Wyrażenia algebraiczne

Wyrażenie algebraiczne to zapis, w którym obok liczb stoją litery: $3x + 5$, $2(a - b)$, $\frac{x}{2} - 1$. Litera zastępuje liczbę — taką, której jeszcze nie znamy, albo taką, która może się zmieniać. Dzięki temu jednym wyrażeniem opisujemy całą rodzinę sytuacji naraz, zamiast liczyć każdą osobno.

Bilet kosztuje 12 zł, a rezerwacja miejsca 5 zł. Koszt zakupu $x$ biletów z jedną rezerwacją to:

Ten jeden zapis odpowiada na pytanie o dowolną liczbę biletów — wystarczy w miejsce $x$ wstawić konkretną liczbę.

Wyraz, współczynnik, zmienna

Wyrażenie składa się z wyrazów — części oddzielonych znakami dodawania i odejmowania. W wyrażeniu $12x + 5$ wyrazami są $12x$ oraz $5$.

• zmienna — litera stojąca za liczbę ($x$),
• współczynnik — liczba przy zmiennej ($12$),
• wyraz wolny — wyraz bez zmiennej ($5$).

Sam zapis $12x$ oznacza mnożenie: $12 \cdot x$. Znak mnożenia między liczbą a literą pomijamy, bo i tak nie ma innej możliwości.

Wyrazy podobne i ich redukcja

Wyrazy podobne to wyrazy z tą samą literą w tej samej potędze. Podobne są $3x$ i $7x$; nie są podobne $3x$ i $3x^2$ ani $3x$ i $3y$.

Wyrazy podobne można połączyć w jeden — to redukcja wyrazów podobnych. Dodajemy wyłącznie współczynniki, litera zostaje bez zmian:

Nie jest to żadna nowa reguła, tylko rozdzielność czytana od prawej do lewej: $3x + 2x = (3 + 2)x = 5x$. Trzy jabłka i dwa jabłka to pięć jabłek — nie „pięć jabłek do kwadratu".

Redukcja niczego nie „oblicza". Zapisuje ten sam obiekt krócej — a krótszy zapis łatwiej policzyć i trudniej w nim się pomylić.

Rozdzielność mnożenia względem dodawania

Mnożąc liczbę przez sumę, mnożymy ją przez każdy składnik:

Widać to na polu prostokąta: prostokąt o bokach $a$ i $b + c$ można przeciąć na dwa prostokąty o polach $ab$ i $ac$. Ta sama reguła obowiązuje przy odejmowaniu: $a(b - c) = ab - ac$.

Minus przed nawiasem

Minus przed nawiasem to mnożenie przez $-1$, więc każdy wyraz w nawiasie zmienia znak — także ten, który już był ujemny:

To miejsce, w którym najczęściej gubi się znak. Gdy nawias jest odejmowany od czegoś, warto najpierw wymnożyć, a dopiero potem redukować.

Wartość wyrażenia

Żeby obliczyć wartość wyrażenia, w miejsce litery wstawiamy liczbę i wykonujemy działania w zwykłej kolejności. Dla $8x + 6$ przy $x = 4$:

Uproszczenie wyrażenia nie zmienia jego wartości — $5x + 8 + 3x - 2$ dla $x = 4$ też daje $38$. To najprostszy sposób, żeby sprawdzić przekształcenie: podstaw tę samą liczbę do obu zapisów i porównaj wyniki.

W zadaniach poniżej wpisujesz wyrażenie. Liczy się jego wartość, a nie zapis: $5x + 10$, $10 + 5x$ i $5 \cdot x + 10$ to ta sama odpowiedź. Przepisana treść zadania odpowiedzią nie jest — chodzi o postać prostszą.

Częste błędy

• Dodawanie wyrazów niepodobnych — $3x + 4$ to już wynik; nie ma z tego „$7x$".
• Mylenie dodawania z mnożeniem liter — $x + x = 2x$, ale $x \cdot x = x^2$.
• Gubienie znaku przy minusie przed nawiasem — $-(x - 3)$ to $-x + 3$, a nie $-x - 3$.
• Wymnożenie tylko pierwszego wyrazu — w $3(2x + 4)$ trójka mnoży oba wyrazy, więc $6x + 12$, a nie $6x + 4$.