Równania i nierówności z wartością bezwzględną

Wartość bezwzględna mierzy odległość na osi liczbowej: $|x - a|$ to odległość liczby $x$ od liczby $a$. Cała ta lekcja jest rozwinięciem tego jednego zdania — bo równanie z modułem pyta o punkty w zadanej odległości, a nierówność o punkty bliższe albo dalsze niż zadana odległość.

Można też rozbijać moduł na przypadki z definicji i czasem trzeba. Ale w typowych zadaniach szkolnych czytanie odległościowe jest szybsze i, co ważniejsze, nie pozwala zgubić drugiego rozwiązania.

Równanie |x| = c

Moduł nie odróżnia znaku, więc równanie ma dwa rozwiązania symetryczne względem zera. Dwa pozostałe przypadki wynikają z tego, że moduł nigdy nie jest ujemny:

• $|x| = 0$ ma jedno rozwiązanie: $x = 0$;
• $|x| = -3$ nie ma żadnego rozwiązania, bo lewa strona jest nieujemna, a prawa ujemna.

Przesunięcie środka nic tu nie psuje. Równanie $|x - a| = r$ pyta o liczby odległe od $a$ o $r$, a takich liczb jest dwie — jedna z lewej i jedna z prawej:

Zapis $|x + 1|$ warto od razu przeczytać jako $|x - (-1)|$ — inaczej łatwo wziąć za środek liczbę $1$ zamiast $-1$.

Moduł wyrażenia liniowego

Gdy wewnątrz modułu stoi coś więcej niż $x$, rozbijamy równanie na dwie gałęzie i rozwiązujemy każdą osobno:

Nierówności: pasek albo dwa ogony

To jest miejsce, w którym najłatwiej stracić połowę odpowiedzi. Znak nierówności decyduje o kształcie zbioru rozwiązań:

Pierwsza nierówność mówi „bliżej niż $r$ od $a$” i daje jeden przedział wokół środka. Druga mówi „dalej niż $r$ od $a$” i daje sumę dwóch przedziałów — wszystko poza tym paskiem. Znak nieostry ($\le$, $\ge$) tylko domyka końce; kształtu nie zmienia.

Oba zbiory razem dają całą oś i nie zachodzą na siebie. To jest najprostszy sposób sprawdzenia odpowiedzi: jeśli po rozwiązaniu obu nierówności zbiory się nie uzupełniają, gdzieś jest błąd.

Środek i promień: droga w drugą stronę

Ta sama para wzorów czytana wspak zamienia przedział na jeden warunek z modułem. Środkiem przedziału $\langle p; q \rangle$ jest jego połowa, a promieniem — połowa jego długości:

Dla przedziału $\langle 4; 10 \rangle$ wychodzi $a = 7$ i $r = 3$, więc warunek $4 \le x \le 10$ zapisuje się jako $|x - 7| \le 3$. Tak właśnie zapisuje się każdą tolerancję: wartość nominalna to środek, tolerancja to promień.

Przypadki bez rozwiązań

Zanim zacznie się rozbijać moduł, warto spojrzeć na prawą stronę:

Cztery wiersze, których nie trzeba liczyć — wystarczy je rozpoznać.

Częste błędy

• Jedno rozwiązanie zamiast dwóch — $|x| = 5$ ma rozwiązania $5$ i $-5$. Moduł nie odróżnia znaku, więc nie wolno wybrać tylko dodatniego.
• Zapisywanie $\lvert x - a \rvert > r$ jednym przedziałem — odpowiedzią jest zawsze suma dwóch przedziałów, po jednym z każdej strony.
• Zły znak środka — w $|x + 1|$ środkiem jest $-1$, a nie $1$. Pomaga przepisanie do postaci $|x - (-1)|$.
• Niezmieniony zwrot w drugiej gałęzi — z $|W| \ge c$ druga gałąź to $W \le -c$, ze zwrotem odwróconym.
• Rozwiązywanie równania z ujemną prawą stroną — $|x - 3| = -2$ nie ma rozwiązań i nie ma czego rozbijać na przypadki.
• Gubienie współczynnika przy wyłączaniu — $|3x + 6|$ to $3|x + 2|$, więc nierówność $\ge 9$ przechodzi w $|x + 2| \ge 3$, a nie $\ge 9$.