Równania liniowe

Równanie to zdanie o równości dwóch wyrażeń, w którym występuje niewiadoma. Rozwiązać równanie znaczy znaleźć wszystkie liczby, które po wstawieniu w miejsce niewiadomej dają równość prawdziwą.

Równanie jest liniowe, gdy niewiadoma stoi w pierwszej potędze — nie w kwadracie, nie w mianowniku, nie pod pierwiastkiem:

Waga, czyli równania równoważne

Znak równości działa jak waga w równowadze: obie strony ważą tyle samo. Dopóki robimy z obiema stronami dokładnie to samo, równowaga się utrzymuje, a zbiór rozwiązań się nie zmienia. Takie równania nazywamy równoważnymi.

Równoważność zachowują dwie operacje:

Zastrzeżenie $c \neq 0$ nie jest formalnością: mnożenie obu stron przez zero zamienia każde równanie w prawdziwe $0 = 0$, a dzielenie przez zero jest niewykonalne.

Stąd bierze się szkolne „przenoszenie na drugą stronę ze zmianą znaku". To nie osobna reguła, tylko skrót: z $x + 5 = 12$ odejmujemy $5$ od obu stron i zostaje $x = 7$.

Rozwiązywanie krok po kroku

Plan jest zawsze ten sam: uporządkować obie strony, zebrać niewiadome po jednej stronie, liczby po drugiej, na końcu podzielić przez współczynnik przy niewiadomej.

Sprawdzenie jest częścią rozwiązania, nie ozdobnikiem: kosztuje dwa mnożenia, a wyłapuje każdy zgubiony znak.

Rozwiązanie na wykresie

Równanie $2x + 3 = 11$ można przeczytać jako pytanie: dla jakiego $x$ prosta $y = 2x + 3$ znajdzie się na wysokości $11$?

Proste przecinają się w jednym punkcie, więc równanie ma dokładnie jedno rozwiązanie. Ten obrazek tłumaczy też oba przypadki szczególne z następnej sekcji: proste równoległe nigdy się nie spotkają, a proste pokrywające się mają wspólny każdy punkt.

Kiedy rozwiązań nie ma — i kiedy jest ich nieskończenie wiele

Bywa, że w trakcie przekształceń niewiadome znikają. Zostaje wtedy zdanie o samych liczbach i to ono rozstrzyga:

Równanie jako model

Siła równań bierze się z tego, że opisują realne sytuacje. Taksówka liczy 8 zł za kurs i 3 zł za kilometr; ile kilometrów przejedziemy za 29 zł?

Siedem kilometrów. Trudność takiego zadania rzadko leży w rachunkach — leży w zapisaniu równania.

W zadaniach poniżej wpisz rozwiązanie w postaci $x = 5$ (samo $5$ też zostanie przyjęte).

Częste błędy

• Przeniesienie wyrazu bez zmiany znaku — z $x + 5 = 12$ wychodzi $x = 7$, a nie $x = 17$.
• Wykonanie działania tylko po jednej stronie — dzieląc, dziel obie strony.
• Zgubienie znaku przy nawiasie — $-2(x - 5)$ to $-2x + 10$.
• Dzielenie przez wyrażenie z niewiadomą — może być zerem, więc gubi rozwiązania.
• Pominięcie sprawdzenia — jedyny krok, który wyłapuje pomyłkę rachunkową.