Równania liniowe

Równanie to zdanie o równości dwóch wyrażeń, w którym występuje niewiadoma. Rozwiązać równanie znaczy znaleźć wszystkie liczby, które po wstawieniu w miejsce niewiadomej dają równość prawdziwą.

Równanie jest liniowe, gdy niewiadoma stoi w pierwszej potędze — nie w kwadracie, nie w mianowniku, nie pod pierwiastkiem:

Waga, czyli równania równoważne

Znak równości działa jak waga w równowadze: obie strony ważą tyle samo. Dopóki robimy z obiema stronami dokładnie to samo, równowaga się utrzymuje, a zbiór rozwiązań się nie zmienia. Takie równania nazywamy równoważnymi.

Równoważność zachowują dwie operacje:

Zastrzeżenie $c \neq 0$ nie jest formalnością: mnożenie obu stron przez zero zamienia każde równanie w prawdziwe $0 = 0$, a dzielenie przez zero jest niewykonalne.

Stąd bierze się szkolne „przenoszenie na drugą stronę ze zmianą znaku". To nie osobna reguła, tylko skrót: z $x + 5 = 12$ odejmujemy $5$ od obu stron i zostaje $x = 7$.

Rozwiązywanie krok po kroku

Plan jest zawsze ten sam: uporządkować obie strony, zebrać niewiadome po jednej stronie, liczby po drugiej, na końcu podzielić przez współczynnik przy niewiadomej.

Sprawdzenie jest częścią rozwiązania, nie ozdobnikiem: kosztuje dwa mnożenia, a wyłapuje każdy zgubiony znak.

Rozwiązanie na wykresie

Ta jedna sekcja potrzebuje układu współrzędnych, więc tyle, ile jej potrzeba, jest tutaj. Dwie prostopadłe osie — pozioma $x$ i pionowa $y$ — przecinają się w punkcie $(0;\ 0)$. Każdy punkt płaszczyzny opisuje wtedy para liczb: pierwsza mówi, jak daleko iść w prawo, druga — jak wysoko. Punkt $(4;\ 11)$ leży więc cztery kratki w prawo od osi $y$ i jedenaście w górę od osi $x$. To wszystko, czego wymaga poniższy rysunek; sam układ współrzędnych — ćwiartki, odległości, środek odcinka — ma osobny temat: układ współrzędnych.

Równanie $2x + 3 = 11$ można przeczytać jako pytanie: dla jakiego $x$ prosta $y = 2x + 3$ znajdzie się na wysokości $11$?

Proste przecinają się w jednym punkcie, więc równanie ma dokładnie jedno rozwiązanie. Ten obrazek tłumaczy też oba przypadki szczególne z następnej sekcji: proste równoległe nigdy się nie spotkają, a proste pokrywające się mają wspólny każdy punkt.

Kiedy rozwiązań nie ma — i kiedy jest ich nieskończenie wiele

Bywa, że w trakcie przekształceń niewiadome znikają. Zostaje wtedy zdanie o samych liczbach i to ono rozstrzyga:

Równanie jako model

Siła równań bierze się z tego, że opisują realne sytuacje. Taksówka liczy 8 zł za kurs i 3 zł za kilometr; ile kilometrów przejedziemy za 29 zł?

Siedem kilometrów. Trudność takiego zadania rzadko leży w rachunkach — leży w zapisaniu równania.

Przekształcanie wzorów

Wzór to równanie z kilkoma literami: $s = vt$ wiąże drogę, prędkość i czas, a $P = ab$ — pole prostokąta z jego bokami. Zapisany jest zawsze pod jedną z tych liter, ale pytanie bywa o inną. Zamiast podstawiać liczby i rozwiązywać wszystko od nowa przy każdym zadaniu, opłaca się wyznaczyć szukaną wielkość raz — i dostać gotowy wzór.

Reguły są dokładnie te same, co przy jednej niewiadomej. Litera, której szukamy, jest niewiadomą; wszystkie pozostałe traktujemy jak liczby:

Zastrzeżenie $v \neq 0$ nie jest ozdobnikiem. Przy zwykłym równaniu widać, przez co dzielimy, i można sprawdzić, że to nie zero; przy literze nikt tego za nas nie zrobi, więc warunek trzeba dopisać samemu.

Gdy szukana litera stoi w kilku miejscach, najpierw zbieramy ją po jednej stronie i wyłączamy przed nawias — tak jak w wyrażeniach algebraicznych. Ze wzoru na obwód prostokąta $P = 2(a + b)$ wyznaczamy $a$ w dwóch ruchach:

Równanie z niewiadomą w mianowniku

Równanie $\dfrac{12}{x + 1} = 4$ nie jest liniowe — niewiadoma stoi w mianowniku. Da się je jednak jednym mnożeniem sprowadzić do liniowego i dalej rozwiązać planem z tej lekcji. Kolejność kroków jest tu jednak inna niż zwykle: najpierw założenie, potem rachunek.

Mianownik nie może być zerem, bo dzielenie przez zero jest niewykonalne. Wykluczamy więc liczbę, która go zeruje:

Zbiór liczb, dla których równanie w ogóle ma sens, nazywamy jego dziedziną. Dla równania liniowego $ax + b = c$ dziedziną jest cały zbiór $\mathbb{R}$ i dlatego nikt o niej nie wspomina. Tutaj wypada z niej jedna liczba — i trzeba ją wypisać przed przekształceniami, bo po pomnożeniu przez mianownik ślad po niej znika.

Zapisane założenie jest zarazem pozwoleniem na następny krok: skoro $x + 1 \neq 0$, wolno przez ten nawias pomnożyć obie strony.

Ostatni krok — porównanie wyniku z dziedziną — nie jest formalnością. Bywa, że jedyny kandydat jest właśnie liczbą wykluczoną, i wtedy równanie nie ma rozwiązań, choć rachunek przebiegł bez jednego błędu. Tak jest w równaniu $\dfrac{x}{x - 3} = \dfrac{3}{x - 3}$: dziedzina to $x \neq 3$, mnożenie przez mianownik daje $x = 3$, a ta liczba do dziedziny nie należy. Zbiór rozwiązań jest pusty.

Równaniami, w których ułamków jest więcej albo w mianowniku stoi wielomian, zajmują się wyrażenia i równania wymierne. Schemat pozostaje ten sam: dziedzina, rachunek, sprawdzenie kandydatów.

W zadaniach poniżej wpisz rozwiązanie w postaci $x = 5$ (samo $5$ też zostanie przyjęte). W poleceniu o wyznaczeniu wielkości ze wzoru odpowiedzią jest wyrażenie z pozostałymi literami — dla $s = vt$ i szukanego $t$ jest to $s/v$.

Częste błędy

• Przeniesienie wyrazu bez zmiany znaku — z $x + 5 = 12$ wychodzi $x = 7$, a nie $x = 17$.
• Wykonanie działania tylko po jednej stronie — dzieląc, dziel obie strony.
• Zgubienie znaku przy nawiasie — $-2(x - 5)$ to $-2x + 10$.
• Dzielenie przez wyrażenie z niewiadomą — może być zerem, więc gubi rozwiązania.
• Dzielenie przez literę bez zastrzeżenia — z $s = vt$ wynika $t = \frac{s}{v}$ tylko przy $v \neq 0$.
• Mnożenie przez mianownik przed zapisaniem dziedziny — po pomnożeniu wykluczonej liczby już nie widać.
• Przyjęcie kandydata spoza dziedziny — jeśli wypada z niej jedyny kandydat, równanie nie ma rozwiązań.
• Pominięcie sprawdzenia — jedyny krok, który wyłapuje pomyłkę rachunkową.