Dział matematyki

Algebra

Wyrażenia z literami, równania i nierówności, układy równań i równania kwadratowe — jak policzyć to, czego jeszcze nie znasz: próg opłacalności, wymiar, dawkę.

Tematy w tym dziale

Średni

Wyrażenia algebraiczne

Wyrażenie algebraiczne to zapis, w którym obok liczb stoją litery. Poznaj zmienną, wyraz i współczynnik, naucz się redukować wyrazy podobne, wymnażać nawiasy — także dwumian przez dwumian — wyłączać wspólny czynnik przed nawias i obliczać wartość wyrażenia.

Otwórz lekcję

Średni

Równania liniowe

Równanie liniowe to równość z niewiadomą w pierwszej potędze. Poznaj operacje, które zachowują równoważność równań, rozwiąż je krok po kroku, sprawdź wynik, przekształć wzór tak, by wyznaczyć z niego zadaną wielkość, i policz równanie z niewiadomą w mianowniku.

Otwórz lekcję

Zaawansowany

Nierówności liniowe

Nierówność liniowa ma nie jedno rozwiązanie, lecz cały ich zbiór. Poznaj operacje, które zachowują zwrot nierówności, zapamiętaj jedyną, która go odwraca, i naucz się zaznaczać zbiór rozwiązań na osi liczbowej.

Otwórz lekcję

Zaawansowany

Układy równań

Układ równań to dwa warunki nałożone naraz na dwie niewiadome. Poznaj metodę podstawiania i metodę przeciwnych współczynników, zobacz rozwiązanie jako punkt przecięcia dwóch prostych i naucz się rozpoznawać układy sprzeczne oraz nieoznaczone.

Otwórz lekcję

Zaawansowany

Równania kwadratowe

Równanie kwadratowe to równanie z niewiadomą w drugiej potędze. Poznaj postać ogólną, wyróżnik delta, wzory na pierwiastki, szybkie sposoby na równania niezupełne, wzory Viète i odczyt rozwiązań z paraboli.

Otwórz lekcję

Średni

Wzory skróconego mnożenia

Siedem wzorów, które zamieniają mnożenie nawiasów na jedną linijkę — i te same siedem czytanych od prawej, czyli rozkład na czynniki. Kwadrat sumy i różnicy, różnica kwadratów, sześciany oraz suma i różnica sześcianów, z dowodem na rysunku i z rachunkiem w pamięci.

Otwórz lekcję

Zaawansowany

Wielomiany

Wielomian to suma jednomianów — i wszystko, co się z nim robi, jest przedłużeniem rachunku na liczbach. Stopień i współczynniki, dodawanie, odejmowanie i mnożenie, dzielenie przez dwumian schematem Hornera, twierdzenie Bézouta, pierwiastki całkowite, rozkład na czynniki i równania dwukwadratowe.

Otwórz lekcję

Zaawansowany

Wyrażenia i równania wymierne

Ułamek, w którym zamiast liczb stoją wielomiany — i te same cztery działania co na ułamkach zwykłych, tyle że poprzedzone rozkładem na czynniki. Dziedzina i liczby wykluczone, skracanie, mnożenie i dzielenie, dodawanie i odejmowanie oraz równania wymierne w postaci iloczynowej.

Otwórz lekcję

Zaawansowany

Nierówności kwadratowe i wymierne

Rozwiązać nierówność to znaleźć nie jedną liczbę, tylko cały zbiór — i to zawsze w dwóch krokach: miejsca zerowe, a potem znak między nimi. Parabola i znak trójmianu, trzy przypadki delty, siatka znaków, nierówności wielomianowe i wymierne z pułapką zera w mianowniku.

Otwórz lekcję

Zaawansowany

Równania i nierówności z wartością bezwzględną

Moduł mierzy odległość — i to jedno zdanie rozwiązuje całą tę lekcję. Równanie |x − a| = r pyta o punkty odległe od a o r, nierówność ostra daje przedział wokół a, a nierówność w drugą stronę — sumę dwóch przedziałów. Do tego odczyt środka i promienia oraz przypadki bez rozwiązań.

Otwórz lekcję

Zaawansowany

Równania, nierówności i układy z parametrem

Parametr to nie druga niewiadoma, tylko nastawa — jedna literka, która zamienia jedno zadanie w całą rodzinę zadań. Równanie liniowe i jego przypadek zdegenerowany, delta jako warunek na liczbę pierwiastków, wzory Viète’a, nierówność spełniona dla każdego x oraz układ prostej z parabolą.

Otwórz lekcję

Po co uczyć się tego działu

Każdy temat tego działu rozwiązuje konkretne sytuacje. Oto po jednej z każdej lekcji:

Rachunek za prąd
Rachunek to wyrażenie 39,80 + 1,08z: opłaty stałe plus 1,08 zł za każdą kilowatogodzinę. Przy 210 kWh płacisz 266,60 zł, ale po ograniczeniu zużycia do 105 kWh rachunek spada tylko do 153,20 zł — do 57%, nie do połowy, bo 39,80 zł nie zależy od z.
Wyrażenia algebraiczne
Siłownia
Karnet bez limitu kosztuje 129 zł miesięcznie, pojedyncze wejście 15 zł. Z równania 15x = 129 wychodzi x = 8,6, więc karnet zaczyna się opłacać dopiero od dziewiątego wejścia w miesiącu — przy ośmiu zapłacisz 120 zł i wyjdziesz taniej bez karnetu.
Równania liniowe
Zakupy online
Sklep wysyła za darmo od 199 zł, w koszyku masz 164,50 zł, a paczka kawy kosztuje 12,90 zł. Nierówność 164,50 + 12,90n ≥ 199 daje n ≥ 2,68 — a że 2,68 paczki kupić się nie da, dokładasz trzy i kończysz na 203,20 zł.
Nierówności liniowe
Rachunek z kawiarni
Na paragonie widnieją tylko sumy: 3 kawy i 2 ciastka za 61 zł, a dzień wcześniej 2 kawy i 4 ciastka za 66 zł. Dwa równania z dwiema niewiadomymi rozdzielają te kwoty na kawę po 14 zł i ciastko po 9,50 zł — z jednego paragonu wyliczyć się tego nie da.
Układy równań
Warzywnik
Masz 38 m siatki i chcesz nią ogrodzić prostokątny warzywnik o powierzchni 84 m². Boki sumują się do 19 m, więc x(19 − x) = 84, czyli x² − 19x + 84 = 0. Delta wynosi 25 i daje pierwiastki 7 oraz 12 — to jedna grządka 7 × 12 m, opisana raz od szerokości, raz od długości.
Równania kwadratowe Zobacz lekcję: Pole prostokąta
Rachunek w pamięci przy kasie
Iloczyn 98 · 102 to (100 − 2)(100 + 2), czyli 10 000 − 4 = 9996. Tak samo 47 · 53 = 50² − 3² = 2500 − 9 = 2491. Każde mnożenie dwóch liczb leżących symetrycznie wokół okrągłej setki czy pięćdziesiątki schodzi do jednego odejmowania.
Wzory skróconego mnożenia
Warsztat i pudełko z arkusza kartonu
Z arkusza 30 × 20 cm wycinamy w rogach kwadraciki o boku x i zaginamy brzegi. Objętość pudełka to wielomian V(x) = x(30 − 2x)(20 − 2x) = 4x³ − 100x² + 600x. Dla x = 4 cm wychodzi 4 · 22 · 12 = 1056 cm³, a dla x = 3 cm tylko 3 · 24 · 14 = 1008 cm³ — jeden centymetr różnicy w cięciu to prawie 5% pojemności.
Wielomiany
Podróż tam i z powrotem
Ta sama trasa przejechana z prędkością 60 km/h i wracana z prędkością 40 km/h daje średnią 2 / (1/60 + 1/40) = 48 km/h, a nie 50 km/h. Różnica bierze się stąd, że wolniejszy przejazd trwa dłużej i waży w średniej więcej — i widać ją dopiero po sprowadzeniu dwóch ułamków do wspólnego mianownika.
Wyrażenia i równania wymierne Zobacz lekcję: Prędkość, droga, czas
Rzut piłką i czas nad wysokością
Piłka wyrzucona pionowo z prędkością 20 m/s jest na wysokości h(t) = 20t − 5t². Pytanie „jak długo jest wyżej niż 15 m” to nierówność 20t − 5t² ≥ 15, czyli t² − 4t + 3 ≤ 0, a jej rozwiązaniem jest ⟨1; 3⟩. Piłka spędza nad tą wysokością dokładnie 2 sekundy.
Nierówności kwadratowe i wymierne
Paczka i limit masy
Przewoźnik przyjmuje paczki o masie 5 kg z tolerancją 200 g, co zapisuje się jednym warunkiem |m − 5| ≤ 0,2 i oznacza przedział od 4,8 do 5,2 kg. Paczka ważąca 5,25 kg wpada w wyższy próg cenowy — o 50 gramów, których na oko nie widać.
Równania i nierówności z wartością bezwzględną
Taryfa telefoniczna i cena minuty
Taryfa A kosztuje 30 zł abonamentu plus m złotych za minutę, taryfa B — 50 zł plus 0,10 zł za minutę. Zrównanie kosztów daje równanie 30 + mt = 50 + 0,1t, czyli (m − 0,1)t = 20. Dla m = 0,10 zł współczynnik przy t znika i równanie nie ma rozwiązania: taryfy różnią się o stałe 20 zł przy każdej liczbie minut. Dla m = 0,15 zł zrównują się po t = 400 minutach.
Równania, nierówności i układy z parametrem

Wzory działu

Dział: Algebra

Wyrażenia algebraiczne

Redukcja wyrazów podobnych
$ax + bx = (a + b)x$
dodajemy współczynniki, litera zostaje bez zmian
Rozdzielność mnożenia względem dodawania
$a(b + c) = ab + ac$
mnożymy każdy składnik z nawiasu
Rozdzielność przy odejmowaniu
$a(b - c) = ab - ac$
ta sama reguła, ze znakiem minus
Minus przed nawiasem
$-(b + c) = -b - c$
zmienia znak każdego wyrazu w nawiasie
Mnożenie dwumianu przez dwumian
$(a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd$
każdy wyraz z pierwszego nawiasu przez każdy z drugiego
Wyłączanie wspólnego czynnika przed nawias
$ab + ac = a(b + c)$
rozdzielność czytana od prawej do lewej
Dodawanie a mnożenie liter
$x \cdot x = x^2, \quad x + x = 2x$
to dwa różne działania — nie mylić

Równania liniowe

Równanie liniowe z jedną niewiadomą
$ax + b = c \quad (a \neq 0)$
niewiadoma występuje w pierwszej potędze
Rozwiązanie
$x = \frac{c - b}{a}$
odejmij wyraz wolny, podziel przez współczynnik
Dodanie liczby do obu stron
$a = b \iff a + c = b + c$
równanie równoważne — ma te same rozwiązania
Pomnożenie obu stron
$a = b \iff a \cdot c = b \cdot c \quad (c \neq 0)$
mnożyć i dzielić wolno przez liczbę różną od zera
Przypadki szczególne
$0 \cdot x = 0 \quad \text{vs.} \quad 0 \cdot x = c \neq 0$
tożsamość (każde x) i sprzeczność (brak rozwiązań)
Przekształcanie wzoru
$s = vt \iff t = \frac{s}{v} \quad (v \neq 0)$
wyznaczamy jedną literę, pozostałe traktujemy jak liczby
Niewiadoma w mianowniku
$\frac{p}{x + b} = q \iff p = q(x + b) \quad (x \neq -b)$
najpierw założenie o dziedzinie, potem mnożenie

Nierówności liniowe

Nierówność liniowa
$ax + b > c \quad (a \neq 0)$
zamiast znaku równości jeden ze znaków <, >, ≤, ≥
Dodanie liczby do obu stron
$a > b \iff a + c > b + c$
zwrot nierówności bez zmian
Mnożenie przez liczbę dodatnią
$a > b \iff ac > bc \quad (c > 0)$
zwrot nierówności bez zmian
Mnożenie przez liczbę ujemną
$a > b \iff ac < bc \quad (c < 0)$
zwrot nierówności ODWRACA SIĘ
Zapis przedziałowy
$x > 3 \iff x \in (3, \infty)$
nawias okrągły — koniec nie należy do zbioru
Nierówność nieostra
$x \ge 3 \iff x \in \langle 3, \infty)$
nawias ostrokątny — koniec należy do zbioru

Układy równań

Układ dwóch równań liniowych
$\begin{cases} a_1x + b_1y = c_1 \\ a_2x + b_2y = c_2 \end{cases}$
rozwiązaniem jest para liczb (x, y) spełniająca oba równania
Warunek układu oznaczonego
$a_1 b_2 - a_2 b_1 \neq 0$
dokładnie jedno rozwiązanie — proste przecinają się w jednym punkcie
Metoda podstawiania
$y = \frac{c_1 - a_1 x}{b_1} \;\longrightarrow\; a_2 x + b_2 \cdot \frac{c_1 - a_1 x}{b_1} = c_2$
wyznacz jedną niewiadomą i wstaw ją do drugiego równania
Metoda przeciwnych współczynników
$m \cdot (a_1 x + b_1 y) + n \cdot (a_2 x + b_2 y) = m c_1 + n c_2$
dobierz m i n tak, aby jedna niewiadoma się zredukowała
Wzory z wyznacznikami
$W = a_1 b_2 - a_2 b_1, \quad x = \frac{W_x}{W}, \quad y = \frac{W_y}{W}$
W_x i W_y powstają z W przez zamianę odpowiedniej kolumny na wyrazy wolne
Układ sprzeczny
$\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} \neq \frac{c_1}{c_2}$
proste równoległe — brak rozwiązań; przy równości wszystkich trzech ilorazów układ jest nieoznaczony

Równania kwadratowe

Postać ogólna równania kwadratowego
$ax^2 + bx + c = 0 \quad (a \neq 0)$
warunek a ≠ 0 odróżnia je od równania liniowego
Wyróżnik (delta)
$\Delta = b^2 - 4ac$
jego znak rozstrzyga o liczbie pierwiastków
Pierwiastki, gdy Δ > 0
$x_1 = \frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a}, \quad x_2 = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a}$
dwa różne rozwiązania rzeczywiste
Pierwiastek, gdy Δ = 0
$x_0 = \frac{-b}{2a}$
jedno rozwiązanie (podwójne)
Brak pierwiastków
$\Delta < 0 \implies x \in \varnothing$
równanie nie ma rozwiązań rzeczywistych
Wzory Viète
$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}, \quad x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}$
suma i iloczyn pierwiastków bez ich liczenia
Postać iloczynowa
$ax^2 + bx + c = a(x - x_1)(x - x_2)$
istnieje tylko wtedy, gdy Δ ≥ 0

Wzory skróconego mnożenia

Kwadrat sumy
$(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$
środkowy wyraz to podwojony iloczyn, nie sam iloczyn
Kwadrat różnicy
$(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$
oba kwadraty dodatnie, minus tylko przy środkowym wyrazie
Różnica kwadratów
$(a - b)(a + b) = a^2 - b^2$
jedyny z tych wzorów, w którym środkowy wyraz znika
Sześcian sumy
$(a + b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$
współczynniki 1, 3, 3, 1
Sześcian różnicy
$(a - b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3$
znaki na przemian, począwszy od plusa
Różnica sześcianów
$a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$
w nawiasie plus przy środkowym wyrazie
Suma sześcianów
$a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$
w nawiasie minus przy środkowym wyrazie

Wielomiany

Postać ogólna
$W(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \dots + a_1 x + a_0$
stopień n to najwyższa potęga z niezerowym współczynnikiem
Stopień iloczynu
$\deg (V \cdot W) = \deg V + \deg W$
przy dodawaniu stopień może spaść, przy mnożeniu nigdy
Dzielenie z resztą
$W(x) = P(x) \cdot Q(x) + R(x), \quad \deg R < \deg P$
reszta ma stopień niższy niż dzielnik
Reszta z dzielenia przez dwumian
$W(x) = (x - a) \cdot Q(x) + W(a)$
reszta jest po prostu wartością wielomianu w punkcie a
Twierdzenie Bézouta
$(x - a) \mid W(x) \iff W(a) = 0$
pierwiastek i czynnik liniowy to ta sama informacja
Pierwiastki całkowite
$a_0 \ \vdots \ p \quad \text{dla każdego całkowitego pierwiastka } p$
szukamy ich wyłącznie wśród dzielników wyrazu wolnego
Równanie dwukwadratowe
$ax^4 + bx^2 + c = 0 \ \xrightarrow{\ t = x^2\ } \ at^2 + bt + c = 0$
podstawienie t = x², a na końcu powrót do x przez pierwiastkowanie

Wyrażenia i równania wymierne

Dziedzina
$D = \{ x \in \mathbb{R} : Q(x) \neq 0 \}$
najpierw dziedzina, dopiero potem rachunek
Skracanie
$\frac{P(x) \cdot S(x)}{Q(x) \cdot S(x)} = \frac{P(x)}{Q(x)}$
skracamy wyłącznie wspólny CZYNNIK, nigdy składnik
Mnożenie
$\frac{A}{B} \cdot \frac{C}{D} = \frac{AC}{BD}$
licznik przez licznik, mianownik przez mianownik
Dzielenie
$\frac{A}{B} : \frac{C}{D} = \frac{A}{B} \cdot \frac{D}{C}$
mnożenie przez odwrotność; dochodzi warunek C ≠ 0
Dodawanie
$\frac{A}{B} + \frac{C}{D} = \frac{AD + CB}{BD}$
wspólny mianownik to najmniejsza wspólna wielokrotność, nie zawsze iloczyn
Równanie wymierne
$\frac{P(x)}{Q(x)} = 0 \iff P(x) = 0 \ \text{i} \ Q(x) \neq 0$
zeruje się licznik, ale tylko w dziedzinie

Nierówności kwadratowe i wymierne

Postać iloczynowa
$ax^2 + bx + c = a(x - x_1)(x - x_2), \quad \Delta > 0$
punkt wyjścia każdej nierówności kwadratowej
Znak trójmianu
$\Delta > 0 \implies \text{znak } a \ \text{poza pierwiastkami, znak } -a \ \text{między nimi}$
parabola przecina oś dwa razy
Delta zerowa
$\Delta = 0 \implies \text{znak } a \ \text{wszędzie poza } x_0$
parabola dotyka osi w jednym punkcie
Delta ujemna
$\Delta < 0 \implies \text{znak } a \ \text{dla każdego } x$
parabola nie ma z osią punktów wspólnych
Nierówność wymierna
$\frac{P(x)}{Q(x)} \ge 0 \iff P(x) \cdot Q(x) \ge 0 \ \text{i} \ Q(x) \neq 0$
mnożymy przez kwadrat mianownika, dziedzina zostaje

Równania i nierówności z wartością bezwzględną

Równanie z modułem
$|x| = c \iff x = c \ \text{lub} \ x = -c, \quad c > 0$
dla c = 0 jedno rozwiązanie, dla c < 0 żadnego
Odległość równa r
$|x - a| = r \iff x = a - r \ \text{lub} \ x = a + r$
dwa punkty odległe od a o r
Bliżej niż r
$|x - a| < r \iff x \in (a - r; a + r)$
jeden przedział wokół środka a
Dalej niż r
$|x - a| > r \iff x \in (-\infty; a - r) \cup (a + r; +\infty)$
suma dwóch przedziałów, nigdy jeden
Moduł wyrażenia liniowego
$|ax + b| = c \iff ax + b = c \ \text{lub} \ ax + b = -c$
dwie gałęzie, każdą rozwiązujemy osobno
Środek i promień przedziału
$a = \frac{p + q}{2}, \qquad r = \frac{q - p}{2}$
zapis przedziału ⟨p; q⟩ jednym warunkiem |x − a| ≤ r

Równania, nierówności i układy z parametrem

Równanie liniowe z parametrem
$ax = b: \ a \neq 0 \implies x = \tfrac{b}{a}; \ a = 0, b \neq 0 \implies \varnothing; \ a = b = 0 \implies x \in \mathbb{R}$
trzy przypadki, o których rozstrzyga współczynnik przy niewiadomej
Warunek stopnia
$ax^2 + bx + c = 0 \ \text{jest kwadratowe} \iff a \neq 0$
pierwsze pytanie każdego zadania z parametrem przy x²
Delta i liczba pierwiastków
$\Delta > 0 \implies \text{dwa pierwiastki}, \quad \Delta = 0 \implies \text{jeden}, \quad \Delta < 0 \implies \text{brak}$
warunek na parametr wychodzi z nierówności na deltę
Wzory Viète’a
$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}, \qquad x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}$
pozwalają nałożyć warunek na pierwiastki bez ich liczenia
Nierówność zawsze prawdziwa
$ax^2 + bx + c > 0 \ \text{dla każdego } x \iff a > 0 \ \text{i} \ \Delta < 0$
oba warunki naraz — sam znak delty nie wystarczy

Powiązane artykuły

Waga w idealnej równowadze jako geometryczna forma i prosta przecinająca oś niczym tor orbity, na tle kosmicznej mgławicy w fiolecie i magencie

Algebra

Co naprawdę znaczy x — niewiadoma, zmienna i parametr

Litera x nie zawsze znaczy to samo. Raz jest poszukiwaną liczbą, raz wielkością, która płynnie się zmienia, a raz pustym miejscem na dowolną liczbę. Oto skąd wziął się zapis algebraiczny, dlaczego czekaliśmy na niego dwa tysiące lat, co dokładnie odróżnia niewiadomą od zmiennej i parametru oraz dlaczego nierówność odwraca się przy mnożeniu przez liczbę ujemną.

11 min