Wyrażenia algebraiczne

Wyrażenie algebraiczne to zapis, w którym obok liczb stoją litery: $3x + 5$, $2(a - b)$, $\frac{x}{2} - 1$. Litera zastępuje liczbę — taką, której jeszcze nie znamy, albo taką, która może się zmieniać. Dzięki temu jednym wyrażeniem opisujemy całą rodzinę sytuacji naraz, zamiast liczyć każdą osobno.

Bilet kosztuje 12 zł, a rezerwacja miejsca 5 zł. Koszt zakupu $x$ biletów z jedną rezerwacją to:

Ten jeden zapis odpowiada na pytanie o dowolną liczbę biletów — wystarczy w miejsce $x$ wstawić konkretną liczbę.

Wyraz, współczynnik, zmienna

Wyrażenie składa się z wyrazów — części oddzielonych znakami dodawania i odejmowania. W wyrażeniu $12x + 5$ wyrazami są $12x$ oraz $5$.

• zmienna — litera stojąca za liczbę ($x$),
• współczynnik — liczba przy zmiennej ($12$),
• wyraz wolny — wyraz bez zmiennej ($5$).

Sam zapis $12x$ oznacza mnożenie: $12 \cdot x$. Znak mnożenia między liczbą a literą pomijamy, bo i tak nie ma innej możliwości.

Wyrazy podobne i ich redukcja

Wyrazy podobne to wyrazy z tą samą literą w tej samej potędze. Podobne są $3x$ i $7x$; nie są podobne $3x$ i $3x^2$ ani $3x$ i $3y$.

Wyrazy podobne można połączyć w jeden — to redukcja wyrazów podobnych. Dodajemy wyłącznie współczynniki, litera zostaje bez zmian:

Nie jest to żadna nowa reguła, tylko rozdzielność czytana od prawej do lewej: $3x + 2x = (3 + 2)x = 5x$. Trzy jabłka i dwa jabłka to pięć jabłek — nie „pięć jabłek do kwadratu".

Redukcja niczego nie „oblicza". Zapisuje ten sam obiekt krócej — a krótszy zapis łatwiej policzyć i trudniej w nim się pomylić.

Rozdzielność mnożenia względem dodawania

Mnożąc liczbę przez sumę, mnożymy ją przez każdy składnik:

Widać to na polu prostokąta: prostokąt o bokach $a$ i $b + c$ można przeciąć na dwa prostokąty o polach $ab$ i $ac$. Ta sama reguła obowiązuje przy odejmowaniu: $a(b - c) = ab - ac$.

Minus przed nawiasem

Minus przed nawiasem to mnożenie przez $-1$, więc każdy wyraz w nawiasie zmienia znak — także ten, który już był ujemny:

To miejsce, w którym najczęściej gubi się znak. Gdy nawias jest odejmowany od czegoś, warto najpierw wymnożyć, a dopiero potem redukować.

Mnożenie dwumianu przez dwumian

Dwumian to suma dwóch wyrazów, na przykład $x + 3$. Gdy mnożymy przez siebie dwa nawiasy, nie ma nowej reguły do zapamiętania — jest ta sama rozdzielność, zastosowana dwa razy. Najpierw traktujemy drugi nawias jak jedną liczbę:

Zostają cztery iloczyny: każdy wyraz z pierwszego nawiasu przez każdy wyraz z drugiego. To znów widać na polu prostokąta — prostokąt o bokach $a + b$ i $c + d$ rozcina się na cztery mniejsze o polach $ac$, $ad$, $bc$ i $bd$, a ich suma to pole całości.

Liczba iloczynów jest zawsze iloczynem liczby wyrazów: dwumian przez dwumian to cztery mnożenia, dwumian przez trójmian — sześć. Jeśli wyszło ich mniej, jakiegoś brakuje.

Dwa takie mnożenia wracają tak często, że doczekały się własnych gotowych zapisów — $(a + b)^2$ i $(a - b)(a + b)$ opisują wzory skróconego mnożenia. Reguła z tej sekcji obowiązuje jednak zawsze, także wtedy, gdy żaden wzór nie pasuje.

Wyłączanie wspólnego czynnika przed nawias

Rozdzielność da się czytać także od prawej do lewej. Wtedy z sumy robi się iloczyn:

To działanie odwrotne do wymnażania nawiasu i nazywa się wyłączaniem wspólnego czynnika przed nawias. Redukcja wyrazów podobnych była jego szczególnym przypadkiem: $ax + bx = (a + b)x$ to ten sam ruch, tylko wyłączaną literą jest $x$.

Wspólny czynnik składa się z dwóch części:

• liczbowej — największy wspólny dzielnik współczynników,
• literowej — najniższa potęga litery, która stoi w każdym wyrazie.

Czynnik musi być największy z możliwych. Zapis $3x^2(4x + 6)$ jest poprawny rachunkowo, ale rozłożony tylko do połowy: $4$ i $6$ nadal dzielą się przez $2$. Gotowy rozkład poznaje się po tym, że wyrazy w nawiasie nie mają już nic wspólnego.

Wyłączanie czynnika nie jest sztuką dla sztuki. Iloczyn mówi o wyrażeniu rzeczy, których suma nie mówi — na przykład kiedy jest zerem — i dlatego od rozkładu na czynniki zaczyna się skracanie ułamków algebraicznych i rozwiązywanie równań w postaci iloczynowej.

Wartość wyrażenia

Żeby obliczyć wartość wyrażenia, w miejsce litery wstawiamy liczbę i wykonujemy działania w zwykłej kolejności. Dla $8x + 6$ przy $x = 4$:

Uproszczenie wyrażenia nie zmienia jego wartości — $5x + 8 + 3x - 2$ dla $x = 4$ też daje $38$. To najprostszy sposób, żeby sprawdzić przekształcenie: podstaw tę samą liczbę do obu zapisów i porównaj wyniki.

W zadaniach poniżej wpisujesz wyrażenie. Liczy się jego wartość, a nie zapis: $5x + 10$, $10 + 5x$ i $5 \cdot x + 10$ to ta sama odpowiedź. Przepisana treść zadania odpowiedzią nie jest — chodzi o postać prostszą. W poleceniu o wyłączeniu czynnika prostsza znaczy iloczyn: odpowiedzią jest $6x^2(2x + 3)$, a nie wymnożona z powrotem suma.

Częste błędy

• Dodawanie wyrazów niepodobnych — $3x + 4$ to już wynik; nie ma z tego „$7x$".
• Mylenie dodawania z mnożeniem liter — $x + x = 2x$, ale $x \cdot x = x^2$.
• Gubienie znaku przy minusie przed nawiasem — $-(x - 3)$ to $-x + 3$, a nie $-x - 3$.
• Wymnożenie tylko pierwszego wyrazu — w $3(2x + 4)$ trójka mnoży oba wyrazy, więc $6x + 12$, a nie $6x + 4$.
• Pomnożenie nawiasów „na skos" — $(x + 3)(x - 5)$ to cztery iloczyny, a nie $x^2 - 15$.
• Wyłączenie za małego czynnika — z $12x^3 + 18x^2$ wychodzi $6x^2(2x + 3)$, a nie $3x^2(4x + 6)$.