Wielomiany

Wyrażenie $2x^3 - x + 5$ to wielomian: suma jednomianów, w których zmienna stoi wyłącznie w potęgach o wykładnikach całkowitych nieujemnych. Nie ma tu $\tfrac{1}{x}$ ani $\sqrt{x}$ — i to jest jedyne ograniczenie definicji.

Warto je znać od razu, bo cała ta lekcja polega na tym, że z wielomianami robi się dokładnie to samo, co z liczbami: dodaje się je, mnoży, dzieli z resztą i rozkłada na czynniki. Kto umie dzielenie pisemne i rozkład liczby na czynniki pierwsze, zna już połowę tego, co tu następuje.

Stopień, współczynniki i wyraz wolny

Stopniem wielomianu nazywamy najwyższą potęgę o niezerowym współczynniku, a $a_0$ to wyraz wolny — wartość wielomianu w zerze. W $W(x) = x^3 - 2x^2 - 5x + 6$ stopień wynosi $3$, a wyraz wolny to $6$.

Dwa wielomiany są równe, gdy mają te same współczynniki przy tych samych potęgach — nie wystarczy, że są równe dla kilku argumentów. Ta zasada jest podstawą wszystkich zadań typu „dobierz współczynniki tak, aby…”.

Dodawanie, odejmowanie i mnożenie

Dodawanie i odejmowanie to redukcja wyrazów podobnych — potęga przy potędze. Jedyna pułapka leży w odejmowaniu: minus przed nawiasem zmienia znak każdego składnika w środku.

Mnożenie to prawo rozdzielności zastosowane do wszystkich par wyrazów. Stopień iloczynu jest zawsze sumą stopni czynników — i to jest różnica wobec dodawania, przy którym stopień może spaść (bo najwyższe wyrazy mogą się znieść):

Wszystkie wzory skróconego mnożenia są szczególnymi przypadkami tego mnożenia — i warto z nich korzystać, zamiast rozpisywać wszystko od nowa.

Dzielenie przez dwumian i schemat Hornera

Wielomiany dzieli się z resztą, tak samo jak liczby całkowite:

Gdy dzielnikiem jest dwumian $x - a$, reszta musi mieć stopień mniejszy od $1$, czyli jest liczbą. Cały rachunek mieści się wtedy w jednym wierszu tabelki — to schemat Hornera. Wypisujemy współczynniki dzielonego wielomianu (z zerami za brakujące potęgi), przepisujemy pierwszy, a każdy następny liczymy jako poprzedni wynik razy $a$ plus kolejny współczynnik.

Dla $W(x) = x^3 - 2x^2 - 5x + 6$ i dzielnika $x - 3$ (czyli $a = 3$):

Ostatnia liczba to reszta — tu $0$. Trzy poprzednie to współczynniki ilorazu, o stopień niższego:

Twierdzenie Bézouta

Reszta z dzielenia przez $x - a$ nie jest przypadkowa. Podstawiając $x = a$ do równości $W(x) = (x - a)Q(x) + R$, pierwszy składnik znika i zostaje $R = W(a)$:

Stąd twierdzenie Bézouta, jeden z najbardziej użytecznych wniosków całej algebry szkolnej:

Innymi słowy: pierwiastek wielomianu i jego czynnik liniowy to ta sama informacja zapisana dwoma sposobami. Znalezienie jednego pierwiastka natychmiast obniża stopień zadania o jeden.

Pierwiastki całkowite

Twierdzenie Bézouta mówi, gdzie szukać czynników — ale nie mówi, od czego zacząć. Robi to inne twierdzenie: jeżeli wielomian o współczynnikach całkowitych ma pierwiastek całkowity, to jest on dzielnikiem wyrazu wolnego.

Dla $W(x) = x^3 - 2x^2 - 5x + 6$ wyraz wolny to $6$, więc kandydaci to $\pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 6$ — osiem liczb zamiast nieskończoności. Sprawdzamy po kolei: $W(1) = 1 - 2 - 5 + 6 = 0$, a więc $x = 1$ jest pierwiastkiem.

Rozkład na czynniki

Znaleziony pierwiastek zamieniamy na czynnik, dzielimy przez niego schematem Hornera i pracujemy dalej z wielomianem o stopień niższym — aż zejdziemy do trójmianu, który rozkłada się deltą albo wzorem skróconego mnożenia.

Nie każdy wielomian rozkłada się na czynniki liniowe. Czynnik kwadratowy o ujemnej delcie — na przykład $x^2 + 1$ — jest nierozkładalny nad liczbami rzeczywistymi i tak zostaje.

Równania dwukwadratowe

Równanie $ax^4 + bx^2 + c = 0$ ma tylko potęgi parzyste, więc podstawienie $t = x^2$ zamienia je w kwadratowe:

Trzeba tylko pamiętać, że $t = x^2$ nie może być ujemne. Powrót do $x$ wygląda więc tak: dodatnie $t$ daje dwa rozwiązania $\pm\sqrt{t}$, $t = 0$ daje jedno, a ujemne $t$ odrzucamy.

Częste błędy

• Minus przed nawiasem — przy odejmowaniu wielomianów znak zmienia każdy wyraz odejmowanego nawiasu, nie tylko pierwszy.
• Brakujące potęgi w schemacie Hornera — dzieląc $x^3 - 7$, trzeba wpisać współczynniki $1, 0, 0, -7$. Pominięcie zer przesuwa cały rachunek.
• Zły znak $a$ — dzielenie przez $x + 2$ to $a = -2$, a nie $2$. Schemat Hornera czyta pierwiastek, nie liczbę z nawiasu.
• Szukanie pierwiastków poza dzielnikami wyrazu wolnego — całkowitych pierwiastków nie ma nigdzie indziej; jeśli żaden dzielnik nie zeruje wielomianu, całkowitego pierwiastka po prostu nie ma.
• Zapominanie o dwóch znakach przy powrocie z podstawienia — z $t = 9$ wychodzi $x = 3$ i $x = -3$; wzięcie tylko dodatniego gubi połowę rozwiązań.
• Przyjmowanie ujemnego $t$ — $x^2 = -4$ nie ma rozwiązań rzeczywistych, więc takie $t$ się odrzuca, a nie pierwiastkuje.