Redukcja wyrazów podobnych
$ax + bx = (a + b)x$
dodajemy współczynniki, litera zostaje bez zmian
Rozdzielność mnożenia względem dodawania
$a(b + c) = ab + ac$
mnożymy każdy składnik z nawiasu
Rozdzielność przy odejmowaniu
$a(b - c) = ab - ac$
ta sama reguła, ze znakiem minus
Minus przed nawiasem
$-(b + c) = -b - c$
zmienia znak każdego wyrazu w nawiasie
Dodawanie a mnożenie liter
$x \cdot x = x^2, \quad x + x = 2x$
to dwa różne działania — nie mylić

Równania liniowe

Równanie liniowe z jedną niewiadomą
$ax + b = c \quad (a \neq 0)$
niewiadoma występuje w pierwszej potędze
Rozwiązanie
$x = \frac{c - b}{a}$
odejmij wyraz wolny, podziel przez współczynnik
Dodanie liczby do obu stron
$a = b \iff a + c = b + c$
równanie równoważne — ma te same rozwiązania
Pomnożenie obu stron
$a = b \iff a \cdot c = b \cdot c \quad (c \neq 0)$
mnożyć i dzielić wolno przez liczbę różną od zera
Przypadki szczególne
$0 \cdot x = 0 \quad \text{vs.} \quad 0 \cdot x = c \neq 0$
tożsamość (każde x) i sprzeczność (brak rozwiązań)

Nierówności liniowe

Nierówność liniowa
$ax + b > c \quad (a \neq 0)$
zamiast znaku równości jeden ze znaków <, >, ≤, ≥
Dodanie liczby do obu stron
$a > b \iff a + c > b + c$
zwrot nierówności bez zmian
Mnożenie przez liczbę dodatnią
$a > b \iff ac > bc \quad (c > 0)$
zwrot nierówności bez zmian
Mnożenie przez liczbę ujemną
$a > b \iff ac < bc \quad (c < 0)$
zwrot nierówności ODWRACA SIĘ
Zapis przedziałowy
$x > 3 \iff x \in (3, \infty)$
nawias okrągły — koniec nie należy do zbioru
Nierówność nieostra
$x \ge 3 \iff x \in \langle 3, \infty)$
nawias ostrokątny — koniec należy do zbioru

Układy równań

Układ dwóch równań liniowych
$\begin{cases} a_1x + b_1y = c_1 \\ a_2x + b_2y = c_2 \end{cases}$
rozwiązaniem jest para liczb (x, y) spełniająca oba równania
Warunek układu oznaczonego
$a_1 b_2 - a_2 b_1 \neq 0$
dokładnie jedno rozwiązanie — proste przecinają się w jednym punkcie
Metoda podstawiania
$y = \frac{c_1 - a_1 x}{b_1} \;\longrightarrow\; a_2 x + b_2 \cdot \frac{c_1 - a_1 x}{b_1} = c_2$
wyznacz jedną niewiadomą i wstaw ją do drugiego równania
Metoda przeciwnych współczynników
$m \cdot (a_1 x + b_1 y) + n \cdot (a_2 x + b_2 y) = m c_1 + n c_2$
dobierz m i n tak, aby jedna niewiadoma się zredukowała
Wzory z wyznacznikami
$W = a_1 b_2 - a_2 b_1, \quad x = \frac{W_x}{W}, \quad y = \frac{W_y}{W}$
W_x i W_y powstają z W przez zamianę odpowiedniej kolumny na wyrazy wolne
Układ sprzeczny
$\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} \neq \frac{c_1}{c_2}$
proste równoległe — brak rozwiązań; przy równości wszystkich trzech ilorazów układ jest nieoznaczony

Równania kwadratowe

Postać ogólna równania kwadratowego
$ax^2 + bx + c = 0 \quad (a \neq 0)$
warunek a ≠ 0 odróżnia je od równania liniowego
Wyróżnik (delta)
$\Delta = b^2 - 4ac$
jego znak rozstrzyga o liczbie pierwiastków
Pierwiastki, gdy Δ > 0
$x_1 = \frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a}, \quad x_2 = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a}$
dwa różne rozwiązania rzeczywiste
Pierwiastek, gdy Δ = 0
$x_0 = \frac{-b}{2a}$
jedno rozwiązanie (podwójne)
Brak pierwiastków
$\Delta < 0 \implies x \in \varnothing$
równanie nie ma rozwiązań rzeczywistych
Wzory Viète
$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}, \quad x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}$
suma i iloczyn pierwiastków bez ich liczenia
Postać iloczynowa
$ax^2 + bx + c = a(x - x_1)(x - x_2)$
istnieje tylko wtedy, gdy Δ ≥ 0

Powiązane artykuły

Waga w idealnej równowadze jako geometryczna forma i prosta przecinająca oś niczym tor orbity, na tle kosmicznej mgławicy w fiolecie i magencie

Algebra

Co naprawdę znaczy x — niewiadoma, zmienna i parametr

Litera x nie zawsze znaczy to samo. Raz jest poszukiwaną liczbą, raz wielkością, która płynnie się zmienia, a raz pustym miejscem na dowolną liczbę. Oto skąd wziął się zapis algebraiczny, dlaczego czekaliśmy na niego dwa tysiące lat, co dokładnie odróżnia niewiadomą od zmiennej i parametru oraz dlaczego nierówność odwraca się przy mnożeniu przez liczbę ujemną.

11 min