Poziom podstawowy

Pole i obwód trójkąta

Pole trójkąta to połowa iloczynu podstawy i wysokości: P = ½ · a · h. Zobacz, skąd bierze się ta połowa, którą wysokość brać do którego boku, jak liczyć obwód i dlaczego trójkąt prostokątny jest najłatwiejszym przypadkiem.

Zanim zaczniesz

Ten temat opiera się na wcześniejszych zagadnieniach. Zanim zaczniesz, warto przerobić poniższe lekcje — dzięki nim wszystko pójdzie gładko:

Gdzie się tego używa

Konkretne sytuacje, w których liczysz dokładnie tak, jak uczy ta lekcja:

  • Żeglarstwo
    Grot o bomie 4,2 m i liku przednim 12 m ma pole ½ · 4,2 · 12 = 25,2 m². Po tej liczbie żaglomistrz wycenia tkaninę, a klasa regatowa ustawia limit — dwa żagle o tym samym polu mogą różnić się krojem, ale nie wielkością.
  • Rolnictwo
    Nieregularne czterobocze pole dzieli przekątna 120 m na dwa trójkąty o wysokościach 45 m i 30 m: ½ · 120 · 45 + ½ · 120 · 30 = 4 500 m², czyli 0,45 ha. Przy dawce 180 kg azotu na hektar zamawiasz 81 kg.
    Przelicz w konwerterze: Powierzchnia
  • Znaki drogowe
    Trójkątny znak ostrzegawczy o boku 90 cm ma 78 cm wysokości, więc jego pole to ½ · 90 · 78 = 3 510 cm², czyli 0,35 m². Zamówienie na 200 znaków zjada 70 m² folii odblaskowej.

Wszystkie wzory

  • Pole trójkąta

    P=12⋅a⋅hP = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h

    a to podstawa, h to wysokość opuszczona na tę podstawę

  • Obwód trójkąta

    Obw=a+b+cObw = a + b + c

    suma długości trzech boków

  • Pole trójkąta prostokątnego

    P=12⋅a⋅bP = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b

    przyprostokątne są dla siebie podstawą i wysokością

  • Wysokość z pola

    h=2Pah = \frac{2P}{a}

    odwrócony wzór na pole

  • Nierówność trójkąta

    ∣a−b∣<c<a+b|a - b| < c < a + b

    z dowolnych trzech odcinków nie da się zbudować trójkąta

Pole trójkąta liczymy niemal tak samo jak pole prostokąta — tylko na końcu dzielimy przez dwa. Skąd ta połowa, widać najlepiej, gdy dorysujemy trójkątowi drugą połowę.

ah
Przekątna dzieli prostokąt na dwa identyczne trójkąty. Każdy z nich ma połowę jego pola.

Prostokąt o bokach aa i hh ma pole a⋅ha \cdot h. Przekątna tnie go na dwa przystające trójkąty — jeden jest obrotem drugiego, więc mają równe pola. Stąd:

P=12⋅a⋅hP = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h

Litera aa to podstawa, czyli bok, na którym trójkąt „stoi", a hh to wysokość opuszczona na tę podstawę — odcinek prostopadły, prowadzony z przeciwległego wierzchołka.

ha
Trójkąt o podstawie a i wysokości h. Kwadracik przy spodku wysokości oznacza kąt prosty.

Przykład: podstawa 8 cm, wysokość 5 cm

Oblicz pole trójkąta o podstawie 8 cm i wysokości 5 cm.

Wysokość to nie „drugi bok"

To najczęstszy błąd w tym temacie. Wysokość musi być prostopadła do podstawy — w trójkącie rozwartokątnym potrafi nawet wypaść poza figurę, a wtedy do wzoru i tak bierzemy jej długość, a nie długość boku.

Trójkąt ma trzy podstawy i trzy odpowiadające im wysokości. Wszystkie trzy pary dają ten sam wynik, więc do wzoru bierzemy tę parę, którą znamy:

P=12aha=12bhb=12chcP = \frac{1}{2} a h_a = \frac{1}{2} b h_b = \frac{1}{2} c h_c

Trójkąt prostokątny: przypadek najłatwiejszy

W trójkącie prostokątnym dwie przyprostokątne już są do siebie prostopadłe. Jedna z nich jest więc podstawą, a druga — gotową wysokością, bez żadnego dorysowywania.

abc
Trójkąt prostokątny: przyprostokątne a i b są dla siebie podstawą i wysokością, c to przeciwprostokątna.
P=12⋅a⋅bP = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b

Dla przyprostokątnych 3 cm3\,\text{cm} i 4 cm4\,\text{cm} pole wynosi 12⋅3⋅4=6 cm2\tfrac{1}{2} \cdot 3 \cdot 4 = 6\,\text{cm}^2. Przeciwprostokątna nie bierze w tym udziału — przyda się dopiero w twierdzeniu Pitagorasa.

Obwód: po prostu suma boków

Obwód to długość linii dookoła trójkąta, więc dodajemy trzy boki:

Obw=a+b+cObw = a + b + c
Oblicz obwód trójkąta o bokach 5 cm, 6 cm i 7 cm.

Nie z każdych trzech odcinków zbudujemy trójkąt. Musi zachodzić nierówność trójkąta: każdy bok jest krótszy od sumy dwóch pozostałych.

∣a−b∣<c<a+b|a - b| < c < a + b

Z patyczków o długościach 22, 33 i 99 trójkąta nie ułożymy — dwa krótsze po prostu się nie zejdą.

Jednostki: pole kwadratowe, obwód liniowy

Pole powstaje przez mnożenie dwóch długości, więc mierzymy je w cm2\text{cm}^2 i m2\text{m}^2; obwód powstaje przez dodawanie długości, więc zostaje w cm\text{cm} i m\text{m}. Przy zamianie jednostek pola przelicznik długości podnosimy do kwadratu — 1 m2=10 000 cm21\,\text{m}^2 = 10\,000\,\text{cm}^2, a jeśli potrzebujesz przeliczyć konkretne wartości, zrobi to nasz konwerter powierzchni.

Zanim policzysz cokolwiek, sprawdź jeszcze jedno: wszystkie dane muszą być w tej samej jednostce. Trójkąt o podstawie 1 m1\,\text{m} i wysokości 40 cm40\,\text{cm} liczymy dopiero po ujednoliceniu — 100 cm×40 cm100\,\text{cm} \times 40\,\text{cm} daje P=2000 cm2P = 2000\,\text{cm}^2.

Zadania

Wpisz odpowiedź razem z jednostką, np. 20 cm² albo 18 cm.

Ćwiczenia

Rozwiąż zestaw zadań — trudność rośnie z każdym kolejnym. Na końcu zobaczysz wynik i listę pomyłek do powtórki.

Zadanie 1 z 8Punkty: 0
Pole trójkąta: a = 12 cm, h = 2 cm

Częste błędy

  • Zapomniana połowa — a⋅ha \cdot h to pole prostokąta, trójkąt ma połowę tego.
  • Mylenie wysokości z bokiem — wysokość jest prostopadła do podstawy; bok zwykle nie jest.
  • Dobranie wysokości do niewłaściwej podstawy — hah_a idzie z aa, hbh_b z bb; para musi się zgadzać.
  • Pole zamiast obwodu (i odwrotnie) — pole mnożymy i zapisujemy w cm2\text{cm}^2, obwód dodajemy i zapisujemy w cm\text{cm}.
  • Użycie przeciwprostokątnej w polu trójkąta prostokątnego — mnożymy dwie przyprostokątne.
  • Trójkąt, którego nie ma — sprawdź nierówność trójkąta, zanim zaczniesz liczyć.

Karta wzorów

Temat: Pole i obwód trójkąta

  • Pole trójkąta

    P=12⋅a⋅hP = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h

    a to podstawa, h to wysokość opuszczona na tę podstawę

  • Obwód trójkąta

    Obw=a+b+cObw = a + b + c

    suma długości trzech boków

  • Pole trójkąta prostokątnego

    P=12⋅a⋅bP = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b

    przyprostokątne są dla siebie podstawą i wysokością

  • Wysokość z pola

    h=2Pah = \frac{2P}{a}

    odwrócony wzór na pole

  • Nierówność trójkąta

    ∣a−b∣<c<a+b|a - b| < c < a + b

    z dowolnych trzech odcinków nie da się zbudować trójkąta

ha
Trójkąt o podstawie a i wysokości h. Wysokość jest prostopadła do podstawy — stąd znaczek kąta prostego przy jej spodku.

Najczęstsze pytania

Powiązane artykuły

Świetlisty trójkąt prostokątny z kwadratami zbudowanymi na bokach jako konstelacja, obok okręgu z promieniem, na tle kosmicznej mgławicy w fiolecie i magencie
Geometria

Dlaczego pole mierzymy kwadratami

Obwód liczymy w metrach, pole w metrach kwadratowych — i ta jedna dwójka w wykładniku odpowiada za większość szkolnych pomyłek. Przez nią 1 m² to nie 100 cm², dwie działki o identycznym polu mogą potrzebować zupełnie różnej długości ogrodzenia, a twierdzenie Pitagorasa mówi tak naprawdę o polach kwadratów, nie o długościach boków.

11 min