Układ współrzędnych na płaszczyźnie

Żeby powiedzieć, gdzie na prostej leży liczba, wystarczy jedna liczba. Żeby powiedzieć, gdzie na płaszczyźnie leży punkt, jedna nie wystarcza — potrzebne są dwie, i to podane w ustalonej kolejności. Ten pomysł nazywa się układem współrzędnych i jest fundamentem wszystkiego, co rysujemy na kartce w kratkę: wykresu funkcji, mapy, planu mieszkania i ekranu telefonu.

Dwie osie i początek układu

Bierzemy dwie prostopadłe osie liczbowe i przecinamy je w zerze. Pozioma nazywa się osią OX, pionowa osią OY, a punkt ich przecięcia — początkiem układu i oznaczamy go literą $O$. Obie osie mają zwrot: na OX liczby rosną w prawo, na OY w górę.

Osie dzielą płaszczyznę na cztery części, zwane ćwiartkami. Numerujemy je liczbami rzymskimi od $\text{I}$ do $\text{IV}$, przeciwnie do wskazówek zegara, zaczynając od prawej górnej.

Współrzędne punktu

Adres punktu to para liczb: pierwsza mówi, jak daleko iść wzdłuż osi OX, druga — jak daleko wzdłuż osi OY. Pierwszą nazywamy odciętą, drugą rzędną, a całość zapisujemy w nawiasie:

Kolejność nie jest umową do zapamiętania na chwilę, tylko częścią adresu. Punkt $(3; 2)$ i punkt $(2; 3)$ leżą w różnych miejscach — pierwszy trzy jednostki w prawo i dwie w górę, drugi dwie w prawo i trzy w górę. Dlatego mówi się o parze uporządkowanej.

Ćwiartka wynika ze znaków

Do rozpoznania ćwiartki nie trzeba patrzeć na rysunek — wystarczą znaki dwóch liczb, bo to właśnie one mówią, po której stronie każdej z osi leży punkt. Liczby ujemne są tu jedynym potrzebnym wcześniej pojęciem.

Punkty na osiach nie należą do żadnej ćwiartki

Osie są granicami, a nie częściami ćwiartek. Punkt leży na osi OX dokładnie wtedy, gdy jego rzędna jest zerem, i na osi OY dokładnie wtedy, gdy zerem jest jego odcięta:

To rozróżnienie wróci przy każdym wykresie: miejsce zerowe funkcji to punkt, w którym wykres przecina oś OX, a wyraz wolny — punkt przecięcia z osią OY.

Odcinek równoległy do osi mierzy się odejmowaniem

Jeżeli dwa punkty mają tę samą rzędną, to odcinek między nimi jest poziomy, a jego długość to odległość między odciętymi:

Analogicznie dla odcinka pionowego, gdzie równe są odcięte:

Wartość bezwzględna jest tu po to, żeby wynik nie zależał od kolejności odejmowania — długość nigdy nie jest ujemna. To ta sama odległość na osi liczbowej, tylko przeniesiona na płaszczyznę.

Odcinek ukośny wymaga twierdzenia Pitagorasa i jego długość liczymy dopiero w lekcji o geometrii analitycznej.

Środek odcinka

Środek odcinka leży dokładnie w połowie drogi — a „połowa drogi” dla każdej współrzędnej z osobna oznacza średnią arytmetyczną:

Ten sam wzór czytany wstecz odpowiada na pytanie odwrotne: znamy jeden koniec i środek, szukamy drugiego końca. Skoro $x_S$ jest średnią, to $x_B = 2x_S - x_A$, i tak samo dla rzędnych:

Częste błędy

• Zamiana kolejności współrzędnych — $(3; 2)$ to nie to samo co $(2; 3)$. Pierwsza liczba zawsze idzie wzdłuż osi poziomej.
• Przypisywanie ćwiartki punktowi leżącemu na osi — $(0; 4)$ i $(5; 0)$ nie leżą w żadnej ćwiartce.
• Odejmowanie współrzędnych ukośnego odcinka — różnica odciętych daje długość tylko wtedy, gdy odcinek jest poziomy; w innym razie potrzebne jest twierdzenie Pitagorasa.
• Dodawanie zamiast uśredniania przy środku odcinka — sumę współrzędnych trzeba jeszcze podzielić przez dwa.
• Uśrednianie przy szukaniu drugiego końca — tam działa wzór odwrotny $2x_S - x_A$, a nie średnia.
• Gubienie minusa przy odejmowaniu liczby ujemnej — $5 - (-3) = 8$, a nie $2$.