Jak obliczyć odległość dwóch punktów w układzie współrzędnych?

Ze wzoru |AB| = √((x_B − x_A)² + (y_B − y_A)²). Jest to twierdzenie Pitagorasa zastosowane do trójkąta, którego przyprostokątne są równoległe do osi i mają długości równe różnicom współrzędnych. Kolejność odejmowania nie ma znaczenia, bo różnice i tak są podnoszone do kwadratu.

Jak wyznaczyć równanie prostej przechodzącej przez dwa punkty?

Najpierw współczynnik kierunkowy a = (y_B − y_A) / (x_B − x_A), potem wyraz wolny b, przez podstawienie współrzędnych jednego z punktów do y = ax + b. Dla A(1; 2) i B(3; 8) mamy a = 6/2 = 3 oraz 2 = 3 · 1 + b, czyli b = −1, więc prosta to y = 3x − 1.

Jaki jest warunek prostopadłości dwóch prostych?

Iloczyn ich współczynników kierunkowych musi wynosić −1: a₁ · a₂ = −1. W praktyce oznacza to, że współczynnik prostej prostopadłej jest odwrotnością ze zmienionym znakiem — dla 2 jest to −1/2, dla −3/4 jest to 4/3. Wyjątkiem jest para prosta pionowa i pozioma: one też są prostopadłe, choć jedna nie ma współczynnika kierunkowego.

Jak sprawdzić, czy punkt leży na prostej?

Podstawiamy jego współrzędne do równania prostej i sprawdzamy, czy otrzymujemy zdanie prawdziwe. Punkt (2; 5) leży na prostej y = 3x − 1, bo 3 · 2 − 1 = 5. Ta sama metoda działa dla okręgu: punkt leży na nim, gdy spełnia jego równanie.

Jak odczytać środek i promień z równania okręgu?

W postaci kanonicznej (x − a)² + (y − b)² = r² środkiem jest punkt S(a, b), a promieniem pierwiastek z prawej strony. Uwaga na znaki: równanie (x + 2)² + (y − 5)² = 9 ma środek (−2; 5), bo x + 2 to x − (−2). Gdy równanie jest w postaci ogólnej x² + y² − 2ax − 2by + c = 0, najpierw uzupełniamy oba kwadraty.

Poziom zaawansowany

Geometria analityczna

Punkt to para liczb, prosta to równanie, okrąg to inne równanie — a wtedy pytania geometryczne stają się rachunkiem. Odległość punktów z twierdzenia Pitagorasa, współczynnik kierunkowy z dwóch punktów, warunki równoległości i prostopadłości oraz środek i promień odczytane z równania okręgu.

Zanim zaczniesz

Ten temat opiera się na wcześniejszych zagadnieniach. Zanim zaczniesz, warto przerobić poniższe lekcje — dzięki nim wszystko pójdzie gładko:

Gdzie się tego używa

Konkretne sytuacje, w których liczysz dokładnie tak, jak uczy ta lekcja:

Nawigacja po siatce kilometrowej
Dwa punkty na mapie mają współrzędne (12; 5) i (20; 11) w kilometrach. Odległość w linii prostej to √(8² + 6²) = 10 km — i to jest liczba, którą pilot albo ratownik porównuje z zasięgiem, zanim policzy trasę po drogach.
Zasięg nadajnika jako okrąg
Nadajnik w punkcie (4; −2) ma zasięg 6 km, więc granica zasięgu to okrąg (x − 4)² + (y + 2)² = 36. Żeby sprawdzić, czy odbiornik w punkcie (8; 1) jest w zasięgu, podstawiamy: 16 + 9 = 25 < 36, więc jest — i to jedno działanie zastępuje rysowanie mapy.
CAD i prostopadła ścianka
Krawędź elementu leży na prostej y = 0,5x + 3. Ścianka prostopadła musi mieć współczynnik −2, bo 0,5 · (−2) = −1. Program CAD liczy dokładnie ten iloczyn, sprawdzając, czy narysowany odcinek naprawdę jest prostopadły, a nie tylko wygląda na taki.
Projekt drogi przez dwa punkty
Odcinek drogi ma połączyć skrzyżowania w punktach (0; 40) i (60; 25) (w metrach). Współczynnik kierunkowy to (25 − 40) / 60 = −0,25, więc oś drogi opisuje równanie y = −0,25x + 40 i dla każdego kilometrażu można z niego odczytać współrzędną poprzeczną.
Kontrola geodezyjna równoległości
Dwie granice działki mają współczynniki kierunkowe 0,750 i 0,748. Nie są równe, więc granice nie są równoległe — na 200 m rozjadą się o około 0,4 m. Porównanie dwóch liczb wychwytuje to, czego oko na rysunku nie zobaczy.

Wszystkie wzory

Odległość dwóch punktów
$|AB| = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2}$
twierdzenie Pitagorasa na różnicach współrzędnych
Współczynnik kierunkowy
$a = \frac{y_B - y_A}{x_B - x_A}$
przyrost pionowy przez poziomy
Postać kierunkowa prostej
$y = ax + b$
b to rzędna punktu przecięcia z osią OY
Postać ogólna prostej
$Ax + By + C = 0$
obejmuje też prostą pionową, dla B = 0
Warunek równoległości
$a_1 = a_2 \iff k \parallel l$
te same współczynniki kierunkowe
Warunek prostopadłości
$a_1 \cdot a_2 = -1 \iff k \perp l$
współczynnik odwrócony i ze zmienionym znakiem
Równanie okręgu
$(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2$
środek S(a, b), promień r

Geometria analityczna robi z rysunku rachunek: punkt staje się parą liczb, prosta i okrąg — równaniami. Dzięki temu pytania w rodzaju „czy te proste są prostopadłe?” albo „czy ten punkt leży w zasięgu?” rozstrzyga się rachunkiem, a nie linijką.

Lekcja stoi na trzech wcześniejszych: układzie współrzędnych, twierdzeniu Pitagorasa i wzorach skróconego mnożenia.

Odległość dwóch punktów

Odcinek równoległy do osi mierzyliśmy odejmowaniem. Odcinek ukośny jest przeciwprostokątną trójkąta, którego przyprostokątne są właśnie takimi odcinkami:

|AB| = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2}

Kolejność odejmowania nie ma znaczenia, bo obie różnice i tak trafiają pod kwadrat.

Oblicz odległość punktów A(−3; 2) i B(1; 5).

Prosta: postać kierunkowa

Prostą, która nie jest pionowa, opisuje równanie

y = ax + b

gdzie $a$ to współczynnik kierunkowy (o ile jednostek rośnie $y$ , gdy $x$ rośnie o jedną), a $b$ — rzędna punktu przecięcia z osią OY. Mając dwa punkty, współczynnik liczymy jako iloraz przyrostów:

a = \frac{y_B - y_A}{x_B - x_A}

Prosta k: y = 1,5x + 2 przez punkty A i B oraz prostopadła do niej prosta l: y = −2/3 x + 2. Iloczyn ich współczynników kierunkowych wynosi 1,5 · (−2/3) = −1.

Wyznacz równanie prostej przechodzącej przez punkty A(−2; −1) i B(2; 5).

Postać ogólna i prosta pionowa

Postać kierunkowa nie obejmuje prostych pionowych: dla nich przyrost $x$ jest zerem, więc współczynnik kierunkowy nie istnieje. Prosta pionowa ma równanie $x = c$ i dlatego istnieje druga, ogólniejsza postać:

Ax + By + C = 0

Dla $B \neq 0$ da się ją przekształcić do postaci kierunkowej; dla $B = 0$ opisuje właśnie prostą pionową. Postać ogólna jest przy tym określona z dokładnością do mnożenia przez liczbę — równania $2x - y + 3 = 0$ i $4x - 2y + 6 = 0$ opisują tę samą prostą.

Punkt należy do prostej dokładnie wtedy, gdy jego współrzędne spełniają jej równanie. To jedno podstawienie zastępuje oglądanie rysunku.

Równoległość i prostopadłość

Dwie proste nie pionowe są równoległe, gdy mają ten sam współczynnik kierunkowy, a prostopadłe, gdy ich współczynniki dają w iloczynie $-1$ :

a_1 = a_2 \iff k \parallel l, \qquad a_1 \cdot a_2 = -1 \iff k \perp l

Praktycznie: współczynnik prostej prostopadłej to odwrotność ze zmienionym znakiem. Dla $2$ jest to $-\tfrac{1}{2}$ , dla $-\tfrac{3}{4}$ jest to $\tfrac{4}{3}$ .

Wyznacz równanie prostej prostopadłej do y = 2x − 5 i przechodzącej przez punkt P(4; 1).

Równanie okręgu

Okrąg to zbiór punktów odległych od środka o $r$ . Wstawiając to zdanie do wzoru na odległość i podnosząc obie strony do kwadratu, dostajemy równanie okręgu o środku $S(a;\ b)$ :

(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2

Okrąg o środku S(3; 1) i promieniu 5. Każdy punkt tej linii jest odległy od S dokładnie o 5.

Uwaga na znaki: w równaniu $(x + 2)^2 + (y - 5)^2 = 9$ środkiem jest punkt $(-2;\ 5)$ , bo $x + 2$ to $x - (-2)$ . Promień jest pierwiastkiem z prawej strony, więc dla $r^2 = 20$ wynosi $\sqrt{20} = 2\sqrt{5}$ , a nie $20$ .

Równanie bywa też podane w postaci ogólnej. Wtedy wracamy do postaci kanonicznej, uzupełniając oba kwadraty wzorem skróconego mnożenia.

Wyznacz środek i promień okręgu x² + y² − 6x + 4y − 12 = 0.

Ćwiczenia

Rozwiąż zestaw zadań — trudność rośnie z każdym kolejnym. Na końcu zobaczysz wynik i listę pomyłek do powtórki.

Zadanie 1 z 8Punkty: 0

Odległość punktów: A(−1; 4), B(−7; 12)

Częste błędy

Odczytywanie środka okręgu ze znakami z równania — $(x + 2)^2$ oznacza środek o odciętej $-2$ , nie $2$ .
Branie prawej strony równania okręgu za promień — po prawej stoi $r^2$ , więc trzeba jeszcze wyciągnąć pierwiastek.
Odwracanie współczynnika bez zmiany znaku — prosta prostopadła do $y = 2x$ ma współczynnik $-\tfrac{1}{2}$ , a nie $\tfrac{1}{2}$ .
Szukanie współczynnika kierunkowego prostej pionowej — ona go nie ma; jej równanie to $x = c$ .
Odejmowanie współrzędnych „na krzyż” we wzorze na odległość — pod pierwszym kwadratem stoją same odcięte, pod drugim same rzędne.
Uznawanie dwóch zapisów postaci ogólnej za różne proste — pomnożenie równania przez liczbę różną od zera niczego nie zmienia.

Karta wzorów

Temat: Geometria analityczna

Odległość dwóch punktów
$|AB| = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2}$
twierdzenie Pitagorasa na różnicach współrzędnych
Współczynnik kierunkowy
$a = \frac{y_B - y_A}{x_B - x_A}$
przyrost pionowy przez poziomy
Postać kierunkowa prostej
$y = ax + b$
b to rzędna punktu przecięcia z osią OY
Postać ogólna prostej
$Ax + By + C = 0$
obejmuje też prostą pionową, dla B = 0
Warunek równoległości
$a_1 = a_2 \iff k \parallel l$
te same współczynniki kierunkowe
Warunek prostopadłości
$a_1 \cdot a_2 = -1 \iff k \perp l$
współczynnik odwrócony i ze zmienionym znakiem
Równanie okręgu
$(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2$
środek S(a, b), promień r

Prosta k przez A(−2; −1) i B(2; 5) ma współczynnik kierunkowy 6/4 = 1,5, więc jej równanie to y = 1,5x + 2. Prostopadła do niej prosta l ma współczynnik −2/3.

Okrąg o równaniu (x − 3)² + (y − 1)² = 25. Środek leży w punkcie S(3; 1), a promień wynosi 5.

Najczęstsze pytania

Powiązane artykuły

Świetlisty trójkąt prostokątny z kwadratami zbudowanymi na bokach jako konstelacja, obok okręgu z promieniem, na tle kosmicznej mgławicy w fiolecie i magencie

Geometria

Dlaczego pole mierzymy kwadratami

Obwód liczymy w metrach, pole w metrach kwadratowych — i ta jedna dwójka w wykładniku odpowiada za większość szkolnych pomyłek. Przez nią 1 m² to nie 100 cm², dwie działki o identycznym polu mogą potrzebować zupełnie różnej długości ogrodzenia, a twierdzenie Pitagorasa mówi tak naprawdę o polach kwadratów, nie o długościach boków.

11 min