Równania kwadratowe

Równanie kwadratowe to takie, w którym niewiadoma występuje w drugiej potędze. Po uporządkowaniu każde z nich da się zapisać w postaci ogólnej:

$$ax^2 + bx + c = 0 \quad (a \neq 0)$$

Warunek $a \neq 0$ nie jest ozdobnikiem — to on odróżnia równanie kwadratowe od liniowego. Liczby $a$, $b$ i $c$ nazywamy współczynnikami; $b$ albo $c$ mogą być zerami, ale $a$ nigdy.

Wyróżnik, czyli delta

Zanim policzymy cokolwiek innego, liczymy jedną liczbę:

$$\Delta = b^2 - 4ac$$

Ta liczba stoi pod pierwiastkiem we wzorach na rozwiązania, więc jej znak rozstrzyga o wszystkim, zanim jeszcze zaczniemy szukać pierwiastków:

• $\Delta > 0$ — dwa różne pierwiastki,
• $\Delta = 0$ — jeden pierwiastek (podwójny),
• $\Delta < 0$ — brak pierwiastków rzeczywistych.

Wzory na pierwiastki

Gdy $\Delta > 0$, oba rozwiązania dane są wzorami:

$$x_1 = \frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a}, \qquad x_2 = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a}$$

Gdy $\Delta = 0$, oba wzory dają tę samą liczbę, więc zapisujemy je krócej:

$$x_0 = \frac{-b}{2a}$$

Najczęstsza pomyłka siedzi w znakach: we wzorze jest $-b$, więc przy $b = -2$ w liczniku pojawia się $+2$.

Równania niezupełne

Gdy brakuje wyrazu środkowego albo wolnego, delta oczywiście nadal działa — ale szkoda na nią czasu, bo skrót jest krótszy:

$$x^2 - 9 = 0 \iff x^2 = 9 \iff x = 3 \ \text{ lub } \ x = -3$$ $$x^2 - 5x = 0 \iff x(x - 5) = 0 \iff x = 0 \ \text{ lub } \ x = 5$$

Pierwszy przypadek to pierwiastkowanie obu stron — z dwoma znakami, bo kwadrat gubi znak. Drugi to wyłączenie $x$ przed nawias i skorzystanie z tego, że iloczyn jest zerem tylko wtedy, gdy któryś czynnik jest zerem. To ta sama reguła, na której stoi postać iloczynowa:

$$ax^2 + bx + c = a(x - x_1)(x - x_2)$$

Parabola i miejsca zerowe

Wykresem funkcji $y = ax^2 + bx + c$ jest parabola. Równanie $ax^2 + bx + c = 0$ pyta więc, gdzie ta parabola ma wysokość zero — czyli gdzie przecina oś $OX$:

Trzy przypadki delty widać teraz gołym okiem: przy $\Delta > 0$ parabola przecina oś w dwóch punktach, przy $\Delta = 0$ dotyka jej w jednym, a przy $\Delta < 0$ mija ją w całości — leży cała nad osią albo cała pod nią.

Sama parabola ma jeszcze wierzchołek, oś symetrii i postać kanoniczną, ale to już własności funkcji kwadratowej — wracamy do nich w dziale o funkcjach. Tutaj interesuje nas z niej tylko jedno: gdzie przecina oś $OX$.

Wzory Viète

Suma i iloczyn pierwiastków dają się odczytać z samych współczynników, bez liczenia delty:

$$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}, \qquad x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}$$

Dla $x^2 - 2x - 3 = 0$ daje to sumę $2$ i iloczyn $-3$ — zgadza się z parą $-1$ i $3$. To najtańsze sprawdzenie wyniku, jakie istnieje, a przy współczynnikach całkowitych często pozwala odgadnąć pierwiastki: szukamy dwóch liczb o zadanej sumie i zadanym iloczynie.

W zadaniach poniżej wpisz oba pierwiastki po przecinku, w kolejności rosnącej — na przykład $x_1 = -1, x_2 = 3$ (samo $-1, 3$ też zostanie przyjęte). Jeśli $\Delta = 0$ i pierwiastek jest jeden, wpisz jedną liczbę.

Ćwiczenia

Rozwiąż zestaw zadań — trudność rośnie z każdym kolejnym. Na końcu zobaczysz wynik i listę pomyłek do powtórki.

Zadanie 1 z 8Punkty: 0

x² − 11x + 30 = 0WynikSprawdź

Częste błędy

• Liczenie delty przed uporządkowaniem równania — najpierw wszystko na jedną stronę, potem odczyt $a$, $b$, $c$.
• Zgubiony znak przy $-b$ — dla $b = -2$ licznik zaczyna się od $+2$.
• Dzielenie tylko pierwszego składnika przez $2a$ — kreska ułamkowa obejmuje cały licznik.
• Jeden znak przy pierwiastkowaniu — z $x^2 = 9$ wynika $x = 3$ lub $x = -3$.
• Dzielenie równania przez $x$ — w $x^2 = 5x$ gubi to rozwiązanie $x = 0$; zamiast tego wyłącz $x$ przed nawias.
• Uznanie ujemnej delty za błąd rachunkowy — to poprawna odpowiedź: brak pierwiastków rzeczywistych.