Ile jest wzorów skróconego mnożenia?

W zakresie szkolnym używa się siedmiu: kwadrat sumy, kwadrat różnicy, różnica kwadratów, sześcian sumy, sześcian różnicy, różnica sześcianów i suma sześcianów. Trzy pierwsze to zakres podstawowy i wystarczają do większości zadań; cztery pozostałe wchodzą w zakresie rozszerzonym.

Dlaczego (a + b)² nie równa się a² + b²?

Bo mnożąc dwa nawiasy, mnożymy każdy wyraz przez każdy: (a + b)(a + b) = a² + ab + ba + b². Dwa środkowe składniki są takie same i dają 2ab. Najkrótszy dowód liczbowy: (3 + 4)² = 49, a 3² + 4² = 25. Brakujące 24 to właśnie 2 · 3 · 4.

Czy istnieje wzór na sumę kwadratów a² + b²?

Nie ma wzoru rozkładającego a² + b² na czynniki o współczynnikach rzeczywistych — suma kwadratów jest nierozkładalna. Rozkłada się tylko różnica kwadratów: a² − b² = (a − b)(a + b). To rozróżnienie jest jednym z najczęściej mylonych miejsc w całej algebrze szkolnej.

Jak rozpoznać, że wyrażenie jest kwadratem sumy lub różnicy?

Trzeba sprawdzić trzy rzeczy: skrajne wyrazy są kwadratami (a² i b²), oba mają ten sam znak, a środkowy wyraz jest równy podwojonemu iloczynowi 2ab. Na przykład 9x² + 30x + 25 ma skrajne wyrazy (3x)² i 5², a 2 · 3x · 5 = 30x — zgadza się, więc jest to (3x + 5)².

Do czego służą wzory skróconego mnożenia?

Do dwóch rzeczy naraz. Czytane od lewej skracają mnożenie nawiasów do jednej linijki. Czytane od prawej rozkładają wyrażenie na czynniki, a to jest krok, bez którego nie da się skrócić ułamka algebraicznego, wyznaczyć dziedziny ani rozwiązać nierówności wielomianowej.

Poziom średni

Wzory skróconego mnożenia

Siedem wzorów, które zamieniają mnożenie nawiasów na jedną linijkę — i te same siedem czytanych od prawej, czyli rozkład na czynniki. Kwadrat sumy i różnicy, różnica kwadratów, sześciany oraz suma i różnica sześcianów, z dowodem na rysunku i z rachunkiem w pamięci.

Zanim zaczniesz

Ten temat opiera się na wcześniejszych zagadnieniach. Zanim zaczniesz, warto przerobić poniższe lekcje — dzięki nim wszystko pójdzie gładko:

Wyrażenia algebraiczneWyrażenie algebraiczne to zapis, w którym obok liczb stoją litery. Poznaj zmienną, wyraz i współczynnik, naucz się redukować wyrazy podobne, wymnażać nawiasy — także dwumian przez dwumian — wyłączać wspólny czynnik przed nawias i obliczać wartość wyrażenia.
PotęgiPotęga to skrócony zapis mnożenia tego samego czynnika. Poznaj podstawę i wykładnik, prawa działań na potęgach, potęgę iloczynu i ilorazu, wykładnik zerowy i ujemny, monotoniczność potęgowania oraz notację naukową.

Gdzie się tego używa

Konkretne sytuacje, w których liczysz dokładnie tak, jak uczy ta lekcja:

Rachunek w pamięci przy kasie
Iloczyn 98 · 102 to (100 − 2)(100 + 2), czyli 10 000 − 4 = 9996. Tak samo 47 · 53 = 50² − 3² = 2500 − 9 = 2491. Każde mnożenie dwóch liczb leżących symetrycznie wokół okrągłej setki czy pięćdziesiątki schodzi do jednego odejmowania.
Działka i powiększenie ogrodu
Kwadratowa działka ma bok 40 m. Poszerzenie jej o 3 m z każdej strony daje przyrost powierzchni (40 + 3)² − 40² = 6 · 40 + 9 = 249 m², a nie 2 · 3 · 40 = 240 m² — brakujące 9 m² to narożny kwadracik, o którym wzór na kwadrat sumy pamięta za nas.
Przelicz w konwerterze: Powierzchnia
Mechanika i energia hamowania
Energia, którą trzeba wytracić przy hamowaniu z prędkości v₁ do v₂, to ½m(v₁² − v₂²) = ½m(v₁ − v₂)(v₁ + v₂). Dla auta o masie 1000 kg zwalniającego z 20 m/s do 10 m/s daje to 500 · 10 · 30 = 150 000 J, czyli 150 kJ zamienione w ciepło na klockach hamulcowych.
Programowanie i optymalizacja obliczeń
Sprawdzenie warunku a² − b² = 0 w pętli po milionie par kosztuje dwa mnożenia na parę, czyli dwa miliony mnożeń. Zapisane jako (a − b)(a + b) kosztuje jedno mnożenie i dwa dodawania na parę — milion mnożeń mniej, a dodawanie jest w procesorze wyraźnie tańsze od mnożenia.

Wszystkie wzory

Kwadrat sumy
$(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$
środkowy wyraz to podwojony iloczyn, nie sam iloczyn
Kwadrat różnicy
$(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$
oba kwadraty dodatnie, minus tylko przy środkowym wyrazie
Różnica kwadratów
$(a - b)(a + b) = a^2 - b^2$
jedyny z tych wzorów, w którym środkowy wyraz znika
Sześcian sumy
$(a + b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$
współczynniki 1, 3, 3, 1
Sześcian różnicy
$(a - b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3$
znaki na przemian, począwszy od plusa
Różnica sześcianów
$a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$
w nawiasie plus przy środkowym wyrazie
Suma sześcianów
$a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$
w nawiasie minus przy środkowym wyrazie

Mnożenie $(x + 7)(x + 7)$ da się wykonać krok po kroku: każdy wyraz przez każdy, potem redukcja. Ale ten sam rachunek wraca w zadaniach kilkanaście razy dziennie i zawsze kończy się tak samo. Wzory skróconego mnożenia to zapisane raz wyniki tych powtarzalnych mnożeń — z zapisu $(x + 7)^2$ przechodzi się do $x^2 + 14x + 49$ jednym ruchem, bez rozpisywania.

Ważniejsze jest jednak to, że każdy z tych wzorów działa w obie strony. Od lewej do prawej to wymnażanie; od prawej do lewej — rozkład na czynniki, czyli krok, od którego zaczyna się skracanie wyrażeń wymiernych i rozwiązywanie nierówności.

Kwadrat sumy i kwadrat różnicy

(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 \qquad (a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2

Skąd bierze się środkowy wyraz, najlepiej widać na polu. Kwadrat o boku $a + b$ rozcinamy na cztery kawałki: kwadrat $a^2$ , kwadrat $b^2$ i dwa jednakowe prostokąty o polu $ab$ każdy.

Kwadrat o boku a + b. Po rozcięciu wzdłuż podziału boku zostają cztery kawałki: a², b² i dwa prostokąty a·b.

Dwa prostokąty — dlatego $2ab$ , a nie $ab$ . To jest cała treść tego wzoru i zarazem miejsce, w którym najczęściej się go gubi.

W kwadracie różnicy zmienia się tylko znak przy środkowym wyrazie. Skrajne wyrazy są kwadratami, więc zostają dodatnie:

(x - 5)^2 = x^2 - 10x + 25

Wymnóż (2x + 3)² oraz (3a − 4b)².

Różnica kwadratów

(a - b)(a + b) = a^2 - b^2

To jedyny z tych wzorów, w którym środkowy wyraz znika: po wymnożeniu zostaje $a^2 + ab - ba - b^2$ , a $ab$ i $ba$ się znoszą.

Geometrycznie: z kwadratu o boku $a$ wycinamy kwadrat o boku $b$ , a to, co zostaje, przekładamy w jeden prostokąt o bokach $a - b$ i $a + b$ .

Prostokąt o bokach a − b i a + b ma dokładnie takie pole, jak kwadrat a² pomniejszony o kwadrat b².

Ten wzór jest najkrótszą drogą do mnożenia w pamięci. Liczby $98$ i $102$ leżą symetrycznie wokół setki, więc:

98 \cdot 102 = (100 - 2)(100 + 2) = 100^2 - 2^2 = 10\,000 - 4 = 9996

Sumy kwadratów $a^2 + b^2$ rozłożyć się nie da — nie ma takiego wzoru, i nie ma go z powodu, który widać w równaniach kwadratowych: $x^2 + 4 = 0$ nie ma pierwiastków rzeczywistych, więc nie ma też czynników.

Wzór czytany od prawej: rozkład na czynniki

Ta sama równość przeczytana wspak zamienia sumę na iloczyn:

x^2 - 9 = x^2 - 3^2 = (x - 3)(x + 3)

4x^2 + 20x + 25 = (2x)^2 + 2 \cdot 2x \cdot 5 + 5^2 = (2x + 5)^2

Rozpoznanie kwadratu sumy albo różnicy sprowadza się do trzech sprawdzeń: czy skrajne wyrazy są kwadratami, czy mają ten sam znak i czy środkowy wyraz to podwojony iloczyn ich pierwiastków. Jeśli którekolwiek nie zagra, wzoru tu nie ma.

Rozłóż na czynniki: 49 − 25y² oraz x² + 12x + 36.

Sześciany

Te same tożsamości o jeden stopień wyżej. Sześcian sumy ma współczynniki $1, 3, 3, 1$ , a sześcian różnicy — te same współczynniki ze znakami na przemian:

(a + b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3

(a - b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3

Osobno stoją dwa wzory na rozkład sumy i różnicy sześcianów. W przeciwieństwie do kwadratów rozkłada się tu każda z nich:

a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2) \qquad a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)

Znaki są tu ustawione na krzyż i to jest jedyna rzecz do zapamiętania: minus w pierwszym nawiasie idzie w parze z plusem przy środkowym wyrazie drugiego, i odwrotnie.

x^3 - 8 = x^3 - 2^3 = (x - 2)(x^2 + 2x + 4)

Ćwiczenia

Rozwiąż zestaw zadań — trudność rośnie z każdym kolejnym. Na końcu zobaczysz wynik i listę pomyłek do powtórki.

Zadanie 1 z 8Punkty: 0

wymnóż (x − 1)²

Częste błędy

Gubienie podwojenia — $(a + b)^2$ to $a^2 + 2ab + b^2$ , nigdy $a^2 + b^2$ . Sprawdzian liczbowy zajmuje trzy sekundy: $(3 + 4)^2 = 49$ , a $9 + 16 = 25$ .
Niepotęgowanie współczynnika — w $(2x + 3)^2$ pierwszy wyraz to $(2x)^2 = 4x^2$ , a nie $2x^2$ .
Ujemny kwadrat — w $(a - b)^2$ minus stoi tylko przy środkowym wyrazie; $b^2$ zostaje dodatnie, bo jest kwadratem.
Rozkładanie sumy kwadratów — $a^2 + b^2$ nie ma rozkładu nad liczbami rzeczywistymi. Rozkłada się wyłącznie różnica.
Mylenie znaków w sześcianach — w rozkładzie $a^3 - b^3$ drugi nawias ma plus przy $ab$ , choć wyjściowa różnica ma minus.

Karta wzorów

Temat: Wzory skróconego mnożenia

Kwadrat sumy
$(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$
środkowy wyraz to podwojony iloczyn, nie sam iloczyn
Kwadrat różnicy
$(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$
oba kwadraty dodatnie, minus tylko przy środkowym wyrazie
Różnica kwadratów
$(a - b)(a + b) = a^2 - b^2$
jedyny z tych wzorów, w którym środkowy wyraz znika
Sześcian sumy
$(a + b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$
współczynniki 1, 3, 3, 1
Sześcian różnicy
$(a - b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3$
znaki na przemian, począwszy od plusa
Różnica sześcianów
$a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$
w nawiasie plus przy środkowym wyrazie
Suma sześcianów
$a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$
w nawiasie minus przy środkowym wyrazie

Kwadrat o boku a + b. Jego pole to (a + b)², a po rozcięciu — a², b² i dwa prostokąty a·b.

Prostokąt o bokach a − b i a + b powstaje z kwadratu a² po wycięciu kwadratu b² — dlatego jego pole to a² − b².

Najczęstsze pytania

Powiązane artykuły

Waga w idealnej równowadze jako geometryczna forma i prosta przecinająca oś niczym tor orbity, na tle kosmicznej mgławicy w fiolecie i magencie

Algebra

Co naprawdę znaczy x — niewiadoma, zmienna i parametr

Litera x nie zawsze znaczy to samo. Raz jest poszukiwaną liczbą, raz wielkością, która płynnie się zmienia, a raz pustym miejscem na dowolną liczbę. Oto skąd wziął się zapis algebraiczny, dlaczego czekaliśmy na niego dwa tysiące lat, co dokładnie odróżnia niewiadomą od zmiennej i parametru oraz dlaczego nierówność odwraca się przy mnożeniu przez liczbę ujemną.

11 min