Czym różni się parametr od niewiadomej?

Niewiadomej szukamy, parametr jest dany — to nastawa, którą ktoś ustawia z zewnątrz. Zapis (m − 3)x = 5 to nie jedno równanie, tylko cała rodzina równań, po jednym dla każdej wartości m. Odpowiedzią w zadaniu z parametrem jest zwykle nie liczba x, tylko zbiór tych wartości m, dla których zachodzi żądany warunek.

Kiedy równanie liniowe z parametrem nie ma rozwiązań?

Gdy współczynnik przy niewiadomej jest zerem, a prawa strona nie. Równanie (m − 3)x = 5 dla m = 3 przyjmuje postać 0 = 5, więc nie ma rozwiązań. Gdyby prawa strona też była zerem, każda liczba byłaby rozwiązaniem. Dla wszystkich pozostałych m rozwiązanie jest jedno: x = 5/(m − 3).

Dlaczego przy równaniu kwadratowym z parametrem trzeba sprawdzać, czy a ≠ 0?

Bo dla wartości parametru zerującej współczynnik przy x² równanie przestaje być kwadratowe i staje się liniowe — a wtedy delta nic o nim nie mówi. W równaniu (m − 2)x² + 3x + 1 = 0 wartość m = 2 trzeba rozpatrzyć osobno; dopiero dla pozostałych m wolno liczyć deltę.

Jak nałożyć warunek na pierwiastki bez ich obliczania?

Wzorami Viète’a: suma pierwiastków to −b/a, a ich iloczyn to c/a. Warunek „suma pierwiastków równa 6” zamienia się więc w zwykłe równanie na parametr. Trzeba tylko pamiętać, żeby najpierw zapewnić istnienie pierwiastków warunkiem Δ ≥ 0 — bez niego można podać m, dla którego równanie nie ma czego sumować.

Kiedy nierówność kwadratowa jest spełniona dla każdego x?

Gdy parabola w całości leży nad osią, a to wymaga dwóch warunków naraz: a > 0 (ramiona w górę) oraz Δ < 0 (brak miejsc zerowych). Dla nierówności ostrej „mniejszej od zera dla każdego x” warunki są lustrzane: a < 0 i Δ < 0.

Poziom zaawansowany

Równania, nierówności i układy z parametrem

Parametr to nie druga niewiadoma, tylko nastawa — jedna literka, która zamienia jedno zadanie w całą rodzinę zadań. Równanie liniowe i jego przypadek zdegenerowany, delta jako warunek na liczbę pierwiastków, wzory Viète’a, nierówność spełniona dla każdego x oraz układ prostej z parabolą.

Zanim zaczniesz

Ten temat opiera się na wcześniejszych zagadnieniach. Zanim zaczniesz, warto przerobić poniższe lekcje — dzięki nim wszystko pójdzie gładko:

Gdzie się tego używa

Konkretne sytuacje, w których liczysz dokładnie tak, jak uczy ta lekcja:

Taryfa telefoniczna i cena minuty
Taryfa A kosztuje 30 zł abonamentu plus m złotych za minutę, taryfa B — 50 zł plus 0,10 zł za minutę. Zrównanie kosztów daje równanie 30 + mt = 50 + 0,1t, czyli (m − 0,1)t = 20. Dla m = 0,10 zł współczynnik przy t znika i równanie nie ma rozwiązania: taryfy różnią się o stałe 20 zł przy każdej liczbie minut. Dla m = 0,15 zł zrównują się po t = 400 minutach.
Rabat hurtowy i próg opłacalności
Sklep sprzedaje sztukę po 40 zł, a przy zakupie 12 sztuk daje rabat r procent. Warunek „12 sztuk z rabatem taniej niż 10 sztuk bez niego” to 480(1 − r/100) < 400, czyli r > 16,7%. Rabat 15% nie wystarcza, rabat 20% już tak — a próg wypada dokładnie tam, gdzie nierówność zmienia zwrot.
Produkcja i cena progowa
Seria 500 sztuk kosztuje 5000 zł nakładu stałego plus 12 zł za sztukę. Zysk przy cenie c wynosi 500(c − 12) − 5000 i zeruje się dla c = 22 zł. Cena jest tu parametrem, którym ustawia się całą serię: każda złotówka powyżej 22 zł to 500 zł zysku, każda poniżej — 500 zł straty.
Automatyka i nastawa regulatora
Prosty układ regulacji ma równanie charakterystyczne s² + 4s + k = 0, gdzie k jest nastawą wzmocnienia. Delta wynosi 16 − 4k, więc dla k < 4 układ dochodzi do zadanej wartości bez przeregulowania, a dla k > 4 zaczyna oscylować. Nastawa k = 4 to granica — i to jest liczba, którą serwisant wpisuje do sterownika.

Wszystkie wzory

Równanie liniowe z parametrem
$ax = b: \ a \neq 0 \implies x = \tfrac{b}{a}; \ a = 0, b \neq 0 \implies \varnothing; \ a = b = 0 \implies x \in \mathbb{R}$
trzy przypadki, o których rozstrzyga współczynnik przy niewiadomej
Warunek stopnia
$ax^2 + bx + c = 0 \ \text{jest kwadratowe} \iff a \neq 0$
pierwsze pytanie każdego zadania z parametrem przy x²
Delta i liczba pierwiastków
$\Delta > 0 \implies \text{dwa pierwiastki}, \quad \Delta = 0 \implies \text{jeden}, \quad \Delta < 0 \implies \text{brak}$
warunek na parametr wychodzi z nierówności na deltę
Wzory Viète’a
$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}, \qquad x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}$
pozwalają nałożyć warunek na pierwiastki bez ich liczenia
Nierówność zawsze prawdziwa
$ax^2 + bx + c > 0 \ \text{dla każdego } x \iff a > 0 \ \text{i} \ \Delta < 0$
oba warunki naraz — sam znak delty nie wystarczy

W równaniu $(m - 3)x = 5$ są dwie litery, ale nie pełnią one tej samej roli. Szukamy $x$ — to jest niewiadoma. Litera $m$ jest parametrem: liczbą daną z zewnątrz, ustawioną przez kogoś przed rozpoczęciem rachunku. Jedna nastawa, jedno równanie; inna nastawa, inne równanie.

Dlatego zadanie z parametrem prawie nigdy nie pyta „ile wynosi $x$ ”. Pyta: dla których wartości parametru równanie ma jedno rozwiązanie, dwa albo żadnego; dla których nierówność jest zawsze prawdziwa; dla których prosta dotyka paraboli. Odpowiedzią jest zbiór — i ten zbiór mieszka na osi parametru, a nie na osi $x$ .

Równanie liniowe: trzy przypadki

ax = b: \quad a \neq 0 \implies x = \tfrac{b}{a}; \quad a = 0, b \neq 0 \implies \varnothing; \quad a = b = 0 \implies x \in \mathbb{R}

Wszystko rozstrzyga współczynnik przy niewiadomej. Dopóki nie jest zerem, dzielimy i mamy jedno rozwiązanie. Gdy jest zerem, niewiadoma znika z równania i zostaje zdanie o samych liczbach — prawdziwe albo fałszywe.

Dla jakiej wartości m równanie (m − 3)x = 5 nie ma rozwiązań?

Ten sam mechanizm działa o stopień wyżej. W równaniu $(m - 2)x^2 + 3x + 1 = 0$ wartość $m = 2$ odbiera równaniu stopień drugi — zostaje $3x + 1 = 0$ , równanie liniowe z jednym rozwiązaniem. Dlatego pierwsze pytanie każdego zadania z parametrem przy $x^2$ brzmi:

ax^2 + bx + c = 0 \ \text{jest kwadratowe} \iff a \neq 0

Delta rozstrzyga o liczbie pierwiastków

Dla $a \neq 0$ liczba pierwiastków zależy wyłącznie od znaku wyróżnika:

\Delta > 0 \implies \text{dwa pierwiastki}, \qquad \Delta = 0 \implies \text{jeden}, \qquad \Delta < 0 \implies \text{brak}

Warunek postawiony pierwiastkom zamienia się więc w nierówność na parametr, którą rozwiązuje się metodami z lekcji o nierównościach kwadratowych.

Dla jakich m równanie x² + mx + 9 = 0 ma dokładnie jedno rozwiązanie?

Wzory Viète’a: warunek na pierwiastki bez liczenia pierwiastków

x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}, \qquad x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}

Gdy zadanie stawia warunek sumie albo iloczynowi pierwiastków, liczenie ich wzorami z deltą jest drogą okrężną. Wzory Viète’a dają te dwie wielkości od razu ze współczynników.

Jedno zastrzeżenie jest tu obowiązkowe: najpierw trzeba zapewnić, że pierwiastki w ogóle istnieją, czyli dołożyć warunek $\Delta \ge 0$ . Bez niego łatwo podać wartość parametru, dla której suma pierwiastków jest tym, czego żądano — tyle że pierwiastków nie ma.

Nierówność spełniona dla każdego x

ax^2 + bx + c > 0 \ \text{dla każdego } x \iff a > 0 \ \text{i} \ \Delta < 0

Oba warunki muszą zachodzić naraz: ramiona paraboli w górę i brak punktów wspólnych z osią. Sama ujemna delta nie wystarcza — przy $a < 0$ ta sama parabola leżałaby w całości pod osią.

Dla jakich m nierówność x² + mx + 4 > 0 jest spełniona przez każdą liczbę rzeczywistą?

Zbiór rozwiązań zadania z parametrem rysujemy na osi parametru m, a nie na osi x — to jest oś, na której leży odpowiedź.

Układy z parametrem

Układ dwóch równań liniowych z parametrem rozstrzyga się tak samo jak pojedyncze równanie: po wyrugowaniu jednej niewiadomej zostaje równanie liniowe i te same trzy przypadki. Oznaczony to jedno rozwiązanie (proste przecinają się), sprzeczny — brak rozwiązań (proste równoległe), nieoznaczony — nieskończenie wiele (proste pokrywają się).

Ciekawszy jest układ prostej z parabolą. Podstawienie zamienia go w jedno równanie kwadratowe, a delta tego równania mówi, ile punktów wspólnych mają obie krzywe:

Trzy proste z rodziny y = 2x + m. Zmienia się tylko nastawa m, a liczba punktów wspólnych z parabolą spada z dwóch do zera.

Dla jakich m prosta y = 2x + m jest styczna do paraboli y = x²?

Ćwiczenia

Rozwiąż zestaw zadań — trudność rośnie z każdym kolejnym. Na końcu zobaczysz wynik i listę pomyłek do powtórki.

Zadanie 1 z 8Punkty: 0

Wartość m, dla której pierwiastkiem jest 3: x² + mx + 6 = 0

Częste błędy

Traktowanie parametru jak niewiadomej — odpowiedzią jest zbiór wartości $m$ , a nie wartość $x$ . Warto na końcu przeczytać pytanie jeszcze raz.
Dzielenie przez współczynnik z parametrem — z $(m - 3)x = 5$ nie wolno od razu napisać $x = \tfrac{5}{m-3}$ : dla $m = 3$ dzielimy przez zero. Przypadek zerowy zawsze rozpatrujemy osobno.
Pomijanie warunku $a \neq 0$ — w $(m - 2)x^2 + 3x + 1 = 0$ wartość $m = 2$ daje równanie liniowe, dla którego delta nie ma sensu.
Wzory Viète’a bez sprawdzenia delty — warunek na sumę lub iloczyn pierwiastków ma sens tylko przy $\Delta \ge 0$ .
Jeden warunek zamiast dwóch przy „dla każdego $x$ ” — potrzebne są $a > 0$ i $\Delta < 0$ ; sama delta nie rozstrzyga niczego.
Domykanie końców przy $\Delta = 0$ — dla nierówności ostrej wartość parametru dająca $\Delta = 0$ nie należy do odpowiedzi, bo parabola dotyka wtedy osi.

Karta wzorów

Temat: Równania, nierówności i układy z parametrem

Równanie liniowe z parametrem
$ax = b: \ a \neq 0 \implies x = \tfrac{b}{a}; \ a = 0, b \neq 0 \implies \varnothing; \ a = b = 0 \implies x \in \mathbb{R}$
trzy przypadki, o których rozstrzyga współczynnik przy niewiadomej
Warunek stopnia
$ax^2 + bx + c = 0 \ \text{jest kwadratowe} \iff a \neq 0$
pierwsze pytanie każdego zadania z parametrem przy x²
Delta i liczba pierwiastków
$\Delta > 0 \implies \text{dwa pierwiastki}, \quad \Delta = 0 \implies \text{jeden}, \quad \Delta < 0 \implies \text{brak}$
warunek na parametr wychodzi z nierówności na deltę
Wzory Viète’a
$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}, \qquad x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}$
pozwalają nałożyć warunek na pierwiastki bez ich liczenia
Nierówność zawsze prawdziwa
$ax^2 + bx + c > 0 \ \text{dla każdego } x \iff a > 0 \ \text{i} \ \Delta < 0$
oba warunki naraz — sam znak delty nie wystarczy

Parabola y = x² i trzy proste y = 2x + m. Delta rozstrzyga, czy prosta przecina parabolę w dwóch punktach, dotyka jej, czy ją mija.

Odpowiedzią zadania z parametrem jest zbiór wartości m. Dla nierówności x² + mx + 4 > 0 spełnionej dla każdego x jest to przedział (−4; 4).

Najczęstsze pytania

Powiązane artykuły

Waga w idealnej równowadze jako geometryczna forma i prosta przecinająca oś niczym tor orbity, na tle kosmicznej mgławicy w fiolecie i magencie

Algebra

Co naprawdę znaczy x — niewiadoma, zmienna i parametr

Litera x nie zawsze znaczy to samo. Raz jest poszukiwaną liczbą, raz wielkością, która płynnie się zmienia, a raz pustym miejscem na dowolną liczbę. Oto skąd wziął się zapis algebraiczny, dlaczego czekaliśmy na niego dwa tysiące lat, co dokładnie odróżnia niewiadomą od zmiennej i parametru oraz dlaczego nierówność odwraca się przy mnożeniu przez liczbę ujemną.

11 min