Poziom zaawansowany

Wektory na płaszczyźnie

Wektor to odcinek, który wie, dokąd prowadzi: ma długość, kierunek i zwrot, a w układzie współrzędnych zapisuje się parą liczb. Dodawanie wektorów to dodawanie tych par, mnożenie przez liczbę — rozciąganie strzałki, a długość liczy twierdzenie Pitagorasa.

Zanim zaczniesz

Ten temat opiera się na wcześniejszych zagadnieniach. Zanim zaczniesz, warto przerobić poniższe lekcje — dzięki nim wszystko pójdzie gładko:

Gdzie się tego używa

Konkretne sytuacje, w których liczysz dokładnie tak, jak uczy ta lekcja:

  • Nawigacja i poprawka na wiatr
    Samolot leci z prędkością [180; 0] km/h względem powietrza, a wiatr znosi go wektorem [0; 60] km/h. Prędkość względem ziemi to suma [180; 60], czyli √(180² + 60²) ≈ 190 km/h w kierunku odchylonym od kursu — i o tę różnicę pilot koryguje nawigację.
  • Fizyka i wypadkowa dwóch sił
    Dwie liny ciągną skrzynię siłami [90; 0] N i [0; 120] N. Siła wypadkowa to [90; 120] N o wartości √(90² + 120²) = 150 N. Dodanie samych wartości dałoby 210 N — liczbę o 40% za dużą, bo siły nie działają w tę samą stronę.
  • Grafika i ruch obiektu
    Obiekt w grze porusza się z prędkością [3; −1] piksela na klatkę. Po 30 klatkach przesunie się o 30 · [3; −1] = [90; −30], więc z punktu (50; 200) trafi do (140; 170). Mnożenie wektora przez liczbę zastępuje tu trzydzieści osobnych dodawań.
  • Robot i droga do celu
    Robot stoi w punkcie (2; 3), a stacja ładowania jest w (10; 9). Wektor przemieszczenia to [8; 6], jego długość √(8² + 6²) = 10 m, a jazda z prędkością 0,5 m/s zajmie 20 sekund. Kierunek i dystans wychodzą z jednego odejmowania współrzędnych.
  • Żeglarstwo i prąd rzeczny
    Łódź płynie prostopadle do brzegu z prędkością [0; 4] km/h, a prąd niesie ją [3; 0] km/h. Ruch wypadkowy to [3; 4] o wartości 5 km/h — przy szerokości rzeki 400 m łódź przybije 300 m poniżej punktu, w który celowała.

Wszystkie wzory

  • Współrzędne wektora

    AB⃗=[xB−xA, yB−yA]\vec{AB} = [x_B - x_A,\ y_B - y_A]

    koniec minus początek

  • Długość wektora

    ∣v⃗∣=x2+y2|\vec{v}| = \sqrt{x^2 + y^2}

    twierdzenie Pitagorasa na współrzędnych

  • Suma wektorów

    u⃗+v⃗=[ux+vx, uy+vy]\vec{u} + \vec{v} = [u_x + v_x,\ u_y + v_y]

    dodajemy odpowiadające sobie współrzędne

  • Różnica wektorów

    u⃗−v⃗=[ux−vx, uy−vy]\vec{u} - \vec{v} = [u_x - v_x,\ u_y - v_y]

    to samo co dodanie wektora przeciwnego

  • Mnożenie przez liczbę

    k⋅v⃗=[kx, ky]k \cdot \vec{v} = [k x,\ k y]

    ujemne k odwraca zwrot

  • Długość po przemnożeniu

    ∣k⋅v⃗∣=∣k∣⋅∣v⃗∣|k \cdot \vec{v}| = |k| \cdot |\vec{v}|

    skaluje się wartością bezwzględną

Do opisania przesunięcia nie wystarczy jedna liczba: „5 metrów” nie mówi, w którą stronę. Potrzebny jest obiekt, który niesie długość, kierunek i zwrot naraz — i takim obiektem jest wektor, czyli odcinek skierowany.

Ten sam pomysł widzieliśmy już w przekształceniach: przesunięcie figury zadaje się właśnie wektorem. Ta lekcja daje tej strzałce własny rachunek.

Współrzędne wektora

Wektor o początku AA i końcu BB ma współrzędne będące różnicami — koniec minus początek:

AB⃗=[xB−xA, yB−yA]\vec{AB} = [x_B - x_A,\ y_B - y_A]

Kolejność jest istotna: BA⃗\vec{BA} to ten sam odcinek o przeciwnym zwrocie, więc obie jego współrzędne mają przeciwne znaki.

Dwa wektory są równe, gdy mają te same współrzędne — niezależnie od tego, gdzie na płaszczyźnie je narysujemy. Wektor jest więc opisem przesunięcia, a nie konkretnym miejscem.

Wyznacz współrzędne wektora AB, gdzie A(−1; 4), B(5; 2).

Długość wektora

Współrzędne wektora są przyprostokątnymi trójkąta prostokątnego, więc jego długość liczy twierdzenie Pitagorasa:

∣v⃗∣=x2+y2|\vec{v}| = \sqrt{x^2 + y^2}

Znaki współrzędnych nie mają na nią wpływu, bo trafiają pod kwadrat: wektory [3; 4][3;\ 4], [−3; 4][-3;\ 4] i [3; −4][3;\ -4] mają tę samą długość 55. Jedynym wektorem o długości zero jest wektor zerowy 0⃗=[0; 0]\vec{0} = [0;\ 0], który jako jedyny nie ma kierunku ani zwrotu.

Dodawanie wektorów

Rachunkowo jest to najprostsza operacja w tej lekcji — dodajemy odpowiadające sobie współrzędne:

u⃗+v⃗=[ux+vx, uy+vy]\vec{u} + \vec{v} = [u_x + v_x,\ u_y + v_y]

Geometrycznie odpowiada temu reguła trójkąta: drugi wektor zaczepiamy w grocie pierwszego, a suma prowadzi od początku pierwszego do końca drugiego.

−1012345678−10123456u = [4; 1]v = [2; 4]u + v = [6; 5]u = [4; 1]v = [2; 4]u + v = [6; 5]
Reguła trójkąta. Wektor v zaczepiony w grocie u prowadzi do tego samego punktu co suma u + v poprowadzona z początku układu.

Ten sam wynik daje reguła równoległoboku: zaczepiamy oba wektory w jednym punkcie i budujemy na nich równoległobok — suma jest jego przekątną.

Odejmowanie jest dodawaniem wektora przeciwnego:

u⃗−v⃗=u⃗+(−v⃗)=[ux−vx, uy−vy]\vec{u} - \vec{v} = \vec{u} + (-\vec{v}) = [u_x - v_x,\ u_y - v_y]
Oblicz [5; −2] + [−3; 6] oraz [5; −2] − [−3; 6].

Mnożenie przez liczbę

Mnożenie wektora przez liczbę kk (nazywaną skalarem) rozciąga strzałkę, nie zmieniając prostej, na której leży:

k⋅v⃗=[kx, ky],∣k⋅v⃗∣=∣k∣⋅∣v⃗∣k \cdot \vec{v} = [k x,\ k y], \qquad |k \cdot \vec{v}| = |k| \cdot |\vec{v}|
−5−4−3−2−101234567−3−2−1012345u = [3; 2]2u = [6; 4]−u = [−3; −2]u = [3; 2]2u = [6; 4]−u = [−3; −2]
Wektor 2u jest dwa razy dłuższy od u i ma ten sam zwrot. Wektor −u leży na tej samej prostej, ale wskazuje w przeciwną stronę.
Mnożnik kkKierunekZwrotDługość
k>1k > 1bez zmianbez zmianrośnie
0<k<10 < k < 1bez zmianbez zmianmaleje
k<0k < 0bez zmianprzeciwnyrośnie lub maleje o czynnik równy wartości bezwzględnej kk
k=0k = 0——zero

Stąd wygodne kryterium: dwa niezerowe wektory są równoległe dokładnie wtedy, gdy jeden jest wielokrotnością drugiego. Wektory [2; 3][2;\ 3] i [6; 9][6;\ 9] są równoległe, bo drugi to trzykrotność pierwszego; [2; 3][2;\ 3] i [6; 8][6;\ 8] już nie.

Dane są u = [4; −6]. Oblicz −1,5 · u i jego długość.

Ćwiczenia

Rozwiąż zestaw zadań — trudność rośnie z każdym kolejnym. Na końcu zobaczysz wynik i listę pomyłek do powtórki.

Zadanie 1 z 8Punkty: 0
Współrzędne wektora: A(4; −4), B(−1; −9)

Częste błędy

  • Odejmowanie „początek minus koniec” — współrzędne wektora to koniec minus początek, odwrotna kolejność daje wektor przeciwny.
  • Dodawanie długości zamiast wektorów — ∣u⃗∣+∣v⃗∣|\vec{u}| + |\vec{v}| na ogół nie równa się ∣u⃗+v⃗∣|\vec{u} + \vec{v}|; równość zachodzi tylko dla wektorów o zgodnym zwrocie.
  • Uznawanie wektora za przywiązany do miejsca — dwa wektory o tych samych współrzędnych są równe, gdziekolwiek je narysować.
  • Mnożenie przez skalar tylko jednej współrzędnej — mnożymy obie, inaczej zmienia się także kierunek.
  • Gubienie znaku przy ujemnym mnożniku — długość skaluje się przez ∣k∣|k|, ale zwrot się odwraca.
  • Przypisywanie kierunku wektorowi zerowemu — 0⃗\vec{0} nie ma ani kierunku, ani zwrotu.

Karta wzorów

Temat: Wektory na płaszczyźnie

  • Współrzędne wektora

    AB⃗=[xB−xA, yB−yA]\vec{AB} = [x_B - x_A,\ y_B - y_A]

    koniec minus początek

  • Długość wektora

    ∣v⃗∣=x2+y2|\vec{v}| = \sqrt{x^2 + y^2}

    twierdzenie Pitagorasa na współrzędnych

  • Suma wektorów

    u⃗+v⃗=[ux+vx, uy+vy]\vec{u} + \vec{v} = [u_x + v_x,\ u_y + v_y]

    dodajemy odpowiadające sobie współrzędne

  • Różnica wektorów

    u⃗−v⃗=[ux−vx, uy−vy]\vec{u} - \vec{v} = [u_x - v_x,\ u_y - v_y]

    to samo co dodanie wektora przeciwnego

  • Mnożenie przez liczbę

    k⋅v⃗=[kx, ky]k \cdot \vec{v} = [k x,\ k y]

    ujemne k odwraca zwrot

  • Długość po przemnożeniu

    ∣k⋅v⃗∣=∣k∣⋅∣v⃗∣|k \cdot \vec{v}| = |k| \cdot |\vec{v}|

    skaluje się wartością bezwzględną

−1012345678−10123456u = [4; 1]v = [2; 4]u + v = [6; 5]u = [4; 1]v = [2; 4]u + v = [6; 5]
Suma wektorów regułą trójkąta: wektor v zaczepiamy w grocie wektora u, a suma prowadzi od początku u do końca v.
−5−4−3−2−101234567−3−2−1012345u = [3; 2]2u = [6; 4]−u = [−3; −2]u = [3; 2]2u = [6; 4]−u = [−3; −2]
Mnożenie przez liczbę: wektor 2u jest dwa razy dłuższy i ma ten sam zwrot, a wektor −u ten sam kierunek i zwrot przeciwny.

Najczęstsze pytania

Powiązane artykuły

Świetlisty trójkąt prostokątny z kwadratami zbudowanymi na bokach jako konstelacja, obok okręgu z promieniem, na tle kosmicznej mgławicy w fiolecie i magencie
Geometria

Dlaczego pole mierzymy kwadratami

Obwód liczymy w metrach, pole w metrach kwadratowych — i ta jedna dwójka w wykładniku odpowiada za większość szkolnych pomyłek. Przez nią 1 m² to nie 100 cm², dwie działki o identycznym polu mogą potrzebować zupełnie różnej długości ogrodzenia, a twierdzenie Pitagorasa mówi tak naprawdę o polach kwadratów, nie o długościach boków.

11 min