Nierówności liniowe

Nierówność liniowa wygląda jak równanie liniowe, tylko zamiast znaku równości stoi w niej jeden ze znaków $<$, $>$, $\le$, $\ge$:

Różnica w wyniku jest zasadnicza. Równanie liniowe ma na ogół jedno rozwiązanie; nierówność — cały zbiór rozwiązań. Odpowiedzią nie jest liczba, tylko warunek w rodzaju $x > 3$.

Co wolno zrobić z nierównością

Nierówności przekształcamy tak samo jak równania, z jednym wyjątkiem, o którym zaraz. Zwrot nierówności zachowują:

Można więc przenosić wyrazy na drugą stronę (ze zmianą znaku, jak w równaniach) i dzielić obie strony przez liczbę dodatnią.

Jedyny wyjątek: mnożenie i dzielenie przez liczbę ujemną

Mnożąc lub dzieląc obie strony przez liczbę ujemną, trzeba odwrócić zwrot nierówności:

Dlaczego? Bo mnożenie przez liczbę ujemną odbija oś liczbową względem zera i odwraca kolejność liczb. Prawdą jest $2 < 5$, ale po pomnożeniu obu stron przez $-1$ mamy $-2$ i $-5$, a $-2 > -5$. Gdyby znak został bez zmian, ze zdania prawdziwego zrobiłoby się fałszywe.

Uwaga: znak odwraca mnożenie lub dzielenie przez liczbę ujemną, a nie sama obecność minusa w zadaniu. Przeniesienie $-3$ na drugą stronę zwrotu nie zmienia.

Zbiór rozwiązań na osi liczbowej

Rozwiązanie nierówności najlepiej widać na osi liczbowej: zaznaczamy liczbę graniczną i całą półprostą po tej stronie, po której leżą rozwiązania.

O tym, czy granica należy do zbioru, decyduje rodzaj nierówności:

• ostra ($<$, $>$) — granica nie należy; na rysunku ręcznym zaznaczamy ją kółkiem pustym,
• nieostra ($\le$, $\ge$) — granica należy; kółko zamalowane.

Ten sam zbiór zapisujemy krócej jako przedział:

Nawias okrągły oznacza koniec nienależący do zbioru, ostrokątny (domknięty) — należący. Przy nieskończoności zawsze stoi nawias okrągły, bo nieskończoność nie jest liczbą.

Nierówności w praktyce

Nierówności odpowiadają na pytania „ile najwięcej" i „ile co najmniej". Przewóz kosztuje 40 zł plus 6 zł za paczkę, a budżet to 100 zł. Ile paczek zmieści się w budżecie?

Zbiorem rozwiązań są wszystkie $x \le 10$, ale liczba paczek jest liczbą całkowitą nieujemną — odpowiedź brzmi: najwyżej dziesięć. To typowe dla zadań z treścią: zbiór rozwiązań daje matematyka, a sens zadania go zawęża.

W zadaniach poniżej wpisz cały zbiór rozwiązań, na przykład x > 3 albo x ≥ 3 (zapis x >= 3 też przejdzie). Sama liczba graniczna nie wystarczy — chodzi też o zwrot.

Częste błędy

• Niezmieniony zwrot po dzieleniu przez liczbę ujemną — najczęstszy błąd całego tematu.
• Odwracanie zwrotu przy przenoszeniu wyrazu — przeniesienie to dodawanie, więc zwrot zostaje.
• Mylenie nierówności ostrej z nieostrą — $x > 3$ nie zawiera trójki, $x \ge 3$ zawiera.
• Podanie samej liczby granicznej — $3$ nie jest odpowiedzią; odpowiedzią jest $x > 3$.
• Zapomnienie o sensie zadania — liczba paczek czy osób nie bywa ułamkiem ani liczbą ujemną.