Jak rozwiązać nierówność kwadratową?

W trzech krokach. Przenosimy wszystko na jedną stronę tak, by po drugiej zostało zero. Wyznaczamy miejsca zerowe trójmianu (delta albo wzory skróconego mnożenia). Szkicujemy parabolę — ramiona w górę dla a > 0, w dół dla a < 0 — i odczytujemy, nad którymi przedziałami leży ona po właściwej stronie osi. Zbiór rozwiązań zapisujemy przedziałem.

Czy nierówności kwadratowe są w zakresie podstawowym?

Tak. Nierówności kwadratowe to punkt zakresu podstawowego liceum. Zakresem rozszerzonym są dopiero nierówności wielomianowe wyższych stopni oraz nierówności wymierne, którym poświęcona jest druga połowa tej lekcji.

Co zrobić, gdy delta jest ujemna?

Trójmian nie ma miejsc zerowych, więc jego znak jest wszędzie taki sam jak znak współczynnika a. Nierówność x² + x + 1 > 0 jest zatem spełniona przez każdą liczbę rzeczywistą, a nierówność x² + x + 1 < 0 nie ma rozwiązań i jej zbiorem rozwiązań jest zbiór pusty.

Dlaczego pierwiastek podwójny nie zmienia znaku?

Bo czynnik (x − a)² jest kwadratem i nigdy nie jest ujemny. Wykres dotyka osi w takim punkcie i odbija się od niej, zamiast ją przeciąć. Na siatce znaków oznacza to, że po obu stronach pierwiastka o parzystej krotności stoi ten sam znak — i to jest jedyna rzecz, którą krotność w tej metodzie zmienia.

Dlaczego przy nierówności wymiernej koniec przy zerze mianownika jest zawsze otwarty?

Bo dla tej liczby wyrażenie nie ma wartości — nie jest ani dodatnie, ani ujemne, ani równe zeru. Znak nierówności (ostry czy nieostry) rozstrzyga tylko o końcach pochodzących z licznika. Zero mianownika wypada z dziedziny i zostaje wykluczone niezależnie od tego, jak nierówność jest zapisana.

Poziom zaawansowany

Nierówności kwadratowe i wymierne

Q: Czy nierówności kwadratowe są w zakresie podstawowym?

Tak. Nierówności kwadratowe to punkt zakresu podstawowego liceum. Zakresem rozszerzonym są dopiero nierówności wielomianowe wyższych stopni oraz nierówności wymierne, którym poświęcona jest druga połowa tej lekcji.

Q: Co zrobić, gdy delta jest ujemna?

Trójmian nie ma miejsc zerowych, więc jego znak jest wszędzie taki sam jak znak współczynnika a. Nierówność x² + x + 1 > 0 jest zatem spełniona przez każdą liczbę rzeczywistą, a nierówność x² + x + 1 < 0 nie ma rozwiązań i jej zbiorem rozwiązań jest zbiór pusty.

Q: Dlaczego pierwiastek podwójny nie zmienia znaku?

Bo czynnik (x − a)² jest kwadratem i nigdy nie jest ujemny. Wykres dotyka osi w takim punkcie i odbija się od niej, zamiast ją przeciąć. Na siatce znaków oznacza to, że po obu stronach pierwiastka o parzystej krotności stoi ten sam znak — i to jest jedyna rzecz, którą krotność w tej metodzie zmienia.

Q: Dlaczego przy nierówności wymiernej koniec przy zerze mianownika jest zawsze otwarty?

Bo dla tej liczby wyrażenie nie ma wartości — nie jest ani dodatnie, ani ujemne, ani równe zeru. Znak nierówności (ostry czy nieostry) rozstrzyga tylko o końcach pochodzących z licznika. Zero mianownika wypada z dziedziny i zostaje wykluczone niezależnie od tego, jak nierówność jest zapisana.

Rozwiązać nierówność to znaleźć nie jedną liczbę, tylko cały zbiór — i to zawsze w dwóch krokach: miejsca zerowe, a potem znak między nimi. Parabola i znak trójmianu, trzy przypadki delty, siatka znaków, nierówności wielomianowe i wymierne z pułapką zera w mianowniku.

Zanim zaczniesz

Ten temat opiera się na wcześniejszych zagadnieniach. Zanim zaczniesz, warto przerobić poniższe lekcje — dzięki nim wszystko pójdzie gładko:

Gdzie się tego używa

Konkretne sytuacje, w których liczysz dokładnie tak, jak uczy ta lekcja:

Rzut piłką i czas nad wysokością
Piłka wyrzucona pionowo z prędkością 20 m/s jest na wysokości h(t) = 20t − 5t². Pytanie „jak długo jest wyżej niż 15 m” to nierówność 20t − 5t² ≥ 15, czyli t² − 4t + 3 ≤ 0, a jej rozwiązaniem jest ⟨1; 3⟩. Piłka spędza nad tą wysokością dokładnie 2 sekundy.
Ogrodzenie i największa działka
Mając 40 m siatki na prostokątny wybieg, boki dobieramy tak, by x + y = 20. Warunek „pole co najmniej 96 m²” to x(20 − x) ≥ 96, czyli x² − 20x + 96 ≤ 0, a stąd x ∈ ⟨8; 12⟩. Bok krótszy niż 8 m albo dłuższy niż 12 m nie da już wymaganego pola, choć siatki zużyje tyle samo.
Farmacja i okno terapeutyczne
Stężenie leku we krwi opisuje wyrażenie wymierne C(t) = 100t / (t² + 4) mg/l. Warunek skuteczności C(t) ≥ 20 sprowadza się do 20t² − 100t + 80 ≤ 0, czyli t² − 5t + 4 ≤ 0, a to daje t ∈ ⟨1; 4⟩. Lek działa przez 3 godziny i to jest odstęp, po jakim trzeba podać kolejną dawkę.
Produkcja i próg rentowności
Koszt jednostkowy przy nakładzie stałym 5000 zł i koszcie zmiennym 12 zł na sztukę to k(n) = (5000 + 12n) / n. Warunek „nie drożej niż 20 zł za sztukę” to nierówność wymierna (5000 + 12n) / n ≤ 20, z której wychodzi n ≥ 625. Poniżej 625 sztuk seria się nie opłaca, choć każda kolejna sztuka kosztuje tylko 12 zł.

Wszystkie wzory

Postać iloczynowa
$ax^2 + bx + c = a(x - x_1)(x - x_2), \quad \Delta > 0$
punkt wyjścia każdej nierówności kwadratowej
Znak trójmianu
$\Delta > 0 \implies \text{znak } a \ \text{poza pierwiastkami, znak } -a \ \text{między nimi}$
parabola przecina oś dwa razy
Delta zerowa
$\Delta = 0 \implies \text{znak } a \ \text{wszędzie poza } x_0$
parabola dotyka osi w jednym punkcie
Delta ujemna
$\Delta < 0 \implies \text{znak } a \ \text{dla każdego } x$
parabola nie ma z osią punktów wspólnych
Nierówność wymierna
$\frac{P(x)}{Q(x)} \ge 0 \iff P(x) \cdot Q(x) \ge 0 \ \text{i} \ Q(x) \neq 0$
mnożymy przez kwadrat mianownika, dziedzina zostaje

Równanie ma rozwiązania, które da się wypisać. Nierówność ma ich zwykle nieskończenie wiele, więc odpowiedzią jest zbiór — najczęściej przedział albo suma dwóch przedziałów. Metoda jest za każdym razem ta sama i składa się z dwóch kroków: najpierw miejsca zerowe, potem znak wyrażenia między nimi.

Nierówności kwadratowe to zakres podstawowy. Nierówności wielomianowe wyższych stopni i wymierne, którymi kończy się ta lekcja, to zakres rozszerzony — ale metoda jest dokładnie ta sama, tylko punktów na osi jest więcej.

Parabola mówi, gdzie trójmian jest ujemny

Nierówność $x^2 - x - 6 < 0$ pyta: dla których $x$ wykres leży pod osią. Miejsca zerowe znajdujemy tak jak w równaniu kwadratowym: $\Delta = 1 + 24 = 25$ , więc $x_1 = -2$ i $x_2 = 3$ .

Ramiona w górę, bo a = 1 > 0. Pod osią parabola leży dokładnie między swoimi miejscami zerowymi.

Zacieniowany fragment to odpowiedź: $x \in (-2; 3)$ . Końce są otwarte, bo w $-2$ i $3$ wyrażenie jest równe zeru, a nierówność jest ostra.

Gdyby znak był odwrotny — $x^2 - x - 6 > 0$ — odpowiedzią byłyby dwa kawałki poza pierwiastkami:

x \in (-\infty; -2) \cup (3; +\infty)

To jest reguła ogólna: dla $\Delta > 0$ trójmian ma znak współczynnika $a$ poza pierwiastkami, a znak przeciwny między nimi.

Trzy przypadki delty

Delta	Parabola	Znak trójmianu
$\Delta > 0$	przecina oś w dwóch punktach	znak $a$ poza pierwiastkami, przeciwny między nimi
$\Delta = 0$	dotyka osi w jednym punkcie	znak $a$ wszędzie poza $x_0$ , w $x_0$ zero
$\Delta < 0$	nie dotyka osi	znak $a$ dla każdego $x$

Dwa ostatnie wiersze dają odpowiedzi, które zaskakują przy pierwszym spotkaniu. Nierówność $x^2 - 4x + 4 > 0$ ma $\Delta = 0$ i pierwiastek $x_0 = 2$ , więc spełnia ją każda liczba poza dwójką: $x \in \mathbb{R} \setminus \{2\}$ . A nierówność $x^2 + x + 1 < 0$ ma $\Delta = -3 < 0$ i ramiona w górę, więc nie spełnia jej żadna liczba — jej zbiorem rozwiązań jest $\varnothing$ .

Rozwiąż nierówność −2x² + 8x ≥ 0.

Siatka znaków

Dla wielomianu wyższego stopnia rysowanie wykresu przestaje być praktyczne. Zastępuje je siatka znaków: pierwiastki na osi, a między nimi znak wyrażenia. Zaczynamy od prawej strony, gdzie znak jest taki jak znak współczynnika przy najwyższej potędze, i idąc w lewo zmieniamy znak przy każdym pierwiastku o nieparzystej krotności.

Krotność jest tu jedyną rzeczą, o której trzeba pomyśleć. Czynnik $(x - a)^2$ jest kwadratem, więc nigdy nie jest ujemny — wykres dotyka osi i się od niej odbija, a znak nie zmienia się.

Siatka znaków wielomianu (x + 2)(x − 1)(x − 4). Dwa paski u góry to dwa kawałki jednego zbioru rozwiązań nierówności > 0.

Odczyt: nierówność $(x + 2)(x - 1)(x - 4) > 0$ jest spełniona tam, gdzie w siatce stoi plus, czyli

x \in (-2; 1) \cup (4; +\infty)

Suma dwóch przedziałów jest tu normą, a nie wyjątkiem — im więcej pierwiastków, tym więcej kawałków.

Rozwiąż nierówność (x + 2)(x − 1)² ≥ 0.

Nierówności wymierne

Nierówności $\dfrac{P(x)}{Q(x)} \ge 0$ nie wolno mnożyć obustronnie przez $Q(x)$ : nie wiadomo, jakiego znaku jest ten mianownik, a mnożenie przez liczbę ujemną odwraca zwrot nierówności. Wolno za to pomnożyć przez $Q^2(x)$ , które jest dodatnie zawsze, gdy nie jest zerem:

\frac{P(x)}{Q(x)} \ge 0 \iff P(x) \cdot Q(x) \ge 0 \ \text{i} \ Q(x) \neq 0

Ułamek zamienia się więc w iloczyn i wraca do siatki znaków. Zostaje jedna różnica, i to ona jest sednem całej tej części lekcji: zero mianownika jest wykluczone niezależnie od znaku nierówności. Nawet w nierówności nieostrej ten koniec pozostaje otwarty, bo wyrażenie nie ma tam żadnej wartości.

Kropka pusta w −2 to zero mianownika. Koniec w jedynce jest zamalowany, bo znak nierówności jest nieostry, a jedynka należy do dziedziny.

Odpowiedź: $x \in (-2; 1 \rangle$ . Dwa końce jednego przedziału mają tu różne nawiasy i nie jest to niedopatrzenie — jeden pochodzi z licznika, drugi z dziedziny.

Ćwiczenia

Rozwiąż zestaw zadań — trudność rośnie z każdym kolejnym. Na końcu zobaczysz wynik i listę pomyłek do powtórki.

Zadanie 1 z 8Punkty: 0

Ile liczb całkowitych: x² − 8x + 12 < 0

Częste błędy

Mnożenie nierówności przez mianownik — $Q(x)$ może być ujemne i wtedy zwrot nierówności trzeba odwrócić. Bezpiecznie jest sprowadzić wszystko do jednego ułamka i przejść na iloczyn $P \cdot Q$ .
Domykanie zera mianownika — w $\dfrac{x - 1}{x + 2} \le 0$ koniec przy $-2$ zostaje otwarty, choć nierówność jest nieostra.
Zmiana znaku przy pierwiastku podwójnym — przy krotności parzystej wykres odbija się od osi, więc znak po obu stronach jest ten sam.
Podawanie jednego przedziału zamiast sumy — nierówność $x^2 > 4$ ma rozwiązanie $(-\infty; -2) \cup (2; +\infty)$ , a nie „ $x > 2$ ”.
Zapominanie o pierwiastkach przy nierówności nieostrej — przy $\ge$ i $\le$ miejsca zerowe licznika należą do zbioru rozwiązań.
Ignorowanie znaku współczynnika $a$ — dla $a < 0$ ramiona idą w dół i cały odczyt się odwraca; wyznaczenie samych pierwiastków nie wystarczy.

Karta wzorów

Temat: Nierówności kwadratowe i wymierne

Postać iloczynowa
$ax^2 + bx + c = a(x - x_1)(x - x_2), \quad \Delta > 0$
punkt wyjścia każdej nierówności kwadratowej
Znak trójmianu
$\Delta > 0 \implies \text{znak } a \ \text{poza pierwiastkami, znak } -a \ \text{między nimi}$
parabola przecina oś dwa razy
Delta zerowa
$\Delta = 0 \implies \text{znak } a \ \text{wszędzie poza } x_0$
parabola dotyka osi w jednym punkcie
Delta ujemna
$\Delta < 0 \implies \text{znak } a \ \text{dla każdego } x$
parabola nie ma z osią punktów wspólnych
Nierówność wymierna
$\frac{P(x)}{Q(x)} \ge 0 \iff P(x) \cdot Q(x) \ge 0 \ \text{i} \ Q(x) \neq 0$
mnożymy przez kwadrat mianownika, dziedzina zostaje

Parabola y = x² − x − 6. Poniżej osi leży dokładnie nad przedziałem (−2; 3) — i to jest zbiór rozwiązań nierówności x² − x − 6 < 0.

Nierówność (x − 1) / (x + 2) ≤ 0. Koniec w jedynce jest domknięty, a koniec w −2 zostaje otwarty, bo tam mianownik się zeruje.

Najczęstsze pytania

Powiązane artykuły

Waga w idealnej równowadze jako geometryczna forma i prosta przecinająca oś niczym tor orbity, na tle kosmicznej mgławicy w fiolecie i magencie

Algebra

Co naprawdę znaczy x — niewiadoma, zmienna i parametr

Litera x nie zawsze znaczy to samo. Raz jest poszukiwaną liczbą, raz wielkością, która płynnie się zmienia, a raz pustym miejscem na dowolną liczbę. Oto skąd wziął się zapis algebraiczny, dlaczego czekaliśmy na niego dwa tysiące lat, co dokładnie odróżnia niewiadomą od zmiennej i parametru oraz dlaczego nierówność odwraca się przy mnożeniu przez liczbę ujemną.

11 min