Jak zmieniają się współrzędne w symetrii osiowej?

Przy symetrii względem osi OX zmienia się znak rzędnej: (x, y) przechodzi na (x, −y). Przy symetrii względem osi OY zmienia się znak odciętej: (x, y) przechodzi na (−x, y). Reguła jest prosta: zmienia się ta współrzędna, którą mierzy się prostopadle do osi symetrii.

Czym różni się symetria środkowa od osiowej?

Symetria osiowa odbija figurę względem prostej, jak w lustrze, i zmienia orientację figury. Symetria środkowa obraca ją o 180° wokół punktu, więc orientacja zostaje zachowana. W symetrii środkowej względem punktu S każdy punkt i jego obraz leżą po przeciwnych stronach S w równej odległości, czyli S jest środkiem odcinka AA′.

Jak przesunąć punkt o wektor?

Dodajemy współrzędne wektora do współrzędnych punktu: przesunięcie o wektor [a, b] przeprowadza (x, y) na (x + a, y + b). Pytanie odwrotne — jaki punkt przeszedł na dany — rozwiązuje odejmowanie tych samych liczb, a nie dodawanie ich ze zmienionym znakiem po jednej stronie.

Które figury mają środek symetrii?

Środek symetrii ma między innymi okrąg, kwadrat, prostokąt, romb, równoległobok i sześciokąt foremny. Nie ma go trójkąt równoboczny ani pięciokąt foremny — one mają tylko osie symetrii. Ogólna reguła dla wielokątów foremnych brzmi: środek symetrii mają te o parzystej liczbie boków.

Jak skonstruować symetralną odcinka?

Rozwieramy cyrkiel na więcej niż połowę odcinka i zakreślamy łuk z jednego końca, potem tym samym rozwarciem z drugiego. Łuki przecinają się w dwóch punktach, a prosta przez nie poprowadzona jest symetralną: przechodzi przez środek odcinka i jest do niego prostopadła. Ta sama konstrukcja wyznacza środek odcinka bez mierzenia jego długości.

Poziom średni

Przekształcenia geometryczne

Symetria osiowa, symetria środkowa, przesunięcie i obrót przesuwają figurę, nie zmieniając jej rozmiaru — a każde z nich sprowadza się do jednego działania na współrzędnych. Do tego dwie konstrukcje cyrklem i linijką: symetralna odcinka i dwusieczna kąta.

Zanim zaczniesz

Ten temat opiera się na wcześniejszych zagadnieniach. Zanim zaczniesz, warto przerobić poniższe lekcje — dzięki nim wszystko pójdzie gładko:

Układ współrzędnychDwie prostopadłe osie zamieniają płaszczyznę w mapę, na której każdy punkt ma adres złożony z dwóch liczb. Kolejność tych liczb jest częścią adresu, znaki wskazują ćwiartkę, a odcinek równoległy do osi mierzy się odejmowaniem. Do tego środek odcinka, czyli średnia współrzędnych końców.
KątyKąt mierzymy w stopniach: ostry poniżej 90°, prosty równo 90°, rozwarty powyżej. Poznaj rodzaje kątów, kąty dopełniające i przyległe, kąty naprzemianległe i odpowiadające przy prostych równoległych oraz dwie reguły sumy — 180° w trójkącie i (n − 2) · 180° w wielokącie.

Gdzie się tego używa

Konkretne sytuacje, w których liczysz dokładnie tak, jak uczy ta lekcja:

Grafika 2D i przesunięcie sprite’a
Postać w grze narysowana w punkcie (120; 80) ma przejść o wektor [45; −20]. Silnik dodaje współrzędne i rysuje ją w (165; 60). Ta sama operacja wykonana wstecz — od (165; 60) do punktu wyjścia — jest odejmowaniem, i to na niej opiera się cofnięcie ruchu.
Obróbka lustrzana w CNC
Program wycinający lewy element ma punkty (30; 12) i (55; 40). Prawy, lustrzany element powstaje przez odbicie względem osi pionowej: (−30; 12) i (−55; 40). Nie trzeba pisać drugiego programu, wystarczy zmienić znak jednej współrzędnej w każdym punkcie.
Druk i odbicie na kliszy
Klisza fleksograficzna musi być lustrzanym odbiciem nadruku, bo styka się z podłożem stroną z obrazem. Napis o narożnikach (0; 0) i (140; 25) mm trafia na kliszę jako (0; 0) i (−140; 25) mm — jedno odbicie osiowe zamiast ręcznego przerysowywania.
Wzór na tapecie i kafelku
Kafel o boku 20 cm z motywem obróconym o 180° pasuje do siebie w każdej pozycji, bo obrót o 180° to symetria środkowa względem środka kafla — punkt (6; 4) przechodzi na (14; 16) względem środka (10; 10). Dzięki temu układający nie musi pilnować, którą stroną kładzie płytkę.
Stolarstwo i konstrukcja bez kątomierza
Żeby zaznaczyć środek deski długiej na 187 cm, nie trzeba dzielić przez dwa: dwa łuki zakreślone cyrklem z obu końców tym samym rozwarciem przecinają się w dwóch punktach, a prosta przez nie przechodząca trafia dokładnie w środek i jest prostopadła do krawędzi.

Wszystkie wzory

Symetria względem osi OX
$S_{OX}: (x,\ y) \mapsto (x,\ -y)$
zmienia znak rzędnej
Symetria względem osi OY
$S_{OY}: (x,\ y) \mapsto (-x,\ y)$
zmienia znak odciętej
Symetria względem początku układu
$S_{O}: (x,\ y) \mapsto (-x,\ -y)$
to samo co obrót o 180°
Symetria względem punktu S(p, q)
$S_{S}: (x,\ y) \mapsto (2p - x,\ 2q - y)$
S jest środkiem odcinka AA′
Przesunięcie o wektor [a, b]
$T_{\vec{v}}: (x,\ y) \mapsto (x + a,\ y + b)$
obraz wstecz to odejmowanie

Przekształcenie geometryczne przypisuje każdemu punktowi płaszczyzny jego obraz. Cztery przekształcenia z tej lekcji są izometriami — zachowują odległości, więc figura i jej obraz są przystające: zmienia się położenie, nie rozmiar ani kształt.

Wszystkie cztery da się zapisać jednym działaniem na współrzędnych, i to jest najkrótsza droga do policzenia obrazu dowolnego punktu.

Symetria osiowa

Symetria względem prostej działa jak lustro: obraz leży po drugiej stronie osi, w tej samej odległości, na prostopadłej do niej. Dla osi układu współrzędnych daje to dwa wzory:

S_{OX}: (x,\ y) \mapsto (x,\ -y), \qquad S_{OY}: (x,\ y) \mapsto (-x,\ y)

Trójkąt ABC i jego obraz w symetrii względem osi OX. Każdy wierzchołek zachował odciętą i zmienił znak rzędnej.

Zmienia się ta współrzędna, którą mierzymy prostopadle do osi symetrii — przy odbiciu w osi poziomej zmienia się „góra–dół”, a przy odbiciu w osi pionowej „lewo–prawo”.

Figura ma oś symetrii, gdy pokrywa się ze swoim obrazem: kwadrat ma cztery osie, prostokąt dwie, trójkąt równoboczny trzy, a okrąg nieskończenie wiele.

Symetria środkowa

Symetria względem punktu $S$ przeprowadza punkt $A$ na taki punkt $A'$ , że $S$ jest środkiem odcinka $AA'$ . To po prostu obrót o $180^\circ$ wokół $S$ .

Dla początku układu wzór jest najkrótszy z możliwych:

S_{O}: (x,\ y) \mapsto (-x,\ -y)

Dla dowolnego punktu $S = (p,\ q)$ korzystamy ze wzoru na środek odcinka odczytanego wstecz:

S_{S}: (x,\ y) \mapsto (2p - x,\ 2q - y)

Znajdź obraz punktu A(3; −5) w symetrii względem punktu S(−1; 2).

Figura ma środek symetrii, gdy pokrywa się ze swoim obrazem w symetrii środkowej — mają go okrąg, kwadrat, prostokąt, romb i równoległobok, ale nie trójkąt równoboczny.

Przesunięcie o wektor

Przesunięcie przenosi każdy punkt o ten sam odcinek w tym samym kierunku. Ten odcinek ze zwrotem to wektor, a jego współrzędne po prostu dodajemy:

T_{\vec{v}}: (x,\ y) \mapsto (x + a,\ y + b), \qquad \vec{v} = [a;\ b]

Punkt A′(4; 1) jest obrazem punktu A w przesunięciu o wektor [6; −3]. Znajdź A.

To pytanie „wstecz” jest w tym temacie najbardziej podchwytliwe: treść zadania wygląda tak samo, a działanie jest odwrotne.

Obrót

Obrót o kąt $\alpha$ wokół punktu $O$ przenosi każdy punkt po okręgu o środku $O$ . Dwa przypadki mają wzory tak proste, że warto je znać:

Obrót wokół $O$	Obraz punktu $(x,\ y)$
$90^\circ$ w lewo	$(-y,\ x)$
$180^\circ$	$(-x,\ -y)$
$270^\circ$ w lewo	$(y,\ -x)$

Obrót o $180^\circ$ jest tym samym przekształceniem co symetria środkowa względem środka obrotu — to nie dwie różne operacje, tylko dwie nazwy jednej.

Konstrukcje cyrklem i linijką

Dwie klasyczne konstrukcje nie wymagają żadnych obliczeń i dają wynik dokładny, a nie zmierzony.

Symetralna odcinka to prosta prostopadła do odcinka, przechodząca przez jego środek. Zakreślamy z obu końców łuki o tym samym promieniu (większym niż połowa odcinka) i łączymy punkty ich przecięcia.

Punkty przecięcia łuków są jednakowo odległe od A i od B, więc prosta przez nie przechodząca jest zbiorem wszystkich takich punktów.

Symetralna ma własność, która czyni ją użyteczną poza rysowaniem: należą do niej dokładnie te punkty, które są jednakowo odległe od obu końców odcinka.

Dwusieczna kąta dzieli kąt na dwa równe kąty. Zakreślamy łuk z wierzchołka, a z punktów jego przecięcia z ramionami — dwa łuki o równych promieniach.

Dwusieczna kąta 70° dzieli go na dwa kąty po 35°. Należą do niej dokładnie te punkty, które są jednakowo odległe od obu ramion.

Ćwiczenia

Rozwiąż zestaw zadań — trudność rośnie z każdym kolejnym. Na końcu zobaczysz wynik i listę pomyłek do powtórki.

Zadanie 1 z 8Punkty: 0

Obraz punktu w symetrii względem osi OX: A(−1; 3)

Częste błędy

Zmiana znaku niewłaściwej współrzędnej — przy symetrii względem osi OX zmienia się rzędna, bo to ona mierzy odległość od tej osi.
Dodawanie wektora zamiast odejmowania przy pytaniu wstecz — obraz powstaje przez dodanie, więc oryginał przez odjęcie.
Mylenie symetrii środkowej z osiową — środkowa zachowuje orientację figury, osiowa ją odwraca.
Przypisywanie środka symetrii trójkątowi równobocznemu — ma on trzy osie symetrii, ale środka symetrii nie ma.
Stosowanie wzoru $(-x;\ -y)$ dla symetrii względem punktu innego niż początek układu — wtedy działa $(2p - x;\ 2q - y)$ .
Rysowanie łuków o różnych promieniach przy konstrukcji symetralnej — promień musi być ten sam z obu końców, inaczej punkty przecięcia nie leżą w równej odległości od nich.

Karta wzorów

Temat: Przekształcenia geometryczne

Symetria względem osi OX
$S_{OX}: (x,\ y) \mapsto (x,\ -y)$
zmienia znak rzędnej
Symetria względem osi OY
$S_{OY}: (x,\ y) \mapsto (-x,\ y)$
zmienia znak odciętej
Symetria względem początku układu
$S_{O}: (x,\ y) \mapsto (-x,\ -y)$
to samo co obrót o 180°
Symetria względem punktu S(p, q)
$S_{S}: (x,\ y) \mapsto (2p - x,\ 2q - y)$
S jest środkiem odcinka AA′
Przesunięcie o wektor [a, b]
$T_{\vec{v}}: (x,\ y) \mapsto (x + a,\ y + b)$
obraz wstecz to odejmowanie

Trójkąt i jego obraz w symetrii względem osi OX. Rzędne zmieniają znak, odcięte zostają bez zmian.

Konstrukcja symetralnej odcinka: dwa łuki o tym samym promieniu, zakreślone z obu końców, wyznaczają prostą prostopadłą przechodzącą przez środek.

Najczęstsze pytania

Powiązane artykuły

Świetlisty trójkąt prostokątny z kwadratami zbudowanymi na bokach jako konstelacja, obok okręgu z promieniem, na tle kosmicznej mgławicy w fiolecie i magencie

Geometria

Dlaczego pole mierzymy kwadratami

Obwód liczymy w metrach, pole w metrach kwadratowych — i ta jedna dwójka w wykładniku odpowiada za większość szkolnych pomyłek. Przez nią 1 m² to nie 100 cm², dwie działki o identycznym polu mogą potrzebować zupełnie różnej długości ogrodzenia, a twierdzenie Pitagorasa mówi tak naprawdę o polach kwadratów, nie o długościach boków.

11 min