Co to jest układ równań?

To dwa (albo więcej) równania rozpatrywane jednocześnie, w których występują te same niewiadome. Rozwiązaniem układu z dwiema niewiadomymi jest para liczb spełniająca każde równanie z osobna — jedno równanie to za mało, żeby wyznaczyć dwie liczby.

Na czym polega metoda podstawiania?

Z jednego równania wyznaczamy jedną niewiadomą, na przykład y, i wstawiamy otrzymane wyrażenie w miejsce y w drugim równaniu. Zostaje wtedy jedno równanie z jedną niewiadomą, które rozwiązujemy jak zwykłe równanie liniowe, a znalezioną liczbę wstawiamy z powrotem, żeby policzyć drugą.

Na czym polega metoda przeciwnych współczynników?

Mnożymy równania przez tak dobrane liczby, żeby współczynniki przy jednej niewiadomej stały się liczbami przeciwnymi, a potem dodajemy równania stronami. Ta niewiadoma znika i zostaje równanie z jedną niewiadomą. Metoda jest wygodniejsza od podstawiania, gdy przy żadnej niewiadomej nie stoi jedynka.

Którą metodę wybrać?

Jeśli w którymś równaniu niewiadoma stoi ze współczynnikiem 1 albo −1, szybsze jest podstawianie, bo wyznaczenie jej nie wprowadza ułamków. W pozostałych przypadkach zwykle wygodniejsze są przeciwne współczynniki. Obie metody dają ten sam wynik, więc wybór jest kwestią rachunkowej wygody.

Jak sprawdzić rozwiązanie układu?

Podstaw znalezioną parę do obu równań i policz obie strony. Rozwiązanie jest poprawne dopiero wtedy, gdy zgadzają się oba równania — para pasująca tylko do jednego z nich rozwiązaniem układu nie jest.

Kiedy układ nie ma rozwiązań, a kiedy ma ich nieskończenie wiele?

Gdy w trakcie przekształceń obie niewiadome znikają i zostaje zdanie fałszywe, na przykład 0 = 6, układ jest sprzeczny i nie ma rozwiązań — na wykresie to dwie proste równoległe. Gdy zostaje zdanie prawdziwe, na przykład 0 = 0, układ jest nieoznaczony i spełnia go nieskończenie wiele par — obie proste się pokrywają.

Co oznacza rozwiązanie układu na wykresie?

Każde równanie liniowe z dwiema niewiadomymi opisuje prostą. Rozwiązaniem układu jest punkt wspólny obu prostych, więc jego współrzędne to szukana para (x, y). Proste przecinające się dają jedno rozwiązanie, równoległe — żadnego, a pokrywające się — nieskończenie wiele.

Poziom zaawansowany

Układy równań

Układ równań to dwa warunki nałożone naraz na dwie niewiadome. Poznaj metodę podstawiania i metodę przeciwnych współczynników, zobacz rozwiązanie jako punkt przecięcia dwóch prostych i naucz się rozpoznawać układy sprzeczne oraz nieoznaczone.

Zanim zaczniesz

Ten temat opiera się na wcześniejszych zagadnieniach. Zanim zaczniesz, warto przerobić poniższe lekcje — dzięki nim wszystko pójdzie gładko:

Równania linioweRównanie liniowe to równość z niewiadomą w pierwszej potędze. Poznaj operacje, które zachowują równoważność równań, rozwiąż je krok po kroku, sprawdź wynik i naucz się rozpoznawać równania sprzeczne oraz tożsamościowe.

Wszystkie wzory

Układ dwóch równań liniowych
$\begin{cases} a_1x + b_1y = c_1 \\ a_2x + b_2y = c_2 \end{cases}$
rozwiązaniem jest para liczb (x, y) spełniająca oba równania
Warunek układu oznaczonego
$a_1 b_2 - a_2 b_1 \neq 0$
dokładnie jedno rozwiązanie — proste przecinają się w jednym punkcie
Metoda podstawiania
$y = \frac{c_1 - a_1 x}{b_1} \;\longrightarrow\; a_2 x + b_2 \cdot \frac{c_1 - a_1 x}{b_1} = c_2$
wyznacz jedną niewiadomą i wstaw ją do drugiego równania
Metoda przeciwnych współczynników
$m \cdot (a_1 x + b_1 y) + n \cdot (a_2 x + b_2 y) = m c_1 + n c_2$
dobierz m i n tak, aby jedna niewiadoma się zredukowała
Wzory z wyznacznikami
$W = a_1 b_2 - a_2 b_1, \quad x = \frac{W_x}{W}, \quad y = \frac{W_y}{W}$
W_x i W_y powstają z W przez zamianę odpowiedniej kolumny na wyrazy wolne
Układ sprzeczny
$\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} \neq \frac{c_1}{c_2}$
proste równoległe — brak rozwiązań; przy równości wszystkich trzech ilorazów układ jest nieoznaczony

Jedno równanie z dwiema niewiadomymi ma nieskończenie wiele rozwiązań: do $x + y = 5$ pasuje i para $(1, 4)$ , i $(2, 3)$ , i $(10, -5)$ . Żeby wyznaczyć dwie liczby, potrzebne są dwa warunki naraz. Tak powstaje układ równań:

\begin{cases} a_1x + b_1y = c_1 \\ a_2x + b_2y = c_2 \end{cases}

Rozwiązaniem układu jest para liczb $(x, y)$ , która spełnia oba równania jednocześnie. Para pasująca tylko do jednego z nich rozwiązaniem nie jest — i to jest cała różnica między układem a dwoma osobnymi równaniami.

Metoda podstawiania

Pomysł jest prosty: z jednego równania wyznaczamy jedną niewiadomą i wstawiamy ją do drugiego. Zostaje wtedy jedno równanie z jedną niewiadomą, czyli zadanie, które już umiemy zrobić.

Rozwiąż układ: x + y = 5 oraz 2x − y = 4.

Zwróć uwagę na nawias przy podstawianiu: wstawiamy całe wyrażenie, więc minus przed nim zmienia znak każdego składnika. To tutaj gubi się najwięcej znaków.

Metoda przeciwnych współczynników

Gdy przy żadnej niewiadomej nie stoi jedynka, wyznaczanie jej wprowadza ułamki. Wtedy wygodniej jest tak przemnożyć równania, żeby współczynniki przy jednej niewiadomej stały się przeciwne, i dodać równania stronami — ta niewiadoma zniknie sama.

Rozwiąż układ: 3x + 2y = 12 oraz 5x − 2y = 4.

Jeśli współczynniki nie są przeciwne od razu, mnożymy równania przez odpowiednie liczby — na przykład w układzie $2x + 3y = 8$ i $3x - 4y = -5$ wystarczy pomnożyć pierwsze przez $3$ , a drugie przez $-2$ , żeby przy $x$ pojawiły się $6$ i $-6$ .

Dwie proste na jednym wykresie

Każde równanie liniowe z dwiema niewiadomymi opisuje prostą. Układ pyta więc o punkt, który leży na obu prostych naraz:

Rozwiązanie układu to współrzędne punktu przecięcia: x = 3, y = 2.

Ten obrazek od razu tłumaczy wszystkie trzy możliwości. Proste mogą się przeciąć w jednym punkcie (jedno rozwiązanie), być równoległe (żadnego) albo pokrywać się (nieskończenie wiele).

Układ oznaczony, sprzeczny i nieoznaczony

O tym, który przypadek zachodzi, rozstrzygają same współczynniki:

a_1 b_2 - a_2 b_1 \neq 0 \quad \text{— układ oznaczony, dokładnie jedno rozwiązanie}

Rozwiąż układy: x + y = 4 oraz 2x + 2y = 10, a potem x + y = 4 oraz 2x + 2y = 8.

Praktyczna wskazówka: jeśli w trakcie rachunków obie niewiadome zniknęły, to nie pomyłka — to odpowiedź. Zostaje przeczytać zdanie, które zostało.

Układ jako model

Siła układów bierze się z zadań, w których szukamy dwóch liczb naraz. Za $2$ bilety normalne i $3$ ulgowe zapłacono $96$ zł, a za $1$ normalny i $2$ ulgowe — $54$ zł. Ile kosztuje każdy bilet?

\begin{cases} 2n + 3u = 96 \\ n + 2u = 54 \end{cases}

Z drugiego równania $n = 54 - 2u$ , więc:

2(54 - 2u) + 3u = 96

108 - u = 96 \quad \big| -108

-u = -12 \quad \big| \cdot (-1)

u = 12

Stąd $n = 54 - 2 \cdot 12 = 30$ . Bilet normalny kosztuje $30$ zł, ulgowy $12$ zł. Najtrudniejszy krok znów nie jest rachunkowy — to zapisanie obu warunków.

W zadaniach poniżej wpisz obie liczby po przecinku, w postaci $x = 2, y = 3$ (samo $2, 3$ też zostanie przyjęte).

Ćwiczenia

Rozwiąż zestaw zadań — trudność rośnie z każdym kolejnym. Na końcu zobaczysz wynik i listę pomyłek do powtórki.

Zadanie 1 z 8Punkty: 0

x + 3y = 14; x + y = 8

Częste błędy

Podstawienie bez nawiasu — w $2x - (5 - x)$ minus dotyczy obu składników.
Sprawdzenie tylko w jednym równaniu — para musi pasować do obu, inaczej to nie rozwiązanie układu.
Dodanie równań, gdy współczynniki nie są przeciwne — najpierw trzeba przemnożyć, dopiero potem dodawać.
Podanie samego $x$ — rozwiązaniem układu jest para liczb, nie jedna z nich.
Uznanie zniknięcia niewiadomych za błąd — to informacja o układzie sprzecznym albo nieoznaczonym.

Karta wzorów

Temat: Układy równań

Układ dwóch równań liniowych
$\begin{cases} a_1x + b_1y = c_1 \\ a_2x + b_2y = c_2 \end{cases}$
rozwiązaniem jest para liczb (x, y) spełniająca oba równania
Warunek układu oznaczonego
$a_1 b_2 - a_2 b_1 \neq 0$
dokładnie jedno rozwiązanie — proste przecinają się w jednym punkcie
Metoda podstawiania
$y = \frac{c_1 - a_1 x}{b_1} \;\longrightarrow\; a_2 x + b_2 \cdot \frac{c_1 - a_1 x}{b_1} = c_2$
wyznacz jedną niewiadomą i wstaw ją do drugiego równania
Metoda przeciwnych współczynników
$m \cdot (a_1 x + b_1 y) + n \cdot (a_2 x + b_2 y) = m c_1 + n c_2$
dobierz m i n tak, aby jedna niewiadoma się zredukowała
Wzory z wyznacznikami
$W = a_1 b_2 - a_2 b_1, \quad x = \frac{W_x}{W}, \quad y = \frac{W_y}{W}$
W_x i W_y powstają z W przez zamianę odpowiedniej kolumny na wyrazy wolne
Układ sprzeczny
$\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} \neq \frac{c_1}{c_2}$
proste równoległe — brak rozwiązań; przy równości wszystkich trzech ilorazów układ jest nieoznaczony

Rozwiązaniem układu x + y = 5 oraz 2x − y = 4 jest punkt przecięcia obu prostych: (3, 2).

Najczęstsze pytania

Powiązane artykuły

Waga w idealnej równowadze jako geometryczna forma i prosta przecinająca oś niczym tor orbity, na tle kosmicznej mgławicy w fiolecie i magencie

Algebra

Co naprawdę znaczy x — niewiadoma, zmienna i parametr

Litera x nie zawsze znaczy to samo. Raz jest poszukiwaną liczbą, raz wielkością, która płynnie się zmienia, a raz pustym miejscem na dowolną liczbę. Oto skąd wziął się zapis algebraiczny, dlaczego czekaliśmy na niego dwa tysiące lat, co dokładnie odróżnia niewiadomą od zmiennej i parametru oraz dlaczego nierówność odwraca się przy mnożeniu przez liczbę ujemną.

11 min