanie kontrolne: „czy kupuję farbę, czy listwę?". Farba pokrywa powierzchnię — to pole. Listwa biegnie dookoła — to obwód.

Szukanie boku, gdy znamy pole

Wzór $P = a \cdot b$ działa też w drugą stronę. Jeśli znamy pole i jeden bok, drugi wyznaczamy dzieleniem:

Jednostki pola

Pole zapisujemy w jednostkach kwadratowych, bo mnożymy przez siebie dwie długości: $\text{cm} \cdot \text{cm} = \text{cm}^2$. Jeden $\text{cm}^2$ to kwadracik o boku $1\,\text{cm}$.

Przy zamianie jednostek trzeba uważać: przelicznik długości podnosimy do kwadratu.

Bok rośnie sto razy, ale pole — sto razy w każdą stronę, czyli dziesięć tysięcy razy. To dlatego $1\,\text{m}^2$ to nie jest $100\,\text{cm}^2$.

Zanim policzysz pole, sprawdź jeszcze jedno: oba boki muszą być w tej samej jednostce. Prostokąt $2\,\text{m} \times 50\,\text{cm}$ liczymy dopiero po ujednoliceniu — $200\,\text{cm} \times 50\,\text{cm} = 10\,000\,\text{cm}^2$, czyli $1\,\text{m}^2$.

Zadania

Wpisz odpowiedź razem z jednostką, np. 28 cm² albo 22 cm. To część zadania: pole zapisujemy w jednostkach kwadratowych, a obwód i długość boku — w zwykłych jednostkach długości.

Częste błędy

• Mylenie pola z obwodem — pole mnożymy, obwód dodajemy; farba to pole, listwa to obwód.
• Brak jednostki kwadratowej — wynik pola to $28\,\text{cm}^2$, a nie $28\,\text{cm}$.
• Liczenie pola z boków w różnych jednostkach — najpierw ujednolicamy, dopiero potem mnożymy.
• Zamiana $1\,\text{m}^2$ na $100\,\text{cm}^2$ — przelicznik długości idzie do kwadratu: $10\,000\,\text{cm}^2$.
• Mnożenie wszystkich czterech boków — prostokąt ma dwie pary równych boków, we wzorze biorą udział tylko dwa sąsiednie.
• Dodawanie zamiast dzielenia przy szukaniu boku — z $P$ i $b$ drugi bok wychodzi z dzielenia $P / b$, nie z odejmowania.