Wyrażenia i równania wymierne

Wyrażenie $\dfrac{x + 2}{x^2 - 9}$ to ułamek algebraiczny: iloraz dwóch wielomianów. Wszystkie reguły rachunku są tu dokładnie te same co przy ułamkach zwykłych — z jedną różnicą, która zmienia kolejność pracy. Mianownik nie jest liczbą, tylko wyrażeniem, więc dla niektórych wartości zmiennej może się wyzerować. Dlatego każde zadanie z ułamkiem algebraicznym zaczyna się od dziedziny, a nie od rachunku.

Ta lekcja mówi o wyrażeniu i o równaniu. Wykres funkcji wymiernej i jej asymptoty to osobny temat, w dziale o funkcjach.

Dziedzina, czyli co trzeba wykluczyć

Żeby ją wyznaczyć, rozkładamy mianownik na czynniki i przyrównujemy każdy z nich do zera:

Dwie rzeczy warto zapamiętać od razu. Czynnik podwojony wyklucza jedną liczbę, nie dwie: mianownik $(x - 5)^2$ zabrania tylko $x = 5$. A czynnik kwadratowy o ujemnej delcie nie wyklucza niczego: $x^2 + 4$ nigdy nie jest zerem, więc nie zabiera z dziedziny ani jednej liczby.

Skracanie

Skracać wolno czynnik — coś, co jest mnożone przez całą resztę. Nie wolno skracać składnika sumy, i to jest najczęstszy błąd w całym dziale:

Dlatego skracanie zawsze poprzedza rozkład na czynniki — dopóki licznik i mianownik są sumami, nie widać, co jest czynnikiem. Tu przydają się wzory skróconego mnożenia i twierdzenie Bézouta z lekcji o wielomianach.

Mnożenie i dzielenie

Reguła jest ta sama co dla liczb, ale opłaca się ją stosować w odwrotnej kolejności: najpierw rozłożyć wszystko na czynniki i poskracać na krzyż, dopiero potem mnożyć. Inaczej powstaje wielomian czwartego stopnia, który za chwilę i tak trzeba będzie rozłożyć z powrotem.

Przy dzieleniu dochodzi jeden warunek więcej: dzielnik nie może być zerem, więc do dziedziny wchodzi także licznik drugiego ułamka.

Dodawanie i odejmowanie

W praktyce nie mnożymy mianowników na ślepo — bierzemy ich najmniejszą wspólną wielokrotność, dokładnie jak przy ułamkach liczbowych. Dla $\dfrac{1}{x - 2}$ i $\dfrac{3}{(x - 2)(x + 1)}$ wspólnym mianownikiem jest $(x - 2)(x + 1)$, a nie iloczyn obu mianowników.

Równania wymierne

Ułamek jest zerem dokładnie wtedy, gdy zeruje się jego licznik — mianownik nie ma na to żadnego wpływu poza tym, że nie wolno mu być zerem. Rozwiązanie równania wymiernego w postaci iloczynowej ma więc trzy kroki: dziedzina, zera licznika, odrzucenie tych, które wypadły poza dziedzinę.

Rysunek pokazuje różnicę między dwoma rodzajami punktów na osi. Zera licznika są zamalowane, bo należą do dziedziny i rozwiązują równanie. Zero mianownika jest puste — i pozostanie puste niezależnie od tego, jak zapiszemy równanie.

Równanie, w którym niewiadoma stoi w mianowniku, ale nie jest jeszcze zapisane jako ułamek równy zeru, sprowadzamy do tej postaci: przenosimy wszystko na jedną stronę i sprowadzamy do wspólnego mianownika. Mnożenie obu stron przez mianownik też działa — pod warunkiem że dziedzina została zapisana wcześniej, bo samo mnożenie ją gubi.

Częste błędy

• Skracanie składnika zamiast czynnika — w $\dfrac{x + 3}{x + 5}$ nie skraca się nic. Sprawdzian liczbowy: dla $x = 1$ wychodzi $\tfrac{4}{6}$, a nie $\tfrac{3}{5}$.
• Dziedzina po skróceniu — liczby wykluczone czyta się z wyjściowego mianownika. Skrócony ułamek ich nie pokazuje, ale one nadal obowiązują.
• Podwójny czynnik liczony podwójnie — mianownik $(x - 5)^2$ wyklucza jedną liczbę, a nie dwie.
• Zapominanie o dziedzinie dzielnika — przy dzieleniu ułamków zerem nie może być również licznik drugiego z nich, bo po odwróceniu trafia on do mianownika.
• Minus przed ułamkiem — odejmując $\dfrac{3x - 2}{x + 1}$, zmieniamy znak całego licznika, czyli obu wyrazów, a nie tylko pierwszego.
• Mnożenie równania przez mianownik bez zapisanej dziedziny — po takim mnożeniu w rachunku nie ma już śladu po liczbie wykluczonej i można ją podać jako rozwiązanie.